2023-2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知是第二象限角，則點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】C【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以在第三象?故選：C.2．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列式計(jì)算.【詳解】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，得.故選：A3．已知為虛數(shù)單位，則（

）.A． B．C． D．【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】，故選：C.4．（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?故選：D.5．在中，若，，，則等于（

）A． B．或 C． D．或【正確答案】D【分析】利用正弦定理以及三角形內(nèi)角的范圍計(jì)算求解.【詳解】由正弦定理可得，，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)?，且，所以?故選：D6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【正確答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則直接判斷即可.【詳解】，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.故選：B.7．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若與是單位向量，則【正確答案】B【分析】運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算可判斷A項(xiàng)、D項(xiàng)，對(duì)等式兩邊同時(shí)平方可判斷B項(xiàng)，由零向量與任意向量共線可判斷C項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，∵，∴，又∵∴或，故A項(xiàng)不成立；對(duì)于B項(xiàng)，∵，∴，即：，∴，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，例如：，，，則滿足，，但不滿足，故C項(xiàng)不成立；對(duì)于D項(xiàng)，∵，，∴，又∵不確定，∴的值不確定，故D項(xiàng)不成立.故選：B.8．已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為()A． B．－ C． D．－【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，建立方程即可得到結(jié)論．【詳解】法一：由題意可得·＝2×2cos＝2，·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]＝(1－λ)2－·＋(1－λ)··－2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵＝λ，∴λ＝.故選A.1.已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.2.通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算.二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（

）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．【正確答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對(duì)于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B：，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，D正確.故選：AD10．下列各式中，結(jié)果為零向量的是（

