專題11角度中的動態(tài)問題專題講練（解析版）

專題11角度中的動態(tài)問題專題講練與角有關(guān)的動態(tài)問題（旋轉(zhuǎn)、翻折）屬于人教版七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題（求值問題、定值問題、探究問題、分類討論問題）和與角有關(guān)的翻折問題。1、知識儲備考點(diǎn)1.求值問題考點(diǎn)2.定值問題考點(diǎn)3.探究類問題考點(diǎn)4.分類討論問題考點(diǎn)5.新定義問題考點(diǎn)6.折疊（翻折）問題2、經(jīng)典基礎(chǔ)題3、優(yōu)選提升題1、角度旋轉(zhuǎn)問題解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大：變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時(shí)要分順時(shí)針與逆時(shí)針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。常見的三角板旋轉(zhuǎn)的問題：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個(gè)特殊角的角度?？傊还苓@個(gè)角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來?？键c(diǎn)1.求值問題例1．（2022?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時(shí)都停止運(yùn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計(jì)算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數(shù)式表示）．（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大?。窘忸}思路】（1）①將∠AOC+∠BOD拆分、轉(zhuǎn)化為∠COD+∠AOB即可得；②依據(jù)∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，將原式拆分、轉(zhuǎn)化為∠AOB﹣∠COD計(jì)算可得；（2）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD與OA相遇前、后表達(dá)式不同，故需分OD與OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36兩種情況求解；（3）設(shè)OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，則OD也繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，再分①射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN同側(cè)；②射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN同側(cè)；③射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN異側(cè)；④射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN異側(cè)；四種情況分別求解．【解答過程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案為：150°、30°；（2）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20時(shí)，OD與OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36時(shí)，OD與OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）設(shè)OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，則OD也繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，①0＜n°≤150°時(shí)，如圖4，射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN同側(cè)，∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90?12∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；②150°＜n°≤180°時(shí)，如圖5，射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN同側(cè)，∵∠BOF=12(n?150)°，∠BOE＝（90?12n）°=12（180﹣n③180°＜n°≤330°時(shí)，如圖6，射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN異側(cè)，∵∠DOF=12(n?150)°，∠COE=12(360?n)°，∴∠EOF＝∠④330°＜n°≤360°時(shí)，如圖7，射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN異側(cè)，∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；綜上，∠EOF＝15°或165°．變式1．（2022·江蘇·七年級期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當(dāng)α=0°時(shí)，如圖1，則∠POQ=；②當(dāng)α=80°時(shí)，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當(dāng)α=130°時(shí)，如圖3，請先補(bǔ)全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【分析】（1）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案為：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：補(bǔ)全圖形如圖3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）當(dāng)∠AOB=m°，∠COD=n°時(shí)，如圖2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，當(dāng)∠AOB=m°，∠COD=n°時(shí)，如圖3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+°)+(-n°+°)=180°-m°-n°，綜上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，則∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．故答案為：m°+n°或180°-m°-n°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022?香坊區(qū)七年級期中）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CON＝2∠MOQ時(shí)，求∠CON的度數(shù)；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內(nèi)部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數(shù)【解題思路】（1）設(shè)∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，則∠AON＝90°+α，由補(bǔ)角的定義可求得∠MOB＝2∠NOB，即可證明結(jié)論；（2）分兩種情況：若射線OM在∠AOQ內(nèi)時(shí)，若射線OM在∠BOQ內(nèi)時(shí)，由角平分線的定義求解∠MOQ，結(jié)合∠CON＝2∠MOQ可得關(guān)于α的等式，計(jì)算可求解；（3）由（1）（2）結(jié)論可得∠MOP＝45°?12α，可分兩種情況：情況1：射線OM在∠AOQ內(nèi)，情況2：射線OM在∠【解答過程】解：（1）設(shè)∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；（2）若射線OM在∠AOQ內(nèi)時(shí)，∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ=12∠AON=1∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+12α﹣2α＝45°∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°?32α），∴α＝22.5°，即∠若射線OM在∠BOQ內(nèi)時(shí