四川省宜賓市興文第二名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文）試題（原卷版+解析版）

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數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）

本試卷共23小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，則M∩N=（）

A.[-1，2]B.[-2，1]C.D.

2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某學(xué)校共有學(xué)生人，其中高一年級(jí)人，高二年級(jí)與高三年級(jí)人數(shù)相等，學(xué)校為了了解學(xué)生在寒假期間每天的讀書(shū)時(shí)間，按照分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取人，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）

A.B.C.D.

4.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）

A.B.C.D.

5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

6.已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）

A.B.

C.D.

8.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若，則（）

A.B.C.D.

9.已知，，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.B.

C.D.

10.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值不可能為（）

A.B.C.D.

11.已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則取值范圍是（）

A.B.C.D.

12.已知三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)棱底面，底面是正三角形，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）

A.B.C.D.

第II卷非選擇題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知，滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是________.

14.若周期為的函數(shù)，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，則函數(shù)的一個(gè)解析式為_(kāi)_______．

15.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______.

16.，其最大值和最小值的和為_(kāi)___________．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知函數(shù)在與處都取得極值.

（1）求，值；

（2）若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

18.已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)中心的距離為．

（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值．

19.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，當(dāng)取最大值時(shí)，求外接圓的半徑．

20.如圖.在三棱錐中，為正三角形，為的重心，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面？若存在，求出的值；若不存在.說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn).

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）射線(xiàn)：與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，射線(xiàn)：與曲線(xiàn)交于點(diǎn)B．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；

（1）直接寫(xiě)出曲線(xiàn)、射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．

（2）求△AOB的面積．

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)，記的最小值為m.

（1）求m；

（2）若，求的最小值.興文二中高2023級(jí)高三10月考試

數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）

本試卷共23小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，則M∩N=（）

A.[-1，2]B.[-2，1]C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】由，

M={-2，0，1}，

則M∩N=.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算、一元二次不等式的解法，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而判定.

【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,為第四象限的點(diǎn)，

故選:D.

3.某學(xué)校共有學(xué)生人，其中高一年級(jí)人，高二年級(jí)與高三年級(jí)人數(shù)相等，學(xué)校為了了解學(xué)生在寒假期間每天的讀書(shū)時(shí)間，按照分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取人，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）

AB.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)高二年級(jí)應(yīng)抽取人，根據(jù)分層抽樣的含義列出方程，解出即可.

【詳解】由題意知，高二年級(jí)有600人，設(shè)高二年級(jí)應(yīng)抽取人，

則，得，

故選：B.

4.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意得，再根據(jù)向量夾角公式即可得答案.

【詳解】解：由，均為單位向量，得，

所以，

故與的夾角為.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的計(jì)算公式，向量模的計(jì)算，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

【詳解】因?yàn)?，，?/p>

所以b>a>c

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)和冪的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算出，利用向量夾角公式求出，根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.

【詳解】，，，

，令，解得，

則和夾角為，，

則可得到和夾角為，

故是和夾角為的充分不必要條件.

故選：A.

7.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由時(shí)的單調(diào)性排除兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值判斷作答.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，

因此函數(shù)在上遞增，BD錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：在上遞增，

，，而，即有，

則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)不滿(mǎn)足，A選項(xiàng)符合要求.

故選：A

8.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若，則（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)是奇函數(shù)，可得，即可求出，進(jìn)而可求.

【詳解】奇函數(shù)，，即，

即，，，

.

故選：C.

9.已知，，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.B.

CD.

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由其單調(diào)性結(jié)合圖象得出大小關(guān)系.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，，，

易知函數(shù)，為增函數(shù).

函數(shù)，與函數(shù)的圖象，如下圖所示：

由圖可知，.

又，，所以.

綜上，.

故選：B

10.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值不可能為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩角差正弦公式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得且，求解即可.

【詳解】∵，

∴令，即.

∵在上單調(diào)遞增，

∴且，解得.

故選:D.

11.已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，只需，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最值即可.

