2023學年完整公開課版實數(shù)

實數(shù)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.3

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？說一說

，0，1.414，，，，.

是有理數(shù).

是無理數(shù).，，，，0，1.414

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).結(jié)論

所有實數(shù)組成的集合叫作實數(shù)集.結(jié)論

實數(shù)

有理數(shù)

無理數(shù)

整數(shù)

分數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）探究

你能在數(shù)軸上表示無理數(shù)嗎？

如果能畫出長為的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示的點.

想一想圖1-6中的正方形的邊長EC是多少？

利用圖1-5中的剪下來的△EBC就可作出表示無理數(shù)的點.

由上我們可以發(fā)現(xiàn)：每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示，而且我們在七年級上冊已經(jīng)學過：每一個有理數(shù)也可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示.

每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示.結(jié)論

數(shù)軸上每一個點都表示唯一的一個實數(shù).

實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應.結(jié)論小提示

實數(shù)分為正實數(shù)、零、負實數(shù).數(shù)軸上表示正實數(shù)的點在原點右邊，表示負實數(shù)的點在原點左邊.正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0.原點0正實數(shù)負實數(shù)

與有理數(shù)的情形類似，如果兩個實數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)叫作另一個數(shù)的相反數(shù)，也說它們互為相反數(shù).

例如，和-互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.我們把實數(shù)a的相反數(shù)記作-a.小提示

例如，

在數(shù)軸上，表示一個實數(shù)的點與原點的距離叫作這個實數(shù)的絕對值.小提示做一做

下列空格上填空：

（1）一個正實數(shù)的絕對值等于

；

（2）一個負實數(shù)的絕對值等于

；

（3）0的絕對值等于

；

（4）互為相反數(shù)的兩個實數(shù)的絕對值

.

它本身

它的相反數(shù)

0相等實數(shù)可以做加法、減法、乘法、除法運算嗎？

可以說明：實數(shù)也有加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為0）運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律對于實數(shù)仍然適用.做一做

在下列空格上填寫適當?shù)氖阶樱涸O(shè)a，b，c是任意實數(shù)，則

（1）a+b=

（加法交換律）；

（2）(a+b)+c

（加法結(jié)合律）；

（3）a+0=0+a=

；

（4）a+(-a)=(-a)+a=

；b+a

（5）ab=

（乘法交換律）；

（6）(ab)c=

（乘法結(jié)合律）；a+(b+c)a0baa(bc)

（7）1·a=a·1=

；

（8）a(b+c)=

（乘法對于加法的分配律）

，(b+c)a=

（乘法對于加法的分配律）

；

（9）實數(shù)的減法運算規(guī)定為a-b=a+

；

（11）實數(shù)的除法運算（除數(shù)b≠

0)，規(guī)定為

a÷b=a·

；

（12）實數(shù)有一條重要性質(zhì)：如果a≠0，b≠0，那么

ab

0.

（10）對于每一個非零實數(shù)a，存在一個實數(shù)，滿足，我們把叫作a的

；aab+acba+ca(-b)倒數(shù)≠

實數(shù)也可以比較大?。簩τ趯崝?shù)a，b，如果a-b>0，則a大于b（或者b小于a），記作a>b（或b<a）；小提示

同樣地，如果a-b<0，則a<b.還可以得出：正實數(shù)大于一切負實數(shù)；兩個負實數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小.

從而數(shù)軸上右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.原點0正實數(shù)負實數(shù)<

每個正實數(shù)有且只有兩個平方根，它們互為相反數(shù).結(jié)論

0的平方根是0.

在實數(shù)范圍內(nèi)，負實數(shù)沒有平方根.

每個實數(shù)a有且只有一個立方根.

七年級上，下冊至本冊上一節(jié)所講的有關(guān)數(shù)、式、方程（組）、不等式（組）的性質(zhì)、法則或解法，對于實數(shù)仍然成立.小提示舉例

例1

不用計算器，估計與2哪個大.

解：

，2分別是5，4的正方形的邊長.容易說明，面積大的正方形，它的邊長也大.因此，>2.用正方形比較2舉例

例2

不用計算器，估計與哪個大.

解：

由例1知道，>2，從而，從例1中得出因此.2

，2分別是5，4的正方形的邊長.容易說明，面積大的正方形，它的邊長也大.因此，>2.練習1.

設(shè)a是實數(shù)，n是正實數(shù)，規(guī)定：an=a·a·a…·an個

設(shè)a，b是實數(shù)，n，m是正實數(shù)，則

an·am=

；(an)m=

；(ab)n=

.

an+m

anm

anbn2.