)，∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（32α﹣45°），∴α＝45°，即∠CON故∠CON的度數(shù)為22.5°或45°；（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+12α，∠MOQ＝45°?32α；∠∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=12∠MON=1情況1：射線OM在∠AOQ內(nèi)，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°?12α﹣30°＝15°∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+12α）＝45°∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°?32α）：（15°?12α）＝3（15°n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°?12α）＝2（45°?1∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°?32α＝15°，解得∠α＝20°∠情況2：射線OM在∠BOQ內(nèi)，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°?12α）∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=3∴m＝∠MOQ：∠POD＝（32α﹣45°）：（12α﹣15°）＝3（12由情況1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°?1∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，∴32α﹣45°＝15°，解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM考點(diǎn)2.定值問題例2．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開始繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s，運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個(gè)直角；當(dāng)t＝2時(shí)，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，請求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時(shí)，求t的取值范圍，并求出這個(gè)定值．【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值為10s；(3)當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時(shí)，t的取值范圍為＜t＜6，這個(gè)定值是3【分析】(1)由直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4個(gè)直角；當(dāng)t＝2時(shí)求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度數(shù)；(2)用t分別表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根據(jù)OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分別求得∠COE、∠DOF,由∠EOF為直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.(3)先確定∠MON＝180°時(shí)，∠BOM＝90°時(shí)t的值，再分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，得到0＜t＜時(shí)不是定值，當(dāng)＜t＜6時(shí)，=3是定值.【詳解】（1）如圖所示，∵兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴圖中一定有4個(gè)直角；當(dāng)t＝2時(shí)，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案為：4；144°，114°；（2）如圖所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，∵當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，∠COE+∠DOF＝90°，∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，t的值為10s；（3）當(dāng)∠MON＝180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝，當(dāng)∠BOM＝90°時(shí)，15t＝90°，解得t＝6，①如圖所示，當(dāng)0＜t＜時(shí)，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴＝，（不是定值）②如圖所示，當(dāng)＜t＜6時(shí)，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，∴＝=3，（是定值）綜上所述，當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時(shí)，t的取值范圍為＜t＜6，這個(gè)定值是3．【點(diǎn)睛】此題考察圖形中的運(yùn)動問題，(3)先確定∠MON＝180°時(shí)，∠BOM＝90°時(shí)t的值，再分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，得到0＜t＜時(shí)不是定值，當(dāng)＜t＜6時(shí)，=3是定值.變式1．（2022?渝中區(qū)七年級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時(shí)，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時(shí)停止運(yùn)動．整個(gè)運(yùn)動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時(shí)，求出對應(yīng)的t的值；②請問在整個(gè)運(yùn)動過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個(gè)定值及其對應(yīng)的t的取值范圍（包含運(yùn)動的起止時(shí)間）；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形根據(jù)已知條件求角的大小；（2）①分類討論順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)角平分線的定義用t表示出角的度數(shù)，列出等量關(guān)系式求出t；②分類討論順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)兩種情況，當(dāng)C′在B下方時(shí)，當(dāng)C′在B上方時(shí)，根據(jù)角平分線的定義用t表示出角的度數(shù)，求在某個(gè)時(shí)間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變，求出這個(gè)定值及其對應(yīng)的t的取值范圍．【解答過程】解：（1）∵OM為∠AOB的角平分線、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON為∠BOD的角平分線，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案為：40°．（2）如圖①：①逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)：當(dāng)C′在B上方時(shí)，根據(jù)題意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′=12∠BOD′=1∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t當(dāng)C′在B下方時(shí)，此時(shí)C′也在N′下方，此時(shí)不存在OC′平分∠BON′．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)：如圖②，同理當(dāng)C′在B下方時(shí)，此時(shí)C′也在N′下方，此時(shí)不存在OC′平分∠BON′．當(dāng)C′在B上方時(shí)，即OC′與OB重合，由題意可求OC′與OB重合用的時(shí)間＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（∴OC′與OB重合之后，∠BOC′＝6（t?803）（∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t?803）+60°＝6t﹣100°．