中考數(shù)學(xué)-總復(fù)習(xí)解題突破專題講座36-二次函數(shù)與菱形的存在性問題

中考數(shù)學(xué)_總復(fù)習(xí)解題突破專題講座36_二次函數(shù)與菱形的存在性問題今天我們討論二次函數(shù)與特殊四邊形形存在性問題之二：與菱形結(jié)合的存在性問題。一.知識(shí)簡(jiǎn)介1.知識(shí)層面從幾何角度分析，此類題型所涉及到菱形的性質(zhì)、判定及分類討論。就性質(zhì)而言，最主要圍繞四個(gè)性質(zhì)展開運(yùn)用：①內(nèi)部四個(gè)小直角三角形的關(guān)系；②平行與四邊相等的關(guān)系；③對(duì)角線垂直平分的關(guān)系；④菱形的兩個(gè)面積公式。就分類討論而言，需掌握兩種論證方法：代數(shù)論證方法和幾何論證方法。從函數(shù)角度分析，除了涉及到以上菱形的幾何性質(zhì)外，主要運(yùn)用以下兩點(diǎn)：①利用“兩直線平行K值相等”和“兩對(duì)角線垂直K值負(fù)倒數(shù)”解決直線表達(dá)式問題；②中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決點(diǎn)的坐標(biāo)問題及兩點(diǎn)間的距離公式解決線段長(zhǎng)的問題。2.思路層現(xiàn)越熟悉以上所涉及的知識(shí)基礎(chǔ)，更能讓我們?cè)诮鉀Q二次函數(shù)與菱形結(jié)合的題型中，更快找到解題思路二.范例精講例1．（不分類討論）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x*2+bx+c的圖像與x軸交于A、B、兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C(0,-3)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）連接PO、PC,并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP`C，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形POP`C為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；解析：（1）代入B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，便可得拋物線解析式為：y=x*2-2x-3.（2）由折疊性質(zhì)可知OP=OP`,CP=CP`，當(dāng)四邊形POP`C為菱形時(shí)，只需滿足一個(gè)條件：PC=PO即可，利用菱形對(duì)角線垂直平分這一性質(zhì)，易得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)。存在，連接PP`交OC于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形POP`C為菱形時(shí)，PC=PO,PE⊥CO,∵OC=3,∴OE=EC=3/2,∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3/2，當(dāng)x*2-2x-3=-3/2時(shí)，解得x=(2+√10)/2或/2(舍去)，∴存在點(diǎn)P（2+√10/2，-3/2），使得四邊形POP`C為菱形。例2.（代數(shù)論證方法）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，OB=OC=6，AB=10.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）∵OB=6，AB=10，∴OA=8，∵AD=BC=6，∴D（12，8）（2）代數(shù)論證方法（此題代數(shù)論證方法最快捷，不用考慮圖形，以誰為菱形的對(duì)角線分三種情況討論）∵A（0，8），B（-6，0），∴直線AB的表達(dá)式為：y=4x/3+8，設(shè)F(m,4m/3+8),∵C(6,0)例3.（幾何論證方法）如圖，拋物線y=x*2+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知拋物線的對(duì)稱軸所在的直線是x=9/4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）。（1）求拋物線的解析式；（2）若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)B,C,M,N構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解析：（1）由對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)，易得A點(diǎn)坐標(biāo)為（0.5，0），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得拋物線的解析式為：y=x*2-4.5x+2（2）此小題由于B、M都在x軸上，即菱形的一條對(duì)角線或一條邊在x軸上，運(yùn)用菱形的幾何性質(zhì)顯得更便捷，所以適合用幾何論證方法。①當(dāng)BC為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，設(shè)BC的中點(diǎn)Q，作QM⊥BC交x軸于點(diǎn)M，設(shè)OM=x，則CM=BM=4-x,在直角三角形OCM中，運(yùn)用勾股定理可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.5，0），再利用CN//x軸及CN=BM可得N的坐標(biāo)為（2.5，0）,將N點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x*2-4.5x+2，等式不成立，即點(diǎn)N不在拋物線上，∴這樣的菱形不存在；②當(dāng)BM為菱形的對(duì)角線時(shí)，由菱形性質(zhì)可得N（0，-2），如圖3，易知N不在拋物線上，故不存在這樣的菱形；③當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線時(shí)，由菱形性質(zhì)可得CN//x軸，且CN=BC=2√5,∴設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2√5,2）或（-2√5,2）,代入y=x*2-4.5x+2，等式不成立，即點(diǎn)N不在拋物線上，∴這樣的菱形不存在；綜上所述，不存在這樣的N點(diǎn)，使B,C,M,N為菱形。三.思路回顧從以上幾道范例的思路詳解及過程步驟詳解反映出，當(dāng)遇到二次函數(shù)與菱形存在性問題結(jié)合的題型時(shí)，處理辦法與平行四邊形的存在性問題