不用計算器，估計與0.4的大小.

解：

因為，0.4+1=1.4，又因為的乘方為2，1.4的乘方為1.96，所以2>1.96，即：做一做

一個正方形的面積為3cm2，它的邊長是多少？

它的邊長是

cm.3cm2？

我們知道，是無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).用計算器可以求出的挖近似值.相繼按鍵，屏幕顯示

用四舍五入法，取到小數(shù)點后面第二位，得

我們稱1.73是的精確到小數(shù)點后面第二位的近似值.

用四舍五入法，取到小數(shù)點后面第四位，得

我們稱1.7321是的精確到小數(shù)點后面第四位的近似值.

1.73，1.732，1.7321，…都是的近似值，稱它們?yōu)榻茢?shù).

一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.結(jié)論

一個近似數(shù)，從左邊第一個不為0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止共有多少個數(shù)字，就說這個近似值有多少位有效數(shù)字.

的近似值1.73稱為有三位有效數(shù)字；的近似值1.7321稱為有五位有效數(shù)字.舉例

例3

分別求下列各數(shù)的近似值（精確到小數(shù)點后面第三位）.

（1），（2），（3），（4）.解（1）（2）解（3）解（4）解按按3.1415926…按舉例

例4

分別求下列各數(shù)的近似值（保留六位有效數(shù)字）.

（1），（2）.（1）解（2）解3.1415926…按

在例4的第(2)小題中，用計算器相繼按鍵，屏幕顯示的數(shù)為

.要求保留六位有效數(shù)字，則應精確到小數(shù)點后面第五位，得到

，這里的最后一個0不能去掉.小提示3.4641016153.46410（2）解按舉例

例5

計算（精確到小數(shù)點后面第一位），并且指出它有幾位有效數(shù)字.

（1），（2）.（1）解用計算器計算.按鍵：所以，它有兩位有效數(shù)字.（2）解用計算器計算.所以，它有三位有效數(shù)字.按鍵：舉例

例6

計算（保留四位有效數(shù)字）：

（1）.解用計算器計算.從左邊第一個不為0的數(shù)字“7”起，保留四個數(shù)字，（1）按鍵：所以，

除了在求無理數(shù)的近似值時會遇到近似數(shù)外，在實際問題中，通過測量得到的數(shù)也往往是近似數(shù).小提示

例如，我們用尺子量我們這本課本的寬度時，量得的數(shù)值為18.5cm.

由于測量可能會有誤差，同時，課本在印刷裝訂裁剪時也可能有誤差，因此18.5cm是個近似數(shù).

我們測量得到的18.5cm，誤差不超過0.05cm，即精確到小數(shù)點后面第一位，因此18.5有三位有效數(shù)字.舉例

例7

測量課本封面的長為26.0cm，寬為18.5cm，課本封面的面積大約是多少（保留兩位有效數(shù)字）？解26.0×

18.5=481≈4.8×102.答：課本封面的面積大約是4.8×

102cm2.面積=長×寬

在例7中，如果把運算的結(jié)果寫成481，那么這意味著有三位有效數(shù)字，由于要求結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，因此我們用科學記數(shù)法把結(jié)果寫成4.8×102.小提示

例7

測量課本封面的長為26.0cm，寬為18.5cm，課本封面的面積大約是多少（保留兩位有效數(shù)字）？解26.0×18.5=481≈4.8×102.答：課本封面的面積大約是4.8×

102cm2.練習1.

分別求下列各數(shù)的近似值（精確到小數(shù)點后面第二位）：（1）；（2）；（3）.（1）解用計算器計算，顯示為1.41421356.所以，.（2）解用計算器計算，顯示為3.16227766.所以，.（3）解用計算器計算，顯示為12.2474487139.所以，.2.

分別求下各數(shù)的近似值（保留三位有效數(shù)字）：（1）；（2）；（3）.（1）解用計算器計算，顯示為2.6457513.所以，.（2）解用計算器計算，顯示為4.7958315.所以，.（3）解用計算器計算，顯示為6.40312423.所以，.3.

計算（精確到小數(shù)點后面第二位），并且指出它有幾位有效數(shù)字：（1）；（2）；（3）.（1）解用計算器計算，所以，，它有3位有效數(shù)字.（2）解用計算器計算，所以，，它有3位有效數(shù)字.（3）解用計算器計算，所以，，它有3位有效數(shù)字.4.

測量一個圓形鏡子的直徑為12.61cm，它的面積大約是多少（保留三位有效數(shù)字）？解因為鏡子的直徑是12.61cm，所以半徑為12.61÷2=6.305cm，所以面積為6.3