∴∠BON′=12∠BOD'=∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON'，∴6（t?803）=12綜上所述t的值為5或30．②逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)：當(dāng)C′在B上方時(shí)，如圖③根據(jù)①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠AOD'=∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段時(shí)間0≤t≤10s；如圖④當(dāng)C′在B下方時(shí)，設(shè)經(jīng)過OB后運(yùn)動時(shí)間為t2，同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠MON'=1∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠AOP=1∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此時(shí)：10＜t≤20；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)：當(dāng)C′在B下方時(shí)，如圖⑤，設(shè)經(jīng)過OB后運(yùn)動時(shí)間為t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON'=12∠BOD'=10°+3t1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此時(shí)：20＜t≤80當(dāng)C′在B上方時(shí)，如圖⑥，設(shè)經(jīng)過OB后運(yùn)動時(shí)間為t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON'=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此時(shí)：803＜綜上所述：存在且定值為40°，0≤t≤50．變式2．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若．①當(dāng)三條射線、、構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)的值；②在射線，轉(zhuǎn)動過程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當(dāng)，求的值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）根據(jù)題意求得OD與OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度數(shù)；（2）①分三種情況，列出方程，解方程即可得到答案；②先證明運(yùn)動至外部．由，，可以得到，又因?yàn)槠椒?，則，從而求出，再求得，即可求得答案．（1）解：依題意，當(dāng)時(shí)，射線運(yùn)動的度數(shù)為，∵，∴此時(shí)與重合，射線運(yùn)動的度數(shù)為，即，∴當(dāng)時(shí)，．（2）①若時(shí)，分下面三種情形討論：（i）如圖1當(dāng)時(shí)，，∴，符合．（ii）如圖2，當(dāng)時(shí)，，∴，符合．（iii）如圖3，當(dāng)時(shí)，，∴，不在范圍內(nèi)，舍去．綜上所得或．②如圖4，∵，∴，，∴最大度數(shù)為，最大度數(shù)為．∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴運(yùn)動至外部．此時(shí)，，，∴，∵平分，∴，∴，又，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、圖形的旋轉(zhuǎn)、角之間計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列方程．考點(diǎn)3.探究類問題例1．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】（1）20°；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；（2）解法與（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度數(shù)作為已知量，求得∠BPC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可解決．【詳解】（1）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（2）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（3）結(jié)論：．理由如下：設(shè)，則，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．變式1．（2022·安徽·定遠(yuǎn)七年級期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；②當(dāng)n為多少時(shí)，為直角？(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大??；將圖1中的OC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請直接寫出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．【答案】(1)25°(2)①n°＋25°，②n＝65(3)∠MON=m°＋25°【分析】（1）如圖1，根據(jù)OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根據(jù)ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，進(jìn)而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；（2）①根據(jù)圖形中角的和差關(guān)系可直接求出；②當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，（3）根據(jù)圖中角的和差關(guān)系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．（1）如圖1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，（2）①如圖2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，②當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，n°＋25°＝90°，∴n＝65，（3）如圖3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．故答案是：∠MON＝m°＋25°．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握角平分線的定義，并能結(jié)合圖形分析角的和差關(guān)系．變式2．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個(gè)同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關(guān)系，請說明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由見解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由見解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根據(jù)∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根據(jù)∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【詳解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案為：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【點(diǎn)睛】本題考查了角的運(yùn)算，理解角的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4.分類討論問題例4．（2022·成都市育才七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，且，，，．