遼寧省大連市金州重點中學2023-2024學年高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知空間點，則點關(guān)于軸對稱的點的坐標為()

A.B.C.D.

2.已知向量，，且，則()

A.B.C.D.

3.已知直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為()

A.B.C.D.

4.已知直線經(jīng)過點，而且是直線的一個法向量，則直線的方程為()

A.B.

C.D.

5.我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬，如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，二面角等于，、是棱上兩點，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長等于()

A.B.C.D.

7.已知點是棱長為的正四面體表面上的動點，若是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是()

A.B.C.D.

8.在四面體中，為的重心，分別為側(cè)棱，，上的點，若，，，與平面交于點，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知直線的方程為，則()

A.點在上B.的傾斜角為

C.的圖像不過第一象限D(zhuǎn).的一個方向向量為

10.已知，，，則()

A.

B.

C.為鈍角

D.在方向上的投影向量為

11.已知函數(shù)，設(shè)曲線在第一象限內(nèi)的圖像為，過點作斜率為的直線交于，過點作斜率為的直線交軸于，再過點作斜率為的直線交于，過點作斜率為的直線交軸于，，依這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示給出下列四個結(jié)論，其中正確的是()

A.的長為

B.點的坐標為

C.與的周長之比是

D.在直線左側(cè)有個三角形

12.在棱長為正方體中，點為線段上異于端點的動點，()

A.三角形面積的最小值為

B.直線與所成角的余弦值的取值范圍為

C.二面角的正弦值的取值范圍為

D.過點作平面，使得正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的取值范圍為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.在空間直角坐標系中，已知點，，，若，，三點共線，則的長為______．

14.已知三棱錐的體積為，，，，則二面角的大小為______．

15.經(jīng)過點作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的范圍為______．

16.如圖，是以為直徑的圓上異于，的點，平面平面，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為直線若直線上存在點，使直線分別與平面、直線所成的角互余，則的長為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

如圖，在直棱柱中，，，點、、分別是、、的中點．

求直線與直線所成角的大??；

求點到平面的距離．

18.本小題分

已知三角形的頂點、，．

求邊上中線的長；

求邊上中線所在直線的方程．

過引直線，若被兩坐標軸截得的線段中點為，求直線的方程．

19.本小題分

如圖，在四面體中，平面，，，是的中點，是的中點，點在線段上，且．

求證：平面；

求與平面所成角的正弦值．

20.本小題分

設(shè)直線的方程為．

求證：不論為何值，直線必過定點；

若在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；

若直線交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，的面積為，求的最小值．

21.本小題分

已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點，．

證明：平面平面；

若，與平面所成的角為，試問在側(cè)面內(nèi)是否存在一點，使得平面？若存在，求出點到直線的距離；若不存在，請說明理由．

22.本小題分

如圖，多面體中，，，為的中點，四邊形為矩形．

證明：；

若，，當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：已知點，再由空間直角坐標系中關(guān)于軸對稱的點的坐標特點：橫坐標和豎坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，

可得：點關(guān)于軸對稱的點的坐標為．

故選：．

根據(jù)空間坐標系中兩個關(guān)于坐標軸成軸對稱的點的坐標特點：關(guān)于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標和豎坐標互為相反數(shù)即可求解結(jié)論．

本題考查了空間中的點的坐標，點關(guān)于軸，軸及原點對稱時橫縱坐標的符號，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：由題意，

可得，

解得．

故選：．

本題根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的定義進行計算即可推導(dǎo)出的值．

本題主要考查空間向量的數(shù)量積運算，屬基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：因為直線經(jīng)過，兩點，

所以直線的斜率，

因為直線傾斜角的范圍為，

則該直線的傾斜角為．

故選：．

由已知先求出直線的斜率，然后結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系可求．

本題主要考查了直線的斜率公式及直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：由于是直線的一個法向量，則是直線的一個方向向量，故直線的斜率為．

再根據(jù)直線經(jīng)過點，可得它的方程為，即．

故選：．

由題意，根據(jù)直線的法向量求出方向向量，可得直線的斜率，再用點斜式求出直線的方程．

本題主要考查直線的法向量和方向向量，直線的斜率，用點斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：因為四棱錐為陽馬，平面，且，

所以，

所以

，

又因為，

所以，則．

故選：．

根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得．

本題考查空間向量線性運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由二面角的平面角的定義知，

，

由，，得，又，

，

所以，即．

故選：．

根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果．

本題考查利用向量法求兩點間的距離，考查二面角的應(yīng)用，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：如圖所示，正四面體的棱長為，其內(nèi)切球球心為點，連接并延長交底面于點，