）A． B．C． D．【正確答案】BD【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算，即可得正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：選項(xiàng)正確.故選：BD本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】ABD【分析】利用二倍角的余弦公式即可判斷A；利用二倍角的正弦公式即可判斷B；利用兩角和的正弦公式即可判斷C；利用兩角差的正切公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：ABD.12．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則A． B． C． D．【正確答案】AD【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】.整理可得:可得為三角形內(nèi)角,故A正確，B錯(cuò)誤.解得,由余弦定理得解得,故C錯(cuò)誤，D正確.故選:AD.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.三、填空題13．已知本次數(shù)學(xué)考試總時(shí)間為2小時(shí)，你在奮筆疾書沙沙答題，分針滴答滴答忙著轉(zhuǎn)圈.現(xiàn)在經(jīng)過(guò)了1小時(shí)，則此時(shí)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是_______．【正確答案】先明確1小時(shí)是60分鐘，得到分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度，再算出弧度數(shù).【詳解】因?yàn)?小時(shí)是60分鐘，分針正好轉(zhuǎn)過(guò)一周，所以轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是.故本題主要考查弧度制，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知，若，則________.【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，列式得，解得，所以.故15．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為___________.【正確答案】【分析】利用投影向量的定義化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：由題意可知，又因?yàn)?，所以在方向上的投影向量?故16．如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關(guān)于的二次函數(shù)，通過(guò)求二次函數(shù)的最小值即可解決問(wèn)題.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，所以時(shí)，取最小值.故答案為.四、解答題17．已知復(fù)數(shù).(1)若在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求的值；(2)求的取值范圍.【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）化間，得在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線計(jì)算即可；（2）代入模長(zhǎng)公式表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）解：化簡(jiǎn)得，所以在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，又因?yàn)榇它c(diǎn)在直線上，所以，解得；（2）解：因?yàn)?，所以的取值范圍?18．已知，均為銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.【正確答案】(1)(2)【分析】運(yùn)用二倍角公式、同角三角函數(shù)平方關(guān)系、配湊角及差角公式求解即可.【詳解】（1）由題意知，，（2）∵、為銳角，∴，又∵，，∴，，∴.19．設(shè)x，，向量，，，且，．(1)求x，y的值；(2)求的值．【正確答案】(1)，(2)10【分析】（1）根據(jù)向量垂直、平行的坐標(biāo)表示即可求解；（2）由（1）知，從而計(jì)算，再根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】（1）若，則，且，得且.（2）由（1）可知，，則，則.20．已知，，．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【正確答案】（1）最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大值為3，最小值為0．【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用整體的思想.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及的范圍求出的范圍，從而計(jì)算出函數(shù)的最值.【詳解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；由可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為故得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為0．21．由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強(qiáng)總理在6月1日考察山東煙臺(tái)一處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)?小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī).某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者陳某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前“擺地?cái)偂?，?jīng)營(yíng)冷飲生意.已知該商場(chǎng)門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)處有一個(gè)路燈，經(jīng)測(cè)量點(diǎn)到區(qū)域邊界、的距離分別為，，（m為長(zhǎng)度單位）.陳某準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)修建一條長(zhǎng)椅（點(diǎn)，分別落在、上，長(zhǎng)椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計(jì)），以供購(gòu)買冷飲的人休息.(1)求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；(2)為優(yōu)化經(jīng)營(yíng)面積，當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，該三角形區(qū)域面積最小？并求出面積的最小值.【正確答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，面積取最小值.【分析】（1）連接，在中，由余弦定理求解的值；（2）由三角形面積公式和，可推出，再結(jié)合基本不等式求解的最小值，從而求解出面積的最小值.【詳解】（1）連接，在中，因?yàn)?，，，所以，由余弦定理得，，所以，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.（2）由，，，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，故當(dāng)時(shí)，三角形面積最小，最小值為.22．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．(1)求證：；(2)求的取值范圍．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）先利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件可得，再利用正弦定理化邊為角，即可證明（2）消元，將要求取值范圍的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為，利用第一問(wèn)得出的結(jié)論求出角的取值范圍，從而得到的取值范圍，最后應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】（1）由余弦定理得，∵，∴∴∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴（2）由（1）得，∴，∵，又，∴，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴的取值范圍為．2023-2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)?由題意可得,解得.故B正確.復(fù)數(shù)的運(yùn)算.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和的性質(zhì)，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意和運(yùn)算的準(zhǔn)確性.當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)一定要注意其實(shí)部等于0,虛部不等于0,否則極易出錯(cuò).2．向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．【正確答案】D【分析】根據(jù)相反向量的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；與方向相反，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.3．在中，，則為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【正確答案】C【分析】利用正弦定理及三角恒等變換計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理可得：，而，所以，則，即易知，所以在三角形中，所以.故選：C.4．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)都相等，其外接球的表面積是，則其側(cè)棱長(zhǎng)為．A． B． C． D．【正確答案】B三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球，求出正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，即可求出其側(cè)棱長(zhǎng)．【詳解】三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e是，所以球的半徑為1，所以正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為2，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a,則.所以側(cè)棱長(zhǎng)為．故選．本題主要考查球的表面積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，推理能力，解題的關(guān)鍵就是將三棱錐擴(kuò)展成正方體，屬于中檔題．5．在中，，，為邊上一點(diǎn)，且滿足，此時(shí)，則邊長(zhǎng)等于（

）A． B． C．4 D．【正確答案】D【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)求出、長(zhǎng)，再然后在中通過(guò)余弦定理求出，最后在中通過(guò)余弦定理即可求出長(zhǎng).【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)椋?，在中，，即，解得或（舍去），，在中?即，解得，故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形相關(guān)問(wèn)題的求解，主要考查余弦定理解三角形，考查的公式為，考查計(jì)算能力，是中檔題.6．如圖，在正方體ABCD—中，，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A與，都平行的平面α被正方體ABCD—截得的截面面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】首先利用平行關(guān)系，作出截面，再求截面面積.【詳解】取中點(diǎn)G，中點(diǎn)H，則△AGH就是平面a被正方體ABCD—截得的截面，其中，，GH邊上的高為，所以△AGH的面積.故選：D7．平行四邊形中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，由題意可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，所以，，，，則，因此，.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用平面向量垂直求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.8．如圖，某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測(cè)量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的、兩點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得紅豆樹根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到處，測(cè)得樹根部在西偏北的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【正確答案】D【分析】根據(jù)圖形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值．【詳解】依題意可得如下圖形，

在中，，，，由正弦定理得，解得，在中，，所以，所以紅豆樹的高度為千米．故選：D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．z沒有實(shí)部 B． C． D．【正確答案】BCD【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)實(shí)部的定義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘方法則、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以z的實(shí)部為0，，，.故選：BCD10．下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是（