將三角板繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結(jié)論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）或【分析】（1）利用兩個(gè)角的和的定義,角的平分線的定義計(jì)算即可；（2）利用分類思想，確定不同方式計(jì)算即可；（3）利用特殊與一般的思想，分類將問題抽象即可．【詳解】（1）如圖，由與重合，∵，，∴．又∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：150°；75°；（2）如圖，∵平分，平分，∴+30°+30°+30°．∴，∴．（3）如圖，∵平分，平分，∴，，∴=+60°-=；如圖，∵OE平分，平分，∴，∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)角的和，角的平分線，周角的定義，靈活運(yùn)用分類思想，角的平分線定義，角的和，差定義計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022?廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；②______（用含有或的代數(shù)式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）(3)如圖（4），當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°【解析】(1)①OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，當(dāng)，時(shí)，，，②，故答案為：(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，故答案為：，(3)根據(jù)題意OM平分∠POQ，如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，MON的度數(shù)是40°ON平分∠POA，，，則旋轉(zhuǎn)了分，即分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°如圖，在的內(nèi)部時(shí)，即此情況不存在，綜上所述，分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°變式2．（2022·成都市七年級期中）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．（1）如圖1，已知，，是的內(nèi)半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時(shí)，是的內(nèi)半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點(diǎn)以3度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；若不能，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．【分析】（1）根據(jù)內(nèi)半角的定義解答即可；（2）根據(jù)內(nèi)半角的定義解答即可；（3）設(shè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為，根據(jù)內(nèi)半角的定義列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵是的內(nèi)半角，，∴，∵，∴，故答案為：．（2）∵，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)的角度為時(shí)，是的內(nèi)半角．（3）設(shè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為，如圖1，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴；如圖2，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖3，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖4，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為或或或時(shí)，射線，，，能構(gòu)成內(nèi)半角．【點(diǎn)睛】本題考查了與角的有關(guān)的計(jì)算，涉及到角的和差，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5.新定義問題例1．（2022·湖北武漢·七年級期末）【學(xué)習(xí)概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運(yùn)用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對PM和PQ的運(yùn)動情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動時(shí)間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時(shí)，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．變式1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時(shí)，運(yùn)動停止．問：當(dāng)射線OC運(yùn)動時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】(1)是(2)n(3)或或或或秒【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進(jìn)行計(jì)算即可．(1)解：∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．故答案為：是．(2)∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．故答案為：n．(3)設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時(shí)，運(yùn)動停止如圖，當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可得,,則解得如圖,當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)時(shí)，,,解得即運(yùn)動時(shí)間為秒時(shí)，射線OC是射線OB的“友好線”．③如圖，當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝∠COB，,,所以10+x＝，解得x＝（符合題意），即運(yùn)動時(shí)間為秒時(shí)，射線OB是射線OA的“友好線”．④如圖，當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝∠COB，,,解得⑤如圖，,當(dāng)時(shí)解得：當(dāng)時(shí)解得：綜上所述，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為或或或或秒時(shí)，符合題意要求．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．變式2．（2022·江蘇無錫·七年級期末）類比角平分線的概念，如果一條射線把一個(gè)角分成1：2兩部分，則稱這條射線為這個(gè)角的一條三等分線，(1)如圖，已知，是的一條三等分線，．且，求的度數(shù)；(2)如圖，，是的一條三等分線（），是的角平分線，是的角平分線．若以每秒5的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，射線恰好是的一條三等分線．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)角的三等分線的意義進(jìn)行計(jì)算求解；（2）根據(jù)角平分線的定義和角的三等分線的意義，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算求解．(1)解：，OC是的一條三等分線，且，；(2)解：，OC是的一條三等分線，且，，．∵OE是的角平分線，OF是∠AOB的角平分線，∴，，，．設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角為，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，如圖2-1，當(dāng)OB是的一條三等分線，且時(shí)，，，，解得(秒)；如圖2-2，當(dāng)OB是的一條三等分線，且時(shí)，，，，解得(秒)，當(dāng)秒或秒時(shí)，射線OB恰好是的一條三等分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，理解角平分線、角三等分線的意義是正確解答的前提．考點(diǎn)6.折疊（翻折）問題【解題技巧】折疊前后對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等；出現(xiàn)角的比值或無角的具體度數(shù)卻求度數(shù)常設(shè)列方程。