天津市和平區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年天津市和平區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷第Ⅰ卷注意事項：每題選出答案后，用2B鉛筆把、“答題卡”上對應(yīng)題目的答案標號的信息點涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號的信息點．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1．我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉微割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（

）．A．

B．

C．

D．

2．若，是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A． B．4 C． D．33．二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別為（

）A．向下、直線、 B．向下、直線、C．向下、直線、 D．向上、直線、4．已知的半徑為，，則點和的位置關(guān)系是（

）A．點在圓上 B．點在圓外 C．點在圓內(nèi) D．不確定5．把拋物線y＝－x2向下平移1個單位長度，再向左平移1個單位長度，得到的拋物線解析式為(

)A．y＝－(x＋1)2＋1 B．y＝－(x＋1)2－1 C．y＝－(x－1)2＋1 D．y＝－(x－1)2－16．用配方法解一元二次方程時，首先把化成（a、b為常數(shù)）的形式，則的值為（

）A．8 B．11 C．14 D．177．如圖，要設(shè)計一幅寬，長的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為．如果要使彩條所占面積是圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度？若設(shè)每個橫彩條的寬度為，則每個豎彩條的寬度為，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．C． D．8．如圖，是的直徑，分別以點O和點B為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線與相交于C，D兩點，若，則的長為（

）A． B．4 C． D．9．如圖，是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，延長與相交于點、若，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．如圖，等邊的邊長為，點從點出發(fā)在，邊上運動，當點運動到點后停止運動．過作邊的垂線，交于，用表示線段的長度，的面積是線段長度的函數(shù)，則與的函數(shù)圖象正確的是(

)A． B．C． D．11．如圖，都是的半徑，，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B．C． D．12．已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過點，，有下列結(jié)論：①圖象的對稱軸為直線；②若一元二次方程的兩個根是，，則，；③若，則；④無論x取何值，代數(shù)式的值都大于0．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷注意事項：用黑色字跡的簽字筆將答案寫在“答題卡”上（作圖可用2B鉛筆），二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．點關(guān)于原點對稱點的坐標為．14．如圖，五角星圍繞中心旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn)（度）能與自身重合．

15．飛機著陸后滑行的距離s（單位：）關(guān)于滑行的時間t（單位：）的函數(shù)解析式，飛機著陸后滑行米才能停下來．16．若方程x2－4084441＝0的兩根為±2021，則方程x2－2x－4084440＝0的兩根為．17．如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為．

18．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，內(nèi)接于圓，且頂點A，B均在格點上，點C在網(wǎng)格線上．

（Ⅰ）線段的長等于；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，在圓上畫出點D，使平分（不要求證明，保留作圖痕跡）三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）．19．（Ⅰ）解一元二次方程：；（Ⅱ）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，．①求k的取值范圍；②若______（填序號），求k的值．請同學們從①；②；③中選擇一個作為條件，補充完整題目，并完成解答．20．一個滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離s（單位：m）與滑行時間t（單位：s）之間的關(guān)系式，在滑道上設(shè)置了幾個固定的計時點，測得一些數(shù)據(jù)（如表格）．位置編號①②③④⑤⑥滑行時間t/s01234滑行距離s/m0131448為觀察s與t之間的關(guān)系，建立坐標系，以t為橫坐標，s為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點（如圖）．可以看出，其中絕大部分的點都近似的位于某條拋物線上．于是，我們用二次函數(shù)來近似的表示s與t的關(guān)系．

