簡單冪函數(shù)的圖形和性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

§4函數(shù)的奇偶性與簡單的冪函數(shù)

簡單冪函數(shù)的圖形和性質(zhì)情境導(dǎo)學(xué)

同學(xué)們，請你寫出下面

y關(guān)于

x的函數(shù)，并觀察他們的函數(shù)特征：(1)棱長為

x的正方體體積

y;(2)面積為

x的正方形的邊長

y.

冪函數(shù)在生活、建筑、軍事等多個(gè)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.那么冪函數(shù)如何定義？

它的圖象和性質(zhì)是怎樣的呢？問題1：冪函數(shù)的概念思考y＝x－1，y＝x，y＝x2三個(gè)函數(shù)有什么共同特征？答案底數(shù)為x，指數(shù)為常數(shù)．梳理如果一個(gè)函數(shù)底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常量α，即y＝xα，

這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)．問題2：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)思考如圖在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)

(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖像．

y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域

值域

單調(diào)性

(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖像都過點(diǎn)(1,1)；(2)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖像下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖像上凸；(3)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖像在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(4)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，與各冪函數(shù)圖像相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．(5)冪的指數(shù)是一個(gè)常數(shù),它可以取任意實(shí)數(shù);(6冪值前面的系數(shù)是1,否則不是冪函數(shù),如函數(shù)y=5就不是冪函數(shù).(7)冪函數(shù)的定義域是使xα有意義的所有x的集合,因α的不同,定義域也不同.基礎(chǔ)知識總結(jié)：根據(jù)上表，可以歸納一般冪函數(shù)特征：學(xué)習(xí)任務(wù)1：冪函數(shù)的概念例1

(1)下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)

A．1B．2C．3D．4答案B解析冪函數(shù)有①⑥兩個(gè)．課堂評價(jià)1：

函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,試確定m的值.解析根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí)，f(x)=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m=-2時(shí)，f(x)=x-3在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不符合要求.故m=3.學(xué)習(xí)任務(wù)2：冪函數(shù)的圖像及應(yīng)用(1)冪函數(shù)由于指數(shù)α的不同，它們的定義域也不同，性質(zhì)也不同，冪函數(shù)的圖像主要分0<α<1，α>1和α<0三種情況討論(2)冪函數(shù)圖象的畫法:先確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定在其他象限內(nèi)的圖象．反思與感悟

課堂評價(jià)2：(1)若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(

)A．d>c>b>aB．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>bD．a(chǎn)>b>d>c答案(1)B(2)C學(xué)習(xí)任務(wù)3：

冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1比較大小例3比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)直接法：當(dāng)冪指數(shù)相同時(shí)，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較；(2)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不同時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再利用單調(diào)性比較大小；(3)中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)和冪指數(shù)都不同時(shí)，不能用單調(diào)性比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值與兩數(shù)分別比較大小，從而達(dá)到比較大小的目的

答案A反思與感悟比較冪大小的三種常用方法：

命題角度2冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4已知冪函數(shù)

y＝x3m－9(m∈N＋)的圖像關(guān)于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，

求滿足

的a的取值范圍．課堂評價(jià)4已知冪函數(shù)

(1)求

f(x)

的解析式；(2)(i)若

f(x)

圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，直接寫出函數(shù)

f(x)

的單調(diào)區(qū)間.(ii)若

f(x)

圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，解不等式

.寫出今天學(xué)習(xí)內(nèi)容的思維導(dǎo)圖01完成本節(jié)對應(yīng)的鞏固訓(xùn)練（課代表收齊后上交）02寫出今天學(xué)習(xí)內(nèi)容的思維導(dǎo)圖01完成本節(jié)對應(yīng)的鞏固訓(xùn)練（課代表收齊后上交）02學(xué)習(xí)本節(jié)課后，你掌握冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)嗎？01在課堂上你積極嗎？在這節(jié)課上你的學(xué)習(xí)目標(biāo)完成了嗎？你對本堂課重難點(diǎn)掌握了嗎？02030405在本節(jié)課上你掌握了哪些知識點(diǎn)和題型？010203冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是不是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．冪函數(shù)y＝xα的圖像與性質(zhì)由于α的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考察：

(1)α>0時(shí)，圖像過(0,0)，(1,1)在第一象限的圖像上升；α<0時(shí)，圖像不過原點(diǎn)，在第一象限的圖像下降，反之也成立．

(2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時(shí)，曲線下凸；0<α<1時(shí)，曲線上凸；α<0時(shí)，曲線下凸．

要點(diǎn)歸納010203冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是不是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．冪函數(shù)y＝xα的圖像與性質(zhì)由于α的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考