在旋轉(zhuǎn)問題中求解角度是初一數(shù)學(xué)的難點(diǎn)題型，需要熟悉并靈活運(yùn)用角度求解的方法，本文就例題詳細(xì)解析這類題型的解題思路，希望能給初一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來幫助。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的角度或角與角之間的關(guān)系，確定射線旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)速度，就可以求得射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，特別要注意在角的兩邊所處位置不明確的情況下，必須要考慮多解的可能。例1．（2022·山東東營·期末）如圖，長方形紙片，點(diǎn)、分別在邊、上，連接．將對折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕；將對折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，從而可得∠NEM＝∠AEB，進(jìn)而求解．【詳解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝（∠AEF＋∠BEF）＝×180°＝90°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，解題關(guān)鍵通過翻折得到角相等．變式1．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，若，則的度數(shù)為（

）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°【答案】B【分析】由長方形和折疊的性質(zhì)結(jié)合題意可求出．再根據(jù)，即可求出答案．【詳解】由長方形的性質(zhì)可知：．∴，即．由折疊的性質(zhì)可知，∴．∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想找到角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．例2．（2022·遼寧西豐縣·七年級期中）利用折紙可以作出角平分線．（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝．（2）折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接OA'．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'在OA'上時(shí)，判斷∠AOC與∠BOD的關(guān)系，并說明理由；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時(shí)，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由見解析；②30°【分析】（1）由折疊得出∠AOC＝∠BOC，即可得出結(jié)論；（2）①由折疊得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由點(diǎn)B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出結(jié)論；②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由折疊知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案為：29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由：由折疊知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，由折疊知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，∵點(diǎn)B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；②由折疊知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度數(shù)為30°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，角的和差的計(jì)算，從圖形中找出角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖南長沙·七年級月考）已知長方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)I在射線BC上、連接EF，F(xiàn)I，將∠A沿EF所在的直線對折，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，∠B沿FI所在的直線對折，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處．(1)如圖1，當(dāng)HF與GF重合時(shí)，則∠EFI＝_________°；(2)如圖2，當(dāng)重疊角∠HFG＝30°時(shí)，求∠EFI的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)∠GFI＝α，∠EFH＝β時(shí)，∠GFI繞點(diǎn)F進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內(nèi)，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉(zhuǎn)過程中求出∠PFQ的度數(shù)(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根據(jù)∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推導(dǎo)出x與y的和即可求得答案；（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根據(jù)，即可得到答案.【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，∴180°，即90°，∴45°，∴75°；（3）,，∴180°，∴90°，又∵，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.1．（2022·四川成都市·成都實(shí)外）如圖，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，則∠GFH的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【答案】D【分析】根據(jù)折疊求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根據(jù)∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度數(shù)．【詳解】解：∵將長方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，使點(diǎn)C落在長方形內(nèi)部點(diǎn)E處，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，折疊的性質(zhì)，角度的倍數(shù)關(guān)系，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．2．（2022·成都市初一月考）如圖，將一張長方形紙片的角A、E分別沿著BC、BD折疊，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)E落在邊BA'上的E'處，則∠CBD的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【答案】B【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故選B．【點(diǎn)睛】由折疊的性質(zhì)，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定義，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，則可求∠CBD的度數(shù)．此題考查了折疊的性質(zhì)與平角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．3．（2022·重慶七年級期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數(shù)是（）A．18° B．20° C．36° D．45°解：由折疊可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG＝∠GDF，∴∠EDF＝∠BDG，∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．故選：C．4．