第三章3.13.1.2第2課時橢圓的標準方程及性質的應用

1.了解橢圓在實際生活中的應用.2.進一步掌握橢圓的方程及其性質的應用，會判斷直線與橢圓的位置

關系.學習目標傳說，很久以前，在意大利的西西里島上有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞用這個山洞囚禁犯人.囚犯們多次密謀逃跑，但是每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn).起初，囚犯們懷疑有內奸，但是始終沒有發(fā)現(xiàn)內奸是誰.后來他們察覺到關押他們的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口處的某個地方，導語就能聽到很遠處洞底的聲音，甚至連人的呼吸聲都能聽到，因此這個山洞被命名為“杰尼西亞的耳朵”.這個山洞的特別之處就在于它呈橢圓形，聲音可以從橢圓的一個焦點反射到另一個焦點上，從而可以在洞口清晰地聽到洞底的聲音.隨堂演練課時對點練一、實際生活中的橢圓問題二、直線與橢圓的位置關系三、中點弦問題內容索引一、實際生活中的橢圓問題例1

(多選)中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界首個在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器.2019年9月25日，中國科研人員利用嫦娥四號數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號的著陸位置，并再現(xiàn)了嫦娥四號的落月過程，該成果由國際科學期刊《自然·通訊》在線發(fā)表.如圖所示，現(xiàn)假設“四號星”沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是√√解析由圖可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正確；在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在橢圓軌道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；反思感悟解決和橢圓有關的實際問題的思路(數(shù)學抽象)(1)通過數(shù)學抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉化為數(shù)學問題.(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質求出數(shù)學問題的解.(3)用解得的結果說明原來的實際問題.跟蹤訓練1

某隧道的拱線設計為半個橢圓的形狀，最大拱高h為6米(如圖所示)，路面設計是雙向車道，車道總寬為

如果限制通行車輛的高度不超過米，那么隧道設計的拱寬d至少應是____米.解得a＝16，∵車輛高度不超過米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱寬至少為32米.32二、直線與橢圓的位置關系問題1

類比直線與圓的位置關系，探究直線與橢圓的位置關系時，如何確定直線與橢圓的位置關系？提示聯(lián)立直線與橢圓的方程，看公共解的個數(shù).位置關系解的個數(shù)Δ的取值相交

解Δ

0相切

解Δ

0相離

解Δ

0兩>知識梳理一＝無<注意點：設直線方程時，容易忽略斜率不存在的情況.(1)有兩個不同的公共點；將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，

③關于x的一元二次方程的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點？反思感悟直線與橢圓有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或實數(shù)解的個數(shù)問題，將求最小距離問題轉化為直線與橢圓的相切問題.此時要注意分類討論思想和數(shù)形結合思想的運用.跟蹤訓練2

已知橢圓

直線l：x＋my－m＝0(m∈R)，則直線l與橢圓的位置關系是A.相離

B.相切C.相交

D.不確定√解析由題意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒過點(0,1)，所以點(0,1)在橢圓內部，所以直線l與橢圓相交.三、中點弦問題問題2

已知橢圓的方程為

(m>0，n>0，m≠n)，直線與橢圓相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中點為(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值嗎？知識梳理x＋2y－4＝0解析方法一易知直線AB的斜率k存在，設所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，又M為AB的中點，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.經檢驗，所求直線滿足題意.方法二設點A(x1，y1)，B(x2，y2).∵M(2,1)為AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點在橢圓上，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.經檢驗，所求直線滿足題意.方法三設所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，由于AB的中點為M(2,1)，則另一個交點為B(4－x，2－y).∵A，B兩點都在橢圓上，①②①－②，化簡得x＋2y－4＝0.顯然點A的坐標滿足這個方程，代入驗證可知點B的坐標也滿足這個方程，而過點A，B的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.反思感悟涉及弦的中點，還可使用點差法：設出弦的兩端點坐標，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點坐標與斜率的關系.1.知識清單：(1)實際生活中的橢圓問題.(2)直線與橢圓的位置關系.(3)中點弦的求法.2.方法歸納：分類討論法、點差法.3.常見誤區(qū)：忽略直線中斜率不存在的情況.課堂小結隨堂演練1.已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓

＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關系是A.相離

B.相切C.相交

D.相交或相切√1234∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直線與橢圓相離.2.直線y＝x－1被橢圓2x2＋y2＝4所截得的弦的中點坐標是√1234消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，3.若直線y＝x＋2與橢圓

有兩個公共點，則m的取值范圍是________________.1234(1,3)∪(3，＋∞)∴m>0且m≠3.得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范圍是(1,3)∪(3，＋∞).4.萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場(又名鳥巢)將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看1234成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為___cm.20解析因為兩個橢圓的扁平程度相同，所以橢圓的離心率相同，1234解得a?。?0.所以小橢圓的長軸長為20cm.課時對點練A.相交

B.相切C.相離

D.無法判斷√基礎鞏固12345678910111213141516即點(0,1)在橢圓內部，所以可推斷直線與橢圓相交.12345678910111213141516消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直線與橢圓相交.A.－2 B.－1C.1 √12345678910111213141516解析∵x＋4y＋m＝0，12345678910111213141516設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB中點的橫坐標為1，3.德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運行軌道是橢圓，已知地球運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，軌道近日點到太陽中心的距離和遠日點到太陽中心的距離之比是29∶30，那么地球運行軌道所在橢圓的離心率是√解析設橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，12345678910111213141516√12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析顯然當x＝1時，直線與橢圓有兩個交點，不符合題意；12345678910111213141516由直線與橢圓相切，得Δ＝0，A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0x＋3y－3＝0 x－y－10＝0√12345678910111213141516即x－y－4＝0，切線l的斜率為1.與直線l垂直的直線的斜率為－1，故過A點且與直線l垂直的直線方程為y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.7.已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋

y＋4＝0有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為______.123456789101112131415169x＋y－5＝012345678910111213141516解析設A(x1，y1)，B(x2，y2).因為點A，B在橢圓上，12345678910111213141516所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，12345678910111213141516整理得9x＋y－5＝0.9.已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x－y＋4＝0的距離最短，并求出最短距離.12345678910111213141516解設與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切的直線方程為x－y＋a＝0，12345678910111213141516消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴與直線l距離較近的切線為x－y＋3＝0，它們之間的距離即為所求最短距離，且直線x－y＋3＝0與橢圓的切點即為所求點P.1234567891011121314151610.已知點A，B的坐標分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為－2.(1)求動點M的軌跡方程；12345678910111213141516解設M(x，y).因為kAM·kBM＝－2，化簡得2x2＋y2＝2(x≠±1).即點M的軌跡方程為2x2＋y2＝2(x≠±1).12345678910111213141516解設C(x1，y1)，D(x2，y2).1234567891011121314151612345678910111213141516即所求直線l的方程為2x＋2y－3＝0.√12345678910111213141516綜合運用消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為(x0，y0)，1234567891011121314151612.美學四大構件是：史詩、音樂、造型(繪畫、建筑等)和數(shù)學.素描是學習繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步.某同學在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，√12345678910111213141516底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體)的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓(如圖所示)，若“切面”所在平面與底面成60°角，則該橢圓的離心率為解析橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，“切面”是一個橢圓，由“切面”所在平面與底面成60°角，1234567891011121314151612345678910111213141516√消去x，化簡得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.設F′為橢圓C的左焦點，連接F′E(圖略)，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF.12345678910111213141516在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化簡得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.所以|EF|＝|F′E|＝2，12345678910111213141516即x＋4y＝0.又橢圓的弦的中點只能在橢圓內，1234567891011121314151615.圓錐曲線與空