(1)在位置①處，當時，，所以______；(2)有一個計時點的計時裝置出現(xiàn)了故障，請同學們用平滑曲線連接這些絕大部分的點，通過觀察發(fā)現(xiàn)故障點的位置編號可能是______；(3)利用函數(shù)圖象推測當此滑雪者滑行距離為30m時，用時約為______s（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(4)求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距離．21．如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，．(1)求的大??；(2)若的半徑為3，求的長．22．已知，是直徑，半徑經(jīng)過弦的中點．(1)如圖①，連接，，若，求和的大小；(2)如圖②，連接并延長交的延長線于點，若，求的大?。?3．2023年杭州亞運會勝利閉幕．本次亞運會中國代表團共獲得383枚獎牌，位居獎牌榜第一，創(chuàng)造了新的歷史．在亞運會期間，買一件印有亞運會元素的T恤去看比賽，成為了體育迷們的“儀式感”．某商店以每件40元的價格購進一批這樣的T恤，以每件60元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為192件，6月份的銷售量為300件．(1)求該款T恤4月份到6月份銷售量的月平均增長率；(2)從7月份起，商場決定采用降價促銷回饋顧客，銷售利潤不超過30%．經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該款T恤在6月份銷售量的基礎(chǔ)上，每降價1元，月銷售量就會增加20件．如何定價才能使利潤最大？并求出最大利潤是多少元？24．已知矩形，，，將矩形繞A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點B的對應(yīng)點是點E，點C的對應(yīng)點是點F，點D的對應(yīng)點是點G．(1)如圖①；當時，連接，求的長；(2)如圖②，當邊經(jīng)過點D時，延長交于點P，求的長；(3)連接，點M是的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值______．25．已知拋物線（，，是常數(shù)，）的頂點為，與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點．(1)若點，求點和點的坐標；(2)將點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，若，兩點關(guān)于點中心對稱，求點的坐標和拋物線解析式：(3)在（1）的條件下，點為直線下方拋物線上的一個動點，過點作軸，與相交于點，過點作軸，與軸相交于點，求的最大值及此時點的坐標．參考答案與解析1．D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D.是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．D【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個根，，故選D．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程（）的兩根時，，．3．B【分析】根據(jù)頂點式的頂點坐標為，，開口象限，即可求解．【詳解】解：∵，拋物線的開口向下，對稱軸為直線、頂點坐標為，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式的頂點坐標為，掌握頂點式求頂點坐標是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】由的半徑為，知點到圓心的距離大于半徑，從而得出答案．【詳解】解：∵的半徑為，，∴點到圓心的距離大于半徑，∴點在圓外，故選：B．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有種．設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則有①點在圓外；②點在圓上；③點在圓內(nèi)．5．B【詳解】解：根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，可直接求得平移后的拋物線的解析式為：.故選：B.6．D【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)橫豎彩條寬度間的關(guān)系，可得出豎彩條的寬為，進而可得出除彩條部分外的九塊區(qū)域可合成長為，寬為的長方形，再結(jié)合彩條所占面積是圖案面積的三分之一，即可得出關(guān)于的一元二次方程，即可得到答案．【詳解】解：橫、豎彩條的寬度比為，且橫彩條的寬為，則每個豎彩條的寬度為除彩條部分外的九塊區(qū)域可合成長為，寬為的長方形，根據(jù)題意可得：，即，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】連接，設(shè)和交于點M，根據(jù)作圖得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理得出結(jié)果．【詳解】解：連接，設(shè)和交于點M，由作圖可知：垂直平分，∵，∴，，∴，∵，∴，故選C．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，垂直平分線，垂徑定理以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過程得出垂直平分線，利用垂徑定理得出最后結(jié)果．9．A【分析】根據(jù)已知條件得出，設(shè)交于點，根據(jù)對頂角相等，三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)交于點，如圖所示，∵，，∴∵∴,∵是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∴，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)題意可知，點為臨界點，分別研究在點兩側(cè)時的情況即可．【詳解】解：當時，，當時，，，，綜上所述，函數(shù)圖象在時，是開口向上的拋物線的一部分，當時是開口向下的拋物線的一部分，故選：C．【點睛】本題是動點問題的函數(shù)圖象探究題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識，解答關(guān)鍵是分析動點到達臨界點前后的圖形變化．11．A【分析】取的中點D，連接，，，由，易得，繼而證得，由垂徑定理可得，結(jié)合同圓種等弧所對的圓周角相等可得，即可證明，C、D選項根據(jù)圓周角定理即可證明．【詳解】解：取的中點D，連接，，，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，故A錯誤，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，故B正確；∵，∴，故C正確；∵，∴，故D正確；故選：A．【點睛】此本題考查了弧、弦與圓心角的關(guān)系、垂徑定理以及圓周角定理．熟練掌握輔助線的作法是解題關(guān)鍵．12．B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出對稱軸判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到，然后代入求出兩根判斷②；利用函數(shù)的增減性判斷③；把代入利用配方法判斷④即可解題．【詳解】∵過,∴對稱軸為直線，故①對；∵過∴，

∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴

又∵，∴解得：，，故②正確；∵時，；時，∴，∵，∴，∴，∴當時，，故③錯誤；∵，又∵且，∴，∴，故④錯誤綜上所述正確結(jié)論個數(shù)為，故選．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了點的坐標，熟記關(guān)于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念與特征，求出最小旋轉(zhuǎn)角即可．【詳解】解：根據(jù)已知圖形可知，圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為：，圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)與自身重合；故答案為：．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念與特征是解答此題的關(guān)鍵．15．600【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式求出的最大值即可得．【詳解】解：∵，∴當時，取得最大值600，即飛機著陸后滑行600米才能停下來，故答案為：600．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意得出飛機滑行的距離即為的最大值是解題的關(guān)鍵．16．x1＝2022，x2＝－2020【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，x2﹣2x＝4084440，x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝4084441，∵方程x2﹣4084441＝0的兩根為±2021，∴x﹣1＝±2021，∴x1＝2022，x2＝﹣2020．故答案為：x1＝2022，x2＝﹣2020．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等．17．##【分析】設(shè)的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點為點，證明，可知點F在以為直徑的半圓上運動，當點F運動到與的交點時，線段有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點為點，

∵，∴，∴，∵，∴，∴點F在以為直徑的半圓上運動，∴當點F運動到與的交點時，線段有最小值，∵，∴，，∴，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點F的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）畫圖見解析；【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理進行計算即可；（Ⅱ）如圖，取格點，連接交于，記圓與格線的兩個交點為，連接，由，可得為直徑，取格點，連接并延長與交于點，由，結(jié)合為的中點，可得，可得為圓心，記于格線的交點為，由平行線分線段成比例可得為的中點，連接，并延長交于，連接即可；【詳解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）如圖，即為所求作的角平分線；

【點睛】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，三角形的外接圓的圓心的確定，熟練的利用垂徑定理應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．19．（Ⅰ），；（Ⅱ）①

②選擇①時，【分析】（Ⅰ）利用公式法解一元二次方程即可解題；（Ⅱ）①根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；②根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解即可．【詳解】（Ⅰ）解：，，∵，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，；（Ⅱ）解：①∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，解得，②由題可得，，當選擇①時，，解得：或（舍去）；當選擇②時，，解得：；當選擇③時，則，即，解得：；【點睛】本題考查一元二次方程的解法，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情況的關(guān)系，以及根與系數(shù)關(guān)系并能靈活運用是解答的關(guān)鍵．20．(1)(2)平滑曲線見詳解，③(3)(4)（），【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式，即可求解；（2）畫出圖象，觀察圖象即可求解；（3）根據(jù)圖象可找出當時，對應(yīng)的近似值，即可求解；（4）圖象經(jīng)過，，可求，驗證，是否在拋物線上，從而可以確定s與t的函數(shù)關(guān)系式，再當即可求解．【詳解】（1）解：當時，，，，故答案：．（2）解：畫圖如下，

觀察圖象可知，除了③號點，其它各點都在同一個拋物線上，故這個計時點的位置編號可能是③．故答案為：③；（3）解：如圖，

由圖象得：當此滑雪者滑行距離為30m時，用時約為，故答案：．（4）解：由題意得，圖象經(jīng)過，，則有，解得：，，當時，當時，，，在拋物線上，s與t的函數(shù)關(guān)系式（），當時，（），答：s與t的函數(shù)關(guān)系式（），滑雪者在故障位置的滑行距離．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．21．(1)(2)【分析】（1）直接利用圓周角定理得出的度數(shù)，再利用等弧所對的圓周角相等得到求出答案；（2）連接，，首先求出的度數(shù)，得到為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出答案．【詳解】（1）∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）連接，，則，又∵，∴為等邊三角形，∴．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．22．(1)，；(2)．【分析】（1）由垂徑定理得出，，求出，由圓周角定理得出，再由即可得出；（2）同理（1）可求，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）是的中點，，，，，，，∵，；（2）是的中點，，，，，，．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．23．(1)(2)當時，利潤最大，最大為5520元【分析】（1）(1)設(shè)4月份到6月份的月平均增長率為x，根據(jù)4月份的銷售量為192件，6月份的銷售量為300件，可列方程，求解即可；（2）設(shè)定價為x元，利潤為y元，列出函數(shù)關(guān)系式，找到對稱軸根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最大值即可．【詳解】（1）解：設(shè)4月份到6月份銷售量的月平均增長率為a，則，解得：，（舍去），答：4月份到6月份銷售量的月平均增長率為．（2）設(shè)定價為x元，利潤為y元，則，對稱軸為，∵銷售利潤不超過30%，∴定價不能超過元，∵，當時，y隨x的增大而增大，∴當時，利潤最大，最大為5520元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．24．(1)(2)(3)【分析】（1）連接、，根據(jù)勾股定理先求出對角線的長，再利用旋轉(zhuǎn)得到，，再次利用勾股定理即可解題；（2）連接，利用勾股定理先求出長，然后得到，即，然后解題即可；（3）連接，交于點O，連接