則為正的中心，且平面，連接并延長交于點，則為的中點，且，，，

平面，平面，，

則，的面積為，

正四面體的體積為，

設(shè)球的半徑為，

則，，

，，，

，

當點位于正四面體的頂點時，取最大值，最大值為．

故選：．

作出圖形，計算出正四面體內(nèi)切球的半徑，由此可求得，由空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)得出，進而可知當點為正四面體的頂點時，取得最大值，即可得解．

本題考查空間向量數(shù)量積的最值的計算，同時也考查了正四面體內(nèi)切球半徑的計算，考查計算能力，屬于較難題．

8.【答案】

【解析】解：連接如圖，設(shè)的中點為，，連接，由，，，，，共面可知，與平面的交點即與的交點，

因為，，，設(shè)，，

則，設(shè)，，

則，故，故，解得，代入可得，即，

由重心性質(zhì)可得，設(shè)，，又，，

則，故，解得，

故，即．

故選：．

設(shè)的中點為，根據(jù)線面關(guān)系可得與的交點為，在根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合共線定理，設(shè)，，，求解即可．

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于，把點代入直線的方程，得，不成立，

點不在上，故A錯誤；

對于，直線的斜率為，直線的傾斜角為，故B正確；

對于，直線是過點，的一條直線，經(jīng)過第二、三、四象限，

不經(jīng)過第一象限，故C正確；

對于，直線：的一個方向向量為，故D錯誤．

故選：．

對于，由點和直線位置關(guān)系判斷；對于，先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角；對于，直線是過點，的一條直線，經(jīng)過第二、三、四象限；對于，由直線的方向向量判斷．

本題考查直線方程的性質(zhì)、傾斜角、圖象、方向向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：因為，所以不成立，選項A錯誤；

因為，所以，選項B正確；

，且、不共線，所以，為鈍角，選項C正確；

在方向上的投影向量為，選項D正確．

故選：．

中，根據(jù)判斷不成立；

中，根據(jù)判斷；

中，根據(jù)，且、不共線，得出，為鈍角；

中，根據(jù)投影向量的定義計算即可．

本題考查了空間向量的坐標運算問題，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，可得，，由，解得，

直線的方程為，可得，

由，解得，

直線的方程為，可得，

由，解得，

直線的方程為，可得，

，以此類推，可得，，

對于選項，的長為，所以A錯誤；

對于，點的坐標為，所以B正確；

對于，與的相似比為，

所以周長之比也是，所以C正確；

對于，因為，在直線左側(cè)的最右的一個三角形是，

所以在直線左側(cè)有個三角形，D錯誤．

故選：．

由直線與組成方程組，解出的坐標，進而算出的坐標，同樣的方法算出、、、、、等各點的坐標，從而歸納出與的表達式，然后對各選項加以辨析，即可得到本題的答案．

本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系、歸納推理及其應(yīng)用等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：對于，要使三角形面積的最小，即要使得到直線距離最小，

這最小距離就是異面直線和的距離，也就是直線到平面的距離，等于到的距離為．

由于，三角形面積的最小值為，故A正確；

對于，先證明一個引理：直線在平面中的射影直線為，平面中的直線，

直線，，所成的角的余弦值滿足三余弦定理，直線，的角為，直線，的角為，直線，的角為，則．

證明：如上圖，在平面內(nèi)任意取一點為原點，取兩條射線分別為，軸，得到坐標平面，

然后從作與平面垂直的射線作為軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)直線的方向向量為，則為射影直線的方向向量，

設(shè)直線的方向向量坐標為，則，

，

，

，引理得證．

如上圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知在平面中的射影為，

設(shè)與所成的角為，

設(shè)直線與直線所成的角為．

設(shè)直線與所成角為，

根據(jù)上面的引理，可得，故B正確；

對于，如上圖所示，設(shè)、交點為，連接，，

由正方體性質(zhì)易知，，，，平面

平面，故BD，，為二面角的平面角，

當與重合時，，，，，

在上從下往上移動時，逐漸變大，始終是鈍角，其正弦值不可能無限趨近于，故C錯誤；

對于，因為過正方體頂點與各棱所成的角的都相等的直線是體對角線所在的直線，

過點的平面與各棱所成的角相等必須且只需與某一條體對角線垂直，過與對角線垂直的截面中，

當為中點時取得最大值，是一個邊長為的正六邊形，

如圖所示，面積為，不在區(qū)間內(nèi)，故D不正確．

故選：．

根據(jù)三角形的面積公式，轉(zhuǎn)化為求到直線距離最小值，進而轉(zhuǎn)化為異面直線和的距離，也就是直線到平面的距離，等于到的距離，從而得到三角形面積的最小值，判定；在平面中的射影為，設(shè)與所成的角為，設(shè)直線與直線所成的角為，設(shè)直線與所成角為，則根據(jù)射影三余弦定理，計算求得其取值范圍，進而判定；二面角的平面角的范圍，可以排除；考慮到各種情況，取面積最大的的一個截面，可以排除．