【詳解】解：由題可知，

函數(shù)在上單調(diào)通減，在上單調(diào)遞增，

又∵，，

，．

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求函數(shù)最值即可，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.已知三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)棱底面，底面是正三角形，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先得到是與底面所成的角，再通過(guò)三棱柱的體積得到三棱柱的底面等邊三角形的邊長(zhǎng)，最后通過(guò)球的半徑，球心到底面距離，底面外接圓半徑的關(guān)系計(jì)算．

【詳解】因?yàn)閭?cè)棱底面，

則是與底面所成的角，則．

故由，得．

設(shè)，則，

解得．

所以球的半徑，

所以球的表面積．

故選：A．

【點(diǎn)睛】解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．

第II卷非選擇題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知，滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是________.

【答案】

【解析】

【分析】作出不等式組所表示的區(qū)域，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)在軸上的截距最大值問(wèn)題即可.

【詳解】根據(jù)題意，作出所表示的可行域，如圖：

由，得，作出的平行直線(xiàn)簇，

結(jié)合圖像可知當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距取得最大值，即取得最大值，

聯(lián)立，解得，即，

所以.

故答案為：5.

14.若周期為的函數(shù)，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，則函數(shù)的一個(gè)解析式為_(kāi)_______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性和周期性直接構(gòu)造即可.

【詳解】為偶函數(shù)，若其最小正周期為，則，

一個(gè)滿(mǎn)足題意的解析式為.

故答案為：（答案不唯一）.

15.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______.

【答案】##

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和二倍角公式可得答案.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，

由二倍角公式得.

故答案為：.

16.，其最大值和最小值的和為_(kāi)___________．

【答案】0

【解析】

【分析】證明函數(shù)是奇函數(shù)即得解.

【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

所以是奇函數(shù)，故其最大值和最小值的和為0．

故答案為：0

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知函數(shù)在與處都取得極值.

（1）求，的值；

（2）若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定的極值點(diǎn)列出方程，求解驗(yàn)證作答.

（2）求出函數(shù)的極大值和極小值，再根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征列不等式即可求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

由求導(dǎo)得：，

依題意，，解得，此時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

所以.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，，令，，

由（1）知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)時(shí)，取極小值，

因方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，

于是得，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

18.已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)中心的距離為．

（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降冪公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可,

【小問(wèn)1詳解】

，

由題意知，的最小正周期為，所以，解得，

∴，

令，解得

取，則取，則，

所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，

當(dāng)時(shí)，，

由的對(duì)稱(chēng)性可知，解得，

所以.

19.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，當(dāng)取最大值時(shí)，求外接圓的半徑．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化簡(jiǎn)已知等式即得解；

（2）由題得，平方得，再利用基本不等式求出，由余弦定理和勾股定理求出，再利用正弦定理求出三角形外接圓半徑.

【小問(wèn)1詳解】

，

即，

，

即，

則，又，

．

【小問(wèn)2詳解】

由題得,

所以，

所以，所以，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）

所以.

由余弦定理得.

所以，所以.

所以

設(shè)外接圓的半徑為,所以

所以外接圓的半徑為.

20.如圖.在三棱錐中，為正三角形，為的重心，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面？若存在，求出的值；若不存在.說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）在中，易證，再根據(jù)，利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，再利用面面垂直的判定定理證明即可.

（2）取的中點(diǎn)，連接，，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，易得平面，然后再根據(jù)為的重心，由求解.

【詳解】（1）設(shè)，則，在中，由余弦定理，得.

因?yàn)椋?/p>

所以.

因?yàn)椋?/p>

所以平面.

因?yàn)槠矫妫?/p>

所以平面平面.

（2）如圖所示：

取的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)在上，

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn).

因?yàn)?，平面，平面?/p>

所以平面.

因?yàn)闉榈闹匦模?/p>

所以，

又，

所以，

所以在棱上存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面，此時(shí).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：①線(xiàn)面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥αb⊥α)；④面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥βa⊥β)；⑤面面垂直的性質(zhì)．

（2）證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aαα⊥β)．

21.已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；極大值，無(wú)極小值

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

（2）通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最小值,結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出的范圍即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)時(shí)，，

由得，，由得，或

∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值，無(wú)極小值.

【