江蘇省蘇州市第五中學高考數(shù)學總復習 第2講 排列與組

·第

2

講

排

列

與

組

合名稱定義排列從

n

個

不同

元

素中

取出

m(

m≤

n

)個不同元素按

照一

定

的

順

序

排成一列組合合成一組·

知

識

梳

理·1.

排列與組合的概念診斷

·

基礎知識由淺入深

夯基固本·

2

.

排

列

數(shù)

與

組

合

數(shù)

(1)從n

個不同元素中取出m(m≤n)個

身商牌所有

的個數(shù)，

叫做

從n

個

不同

元

素中

取出m

個元素

的排

列

數(shù)

.(

2

)

從

n

個

不

同

元

素

中

取

出m(m≤n)

個

元

素

的

所

有

的個數(shù)，叫從n個不同元素中取出m個元素的組合粼同組合公(1)A:=

n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=cn-m!(n,

m

∈

N*,且

m≤n).特別地

Ci=1.性

質(1)0!=

1;An=

n!(2)Cm=Cn-m;Cm?=

Cm+Cn1·3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質·

辨

析

感

悟·1.

排列與組合的基本概念、性質(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.

(×)(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

√)(

3

)

若

組

合

式

Cx=Cm,則

x=m成

立

.

(×)2.

排列與組合的應用(4)5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有

A多-A2A4=72

種.

(

√)(5)(教材習題改編)由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復數(shù)字的四位數(shù)共有3×43—A3=168

(個).

(×)(6)(2013·北京卷改編)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，

每人至少1

張，

如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是4A4=96

種

.(

√)·[感悟·提升]·

1.

一個區(qū)別

排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無

序”.

取出元素后交換順序，

如果與順序有關是排列，如果

與順序無關即是組合，如(1)忽視了元素的順序.·2.

求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；

有

序排列，

無序組合；

分類相加，分步相乘.

”·考點一

排列應用題·

【例1】

4個男同學，

3個女同學站成一排.

(1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法?●

(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法?●

(3)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的

排法?突

破

·

高

頻

考

點以例求法

舉一反三解(1)3

個女同學是特殊元素，共有

A3種排法；

由于3個女同學必須排在一起，視排好的女同學為一整體，再與4個男同學排

隊，應有

A多種排法.由分步乘法計數(shù)原理，有

A3A

?=720種不同排法.(2)先將男生排好，共有

A4種排法，再在這4個男生的中間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有

A3種方法.故符合條件的排法共有

A4A3

=1440種不同排法.(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A4

種排法；由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，有A2種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空檔及兩邊有

A3

種

排

法.總共有

A4A2A3=960種不同排法.規(guī)律方法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分

析法、元素分析法，

在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先

原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于

分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題

采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.·【訓練1】

(1)(2014·濟南質檢)一排9個座位坐了3個三口之家，

若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為

(結果可不

化簡).(2)(2013·四川卷改編)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，

每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到1g

a—1g

b的不同值的個數(shù)是

(2)由于

,b>0),.1gp

有多少個不同的值，只需看

不同值的個數(shù).從1,3,5,7,9中任取兩個作為呂有A?種，相同，

∴1g

a—1gb

的不同值的個數(shù)有A

}-2=18.解

析

(1)把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3!)?種.·答

案

(1)(3!)?

(2)18

相同，·考點二

組合應用題【例2】

某課外活動小組共13人，

其中男生8人，

女

生5人，并且男、

女生各指定一名隊長.現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法?(1)只有一名女生；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選；(5)既要有隊長，又要有女生當選.解

(1)一名女生，四名男生.故共有C}·C8=350(種).(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有C2·C3?=165(種).(3)至少有一名隊長含有兩類：

只有一名隊