）A． B．C． D．【正確答案】AD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別判斷即可【詳解】解：在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；對(duì)于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，故B不成立；對(duì)于C，過(guò)M作ME∥AB，則E是中點(diǎn)，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，故C不成立；對(duì)于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故選：AD.此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D，E分別是，上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)O，則（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為【正確答案】BD【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)求出，即可確定點(diǎn)位置，從而判斷A、C，根據(jù)即可判斷B，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D；【詳解】解：由題意知，為的中點(diǎn)，，以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，解得，即為的中點(diǎn)，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：，，所以因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，在方向上的投影為，所以在方向上的投影為，故D正確．故選：BD．12．下列說(shuō)法正確的有（

）A．若一個(gè)圓臺(tái)的上，下底面半徑分別為，，則其內(nèi)切球的表面積為B．正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面被正方體所截，則截面圖形的面積為C．已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，則用斜二測(cè)畫法畫出的這個(gè)菱形水平放置時(shí)的直觀圖的面積為D．正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，其外接球體積為【正確答案】AC【分析】畫出球內(nèi)切于圓臺(tái)、正三棱錐的軸截面，利用圖形中的長(zhǎng)度關(guān)系可求出球的半徑，即可判斷A；分別取線段，，的中點(diǎn)為，，，即可得到經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面被正方體所截的圖形為正六邊形，求出其面積可判斷B；根據(jù)平面圖形的原圖形與直觀圖面積的關(guān)系可判斷C；將三棱錐放到棱長(zhǎng)為的正方體中，則正三棱錐的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入體積公式計(jì)算即可判定D．【詳解】對(duì)于A，球內(nèi)切于圓臺(tái)的軸截面如圖：

其中，，，，為球的直徑，球的半徑為，其表面積為，故A正確；對(duì)于B，分別取線段，，的中點(diǎn)為，，，

則經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面被正方體所截的圖形為正六邊形，其邊長(zhǎng)為，面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，邊長(zhǎng)為1的菱形中，，菱形的面積為，用斜二測(cè)畫法畫出的這個(gè)菱形水平放置時(shí)的直觀圖的面積為，故C正確；對(duì)于D，正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，此三棱錐一定可以放在正方體中，

我們可以在正方體中尋找此三棱錐，如圖所示三棱錐．正方體的棱長(zhǎng)為．此正三棱錐的外接球即為此正方體的外接球，外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，外接球的半徑為，外接球的體積，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13．如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長(zhǎng)為________．【正確答案】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)，用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，，，，所以，所以的周長(zhǎng)為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握斜二測(cè)畫法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.14．已知正方形的邊長(zhǎng)為，邊，的中點(diǎn)分別為，，則________．【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，，方向分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，∴，∴.故答案為.15．已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長(zhǎng)為________.【正確答案】4【分析】寫出側(cè)面積表達(dá)式，求出，即可得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．【詳解】解：，，．故416．已知平行四邊形，，，為銳角，且，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則______．【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算的最小值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的值．【詳解】平行四邊形中，，，為銳角，且，所以，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因?yàn)?，解得，又因?yàn)?，解得，所以；又，，，設(shè)，，則，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，若恒成立，則，所以．故．四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)方程求出，然后利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，解出即可；（2）首先求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限列出不等式，求出的范圍.【詳解】（1）由，得，所以．因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以，所以，解得或．（2）由（1）得，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且a是實(shí)數(shù)，所以解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18．設(shè)，，向量，，，且，．(1)求；(2)求向量與夾角的大?。菊_答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的垂直與共線，列出方程組求解，的值，從而可得的坐標(biāo)，再利用模的運(yùn)算公式求解即可；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，計(jì)算，然后結(jié)合向量夾角公式即可求得夾角．【詳解】（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，則，則；（2）因?yàn)?，，所以，，設(shè)向量與夾角為，則，故，即向量與夾角為．19．如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足．(1)證明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．【正確答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可求證，（2）根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而可得,，根據(jù)比例即可由面積公式求解.【詳解】（1）在中，由