（2022·黑龍江·七年級期末）請仔細(xì)觀察如圖所示的折紙過程，然后回答下列問題：（1）的度數(shù)為__________；（2）與有何數(shù)量關(guān)系：______；（3）與有何數(shù)量關(guān)系：__________；【答案】（1）90°；（2）；（3）.【分析】（1）由圖中第三個(gè)圖形可知，折疊后∠1+∠3=∠2，再根據(jù)B、E、C三點(diǎn)共線可求得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）可知∠1+∠3=∠2=90°，兩角之和為90°，兩角互余；（3）由B、E、C三點(diǎn)共線可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)折疊的過程可知：∠2=∠1+∠3，∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三點(diǎn)共線∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．（2）∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90°．（3）∵B、E、C三點(diǎn)共線，∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．【點(diǎn)睛】本題考查的角的計(jì)算以及折疊問題，解題的關(guān)鍵是依據(jù)折疊的特性找到∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．5.（2022?浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）【答案】（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【解析】（1），∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒（2）度∵，平分，∴∴，∴解得：秒（3）如圖：∵，由題可設(shè)為，為，∴∵，，解得：秒答：經(jīng)過秒平分．6．（2022·重慶七年級期末）一副三角板按如圖1所示放置，邊在直線上，．(1)求圖1中的度數(shù)；(2)如圖2，將三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，同時(shí)將三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到射線上時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．設(shè)轉(zhuǎn)動時(shí)間為．①在范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，求t的值；②如圖3，旋轉(zhuǎn)過程中，作的角平分線，當(dāng)時(shí)．直接寫出時(shí)間的值．【答案】(1)(2)①2s；②s或s或s．【分析】（1）利用角的和差關(guān)系可得從而可得答案；（2）①先求解重合的時(shí)間，再畫出圖形，結(jié)合幾何圖形與角的和差關(guān)系列方程，再解方程即可；②分情況討論：當(dāng)時(shí)，結(jié)合①可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用角的和差關(guān)系列方程解方程即可，當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)利用角的和差關(guān)系列方程再解方程即可，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用角的和差關(guān)系列方程，再解方程即可，從而可得答案.(1)解：，(2)解：①則重合時(shí)的時(shí)間為：（s），當(dāng)時(shí)，解得：所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)2s時(shí)，②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到射線上時(shí)，（s），當(dāng)時(shí)，結(jié)合①可得當(dāng)重合時(shí)，（s），重合時(shí)，（s），如圖，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)重合時(shí)，（s），如圖，當(dāng)時(shí)，平分解得：當(dāng)重合時(shí)，（s），當(dāng)時(shí)，如圖，平分解得：不符合題意，舍去，當(dāng)重合時(shí)，（s），當(dāng)平分解得：如圖，當(dāng)再次重合時(shí)，（s），當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)重合時(shí)，（s）當(dāng)時(shí)，平分解得：綜上：當(dāng)時(shí)，s或s或s．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何圖形中角的和差關(guān)系，角的動態(tài)定義的理解，一元一次方程的應(yīng)用，“數(shù)形結(jié)合與利用一元一次方程解決動態(tài)幾何問題”是解本題的關(guān)鍵.7．（2022·安徽·宿城第一初級七年級期中）以直線上一點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在處，即．(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；(2)如圖2，將直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動到某個(gè)位置，①若恰好平分，則______；②若在內(nèi)部，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______；(3)將直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動（與重合時(shí)為停止）的過程中，恰好有，求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②(3)或【分析】（1）先求出，再根據(jù)即可得；（2）①先求出，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)即可得；②根據(jù)和即可得；（3）分①在的內(nèi)部和②在的外部兩種情況，根據(jù)角的和差分別求出和，再根據(jù)建立方程，解方程即可得．（1）解：，，，，故答案為：．（2）解：①，，恰好平分，，又，，故答案為：；②在內(nèi)部，，，，即，，即，故答案為：．（3）解：①如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，，∵，∴，又∵，∴，解得；②如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，∴，∵，∴，又∵，∴，解得；綜上，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差、角平分線等知識點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．8．（2022·福建福州·七年級期末）在一次數(shù)學(xué)活動課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板、按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時(shí)，則____；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時(shí)．請說明平分；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算；（2）計(jì)算的度數(shù)，得到，得出結(jié)論；（3）設(shè)，表示出，根據(jù)，求出，得出答案；(1)解：點(diǎn)在同一直線上，，，故答案為：；(2)如圖3，，，∵，，∴，∵，，∴，∴平分；(3)如圖4，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形準(zhǔn)確表示角的和差．9．（2022·山東·煙臺期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數(shù)學(xué)火花呢？福山區(qū)某兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組對一副三角板進(jìn)行了以下兩種方式的擺放組合．已知一副三角板重合的頂點(diǎn)記為點(diǎn)O，作射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，來研究一下45°三角板不動，30°三角板繞重合的頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠EOF的度數(shù)如何變化．