本題考查了正方體的截面形狀，異面直線所成的角，二面角和棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查查了轉(zhuǎn)化思想，屬難題．

13.【答案】

【解析】解：空間直角坐標系中，點，，，若，，三點共線，

則，即，

所以，解得，

所以，

所以的長為．

故答案為：．

根據(jù)，，三點共線得出，列方程組求出、，再求的長．

本題考查了空間中的三點共線以及兩點間的距離計算問題，是基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：如圖示：

，，，

，是等腰直角三角形，

作交于點，

作交于點，連接，

作平面交的延長線于點，

三棱錐的體積為，

，解得：，

而，，故是二面角的平面角，

，，，

是等腰直角三角形，，

．

故答案為：．

作垂線，求出是二面角的平面角，求出三棱錐的高，從而求出的大小，從而求出二面角的大小．

本題考查了二面角的平面角問題，考查空間的垂直關(guān)系以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

15.【答案】

【解析】解：

與線段相交，

pB

或

由于在及均為減函數(shù)

直線的傾斜角的范圍為：

故答案為：

，，由與線段相交，知由此能求出直線斜率的范圍，進而根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果．

本題考查直線的傾斜角取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．

16.【答案】

【解析】解：因為，分別是，的中點，所以，又平面，平面，

所以面又因為面，面面，所以，

又因為，面面，面面，所以面，

所以面，

因為是以為直徑的圓上異于，的點，所以，

以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，

設(shè)，平面的法向量為，

則，取，得，

，，

依題意得，即，所以．

所以直線上存在點和，使直線分別與平面、直線所成的角互余，且．

故答案為：．

利用三角形中位線定理推導(dǎo)出面，從而得到，再由已知條件推導(dǎo)出面，由此證明面，以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線上存在點，使直線分別與平面、直線所成的角互余，且．

本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，屬于中檔題．

17.【答案】解：由題意，以點為原點，方向分別為軸、軸與軸的正方向，建立空間直角坐標系．

則，，，，

故，

從而，

所以異面直線與所成的角的大小為．

，設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，得到平面的一個法向量為．

點到平面的距離為．

【解析】由題意，以點為原點，方向分別為軸、軸與軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求解異面直線成角即可．

先求出平面的一個法向量，然后利用向量法求解點面距離．

本題主要考查利用空間向量求距離問題，屬于中檔題．

18.【答案】解：根據(jù)三角形的頂點、，，可得邊的中點，

于是邊上的中線的長度為．

由題意，根據(jù)兩點式求得邊上的中線的方程為，即．

由題意，過引直線，若與兩坐標軸相交，則直線的斜率存在，設(shè)為．

則直線的方程為，且．

此時，與兩坐標軸的交點為、．

由于為線段的中點，則有，求得，

故直線的方程為，即．

【解析】求出邊的中點的坐標，即可求出邊上的中線的長度．

求出邊的中點的坐標，即可求出邊上的中線所在直線的方程．

由題意，先設(shè)出直線的斜率，利用中點公式、求出直線的斜率的值，再用點斜式求出直線的方程．

本題主要考查了直線位置關(guān)系與斜率關(guān)系的應(yīng)用，還考查了直線方程的求解，屬于中檔題．

19.【答案】解：證明：如圖：取的中點，連接，，

因為是的中點，是的中點，所以，且，所以，

又，，平面平面，則平面；

如圖建立空間直角坐標系，

設(shè)，

則，，，，所以，，

，，，

設(shè)平面的法向量，則，

取，得，設(shè)與平面所成角為，

則．

【解析】可取的中點，連接，，根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理、中位線定理，可證明，，即可證明平面平面，則平面；

以為原點建立空間直角坐標系，并且設(shè)，然后給出涉及到的點的坐標，求出平面的法向量，的方向向量，套公式求解．

本題考查空間平行關(guān)系的證明，利用坐標法求線面角的方法步驟，屬于中檔題．

20.【答案】證明：因為直線的方程為，即，

聯(lián)立，解得，，

故直線過定點；

解：因為在兩坐標軸上的截距相等，

當直線過原點時，可得，此時直線的方程為；

當直線不過原點時，可得，解得，此時直線的方程為，

故直線的方程為或；

令，可得，

令，可得，

則，

此時，

令，則且，

所以，

當且僅當，即，此時，取得最小值．

【解析】把已知直線方程進行變形，聯(lián)立方程可求；

先對截距是否為進行分類討論，然后結(jié)合截距式方程可求；

先求出直線與，軸的交點坐標，然后結(jié)合三角形的面積公式表示，進行變形后結(jié)合基本不等式可求．

本題主要考查了直線恒過定點的應(yīng)用，還考查了直線方程的截距式，基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

21.【答案】解：證明：由四邊形是直角梯形，，

可得，從而是等邊三角形，，平分．

為的中點，

，

，

又，，

平面，

又平面，

平面平面