9.1 單因素方差分析

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第九章方差分析第一節(jié)單因素方差分析二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型四、單因素方差分析表一、單因素方差分析的基本原理三、離差平方和及自由度的分解五、小結(jié)孩子編號甲乙丙丁11701701651582175163171156317716716716441801651721615182174160168表9.1四個家庭的成年孩子的身高（單位：cm）例9.1.1考察甲、乙、丙、丁四個家庭的孩子的身高，已知每個家庭均有5個成年的孩子，其身高數(shù)據(jù)如表9.1所列．試分析不同家庭的成年孩子的身高有無顯著差別．家庭稱為因素（或因子），成年孩子的身高稱為試驗(yàn)指標(biāo)．用表示家庭因素，則有四個水平：甲、乙、丙和丁，也可用表示因素的第個水平所對應(yīng)的5個成年孩子的身高是來自同一個總體的樣本，這里就有4個總體和4個獨(dú)立的樣本，通常假定這些總體服從方差相同的正態(tài)分布記分別表示4個總體的總體均值，不全相等則分析不同家庭的成年孩子的身高有無顯著差別就相當(dāng)于作如下假設(shè)檢驗(yàn)一、單因素方差分析的基本原理數(shù)據(jù)間的差異系統(tǒng)偏差(組間偏差)：來自不同總體樣本數(shù)據(jù)之間的差異隨機(jī)誤差(組內(nèi)偏差)：來自同一總體樣本數(shù)據(jù)之間的差異同一個家庭的5個孩子的身高是不一樣的，這種差異為隨機(jī)誤差；不同家庭的成年孩子的身高也是不一樣的，這種差異為系統(tǒng)偏差．圖9.1四個家庭的成年孩子身高的分組箱線圖若原假設(shè)成立，所有孩子的身高應(yīng)該處于同一水平，即圖中總平均線高度，而實(shí)際上受家庭因素和其他隨機(jī)因素影響，20個孩子的身高是不全相同的．一、單因素方差分析的基本原理第個家庭的第個孩子的身高

第個家庭的5個孩子的平均身高

所有孩子的總平均身高左端表示單個孩子的身高與總平均身高的差異，可理解為單個樣本數(shù)據(jù)的總離差．右端被拆分為兩項(xiàng)，其中第一項(xiàng)為組內(nèi)偏差，第二項(xiàng)為組間偏差．一、單因素方差分析的基本原理一、單因素方差分析的基本原理總離差平方和組間離差平方和:系統(tǒng)因素所造成的離差平方和組內(nèi)離差平方和:隨機(jī)因素所造成的離差平方和單因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和，然后根據(jù)這兩個平方和構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量所服從的分布，最后確定檢驗(yàn)的拒絕域．二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素有個水平，對應(yīng)試驗(yàn)指標(biāo)的個總體，記為，它們的分布為令二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型組別樣本樣本均值樣本方差表9.2個總體的樣本二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型為

其中（Independentidenticallydistributed）表示獨(dú)立同分布．欲檢驗(yàn)因素對試驗(yàn)指標(biāo)有無顯著影響，相當(dāng)于檢驗(yàn) 不全相等二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型令單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型可改寫為式等價于不全為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型表示由因素的第個水平所造成的偏離總均值的增量，稱為因素的第個水平的效應(yīng)，可以看作對總平均的“貢獻(xiàn)”大?。?，稱的效應(yīng)為正，若，稱的效應(yīng)為負(fù)．三、離差平方和及自由度的分解由(9.5)令用作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，則式(9.5)變?yōu)槿?、離差平方和及自由度的分解記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即

結(jié)合上述分解,有三、離差平方和及自由度的分解由于所以

三、離差平方和及自由度的分解其中

可以看出為因素所造成的離差平方和，稱為組間離差平方和，

為隨機(jī)因素所造成的離差平方和稱為組內(nèi)離差平方和．定理9.1.1在以上記號下，對于模型式(9.5)，有以下結(jié)論成立．(1)

,且與相互獨(dú)立(2)原假設(shè)成立時,三、離差平方和及自由度的分解三、離差平方和及自由度的分解構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

由定理9.1.1可知，當(dāng)原假設(shè)成立時，其中稱為組間均離差平方和，

為組內(nèi)均方離差平方和.三、離差平方和及自由度的分解當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的觀測值大于某個臨界值時，應(yīng)拒絕原假設(shè),所以對于給定的顯著性水平,檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)槠渲袨榉植嫉纳蟼?cè)分位數(shù).四、單因素方差分析表當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．四、單因素方差分析表可將臨界值換成檢驗(yàn)的值，其定義為當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，并且值越小，顯著性越強(qiáng)當(dāng)時，應(yīng)接受原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗(yàn)指標(biāo)無顯著影響當(dāng)，亦即時，為慎重起見，可增加樣本容量，重新進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)．對于給定的顯著性水平，四、單因素方差分析表例9.1.2考察甲、乙、丙、丁四個家庭的孩子的身高，已知每個家庭均有5個成年的孩子，其身高數(shù)據(jù)如表9.1所列．試分析不同家庭的成年孩子的身高有無顯著差別．（取顯著性水平）解利用表9.1中數(shù)據(jù)，計(jì)算得

、

和

的自由度分別為3、16和19，從而可得各均方分別為四、單因素方差分析表計(jì)算得于是可得單因素方差分析表如下：四、單因素方差分析表由方差分析表可知