【A組研究】在同一平面內(nèi)，將這副三角板的的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)重合（圖中點(diǎn)O），此時(shí)∠AOB=45°，∠COD=30°將三角板OCD繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（1）如圖①，當(dāng)射線OB與OC重合時(shí)，則∠EOF的度數(shù)為___________；（2）如圖②，將∠COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖②求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．【B組研究】在同一平面內(nèi)，將這副直角三角板中的一個(gè)直角頂點(diǎn)和一個(gè)銳角頂點(diǎn)重合(圖中點(diǎn)O)，此時(shí)∠AOB=90°，∠COD=30°，將三角板OCD繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（3）如圖③，當(dāng)三角板OCD擺放在三角板AOB內(nèi)部時(shí)，則∠EOF的度數(shù)為___________；（4）如圖④，當(dāng)三角板OCD轉(zhuǎn)動到三角板AOB外部，設(shè)∠BOC=β，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖④求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．【答案】（1）；（2）不變，；（3）；（4）不變，【分析】（1）根據(jù)即可求得答案；（2）根據(jù)條件得，又因?yàn)?，得出答案；?）根據(jù)，得出答案；（4）根據(jù)=，得出答案；【詳解】解:(1)，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，，故答案為：；(2)不變；∵，∴，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，∴，，=，=，=；(3)，，，，，，，故答案為：60°；(4)不變，由題意得，，==，=．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，解題關(guān)鍵根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形得出結(jié)論．10．（2022·貴州遵義·七年級期末）【閱讀理解】在學(xué)習(xí)《角的比較與運(yùn)算》內(nèi)容時(shí)，教材設(shè)置這樣的一個(gè)探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通過一副三角尺可以拼出一些特殊度數(shù)的角．(1)【實(shí)踐】在度數(shù)分別為①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同學(xué)利用一副三角尺拼不出來的是__________．（填序號）(2)【操作】七（1）班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用一副三角尺進(jìn)行拼角．如圖1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如圖2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他們兩人各自所拼的兩個(gè)角均在公共邊OC的異側(cè)，并在各自所拼的圖形中分別作出的平分線OE和的平分線OF．【探究】通過上述操作，巧巧計(jì)算出圖1中的，請你直接寫出圖2中的__________°．(3)【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角和有一條邊重合，且這兩個(gè)角在公共邊的異側(cè)時(shí)，這兩個(gè)角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．(4)【拓展】巧巧把圖1中的三角尺AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到圖3的位置，使O，D，B三點(diǎn)在同一條直線上，并求出了的度數(shù)為．嘉琪把圖2中的三角尺AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到圖4的位置，使O，D，B三點(diǎn)在同一條直線上．請你仿照巧巧的做法，求出圖4中的度數(shù)．(5)【歸納】根據(jù)上述探究，可以歸納出：當(dāng)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角和有（其中）有一條邊重合，且這兩個(gè)角在公共邊的同側(cè)時(shí)，這兩個(gè)角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．【答案】(1)④(2)75(3)(4)15°(5)【分析】(1)根據(jù)用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)可解答；(2)根據(jù)角平分線的定義和角的位置關(guān)系可以求得：∠AOE=∠EOB=∠AOB，∠COF=∠FOD=∠COD，再根據(jù)∠EOF=∠EOB+∠BOF可以求得∠EOF的度數(shù)；（3）模仿（2）求解即可；（4）根據(jù)角平分線的定義和角的位置關(guān)系可以求得：∠AOE=∠EOB=∠AOB，∠COF=∠FOD=∠COD，再根據(jù)∠EOF=∠BOF-∠BOE可以求得∠EOF的度數(shù)．（5）模仿（4）求解即可．(1)解：用兩副三角板可以直接畫出大于0°小于180°的角，角的度數(shù)也是15的倍數(shù)，①135°，②120°，③105°都是15的倍數(shù)，而④25°不是15的倍數(shù)，所以不能畫出25°的角．故答案為：④；(2)解：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE=∠AOB=×60°=30°，同理∠FOB=45°，∴∠EOF=∠BOE+∠FOB=30°+45°=75°，故答案為：75°；(3)解：設(shè)∠AOB=α，∠DOC=β，OB與OC重合，OA與OD分別在OB兩側(cè)，OE平分∠AOB，OF平分∠DOC，由（2）可得∠EOF=∠BOE+∠FOB=∠AOB+∠DOC=α+β；故答案為：α+β；(4)解：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE=∠AOB=×60°=30°，∵OF平分∠DOC，∴∠DOF=∠DOC=×90°=45°，∴∠EOF=∠DOF-∠BOE=45°-30°=15°，(5)解：設(shè)∠AOB=β，∠DOC=α，OB與OD重合，OA與OC分別在OB同側(cè)，OE平分∠AOB，OF平分∠DOC，由（4）可得∠EOF=∠DOF-∠BOE=∠COD-∠AOB=α-β；故答案為：α-β．【點(diǎn)睛】此題主要考查了與角平分線有關(guān)的角的計(jì)算，關(guān)鍵是注意此題分兩種情況．11．（2022·四川資陽·七年級期末）如圖-1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊在射線上，另一邊在直線的下方．(1)如圖-2，將圖-1中的三角形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分，此時(shí)直線是否平分？請說明理由；(2)如圖-3，繼續(xù)將圖-2中三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)將圖-1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線恰好平分，此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少秒？【答案】(1)直線平分，理由見解析(2)(3)10秒或40秒．【分析】（1）設(shè)的反向延長線為，由角平分線的定義得到，再由，得到，則，即可推出，由此即可得到答案；（2）結(jié)論：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根據(jù)平角定義先求出∠AOC的度數(shù)，繼而根據(jù)角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，分ON的反向延長線OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC兩種情況分別畫出圖形進(jìn)行解答即可．（1）直線平分．理由：設(shè)的反向延長線為，∵平分，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴平分，即直線平分；（2）解：如圖，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，∴∠AOM-∠NOC=30°；（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，如圖a，當(dāng)ON的反向延長線OF平分∠AOC時(shí)，∠AOF=∠AOC=30°，∴∠BON=∠AOF=30°，∴∠BOM=90°-∠BON=60°，∴6x=60，∴x=10；如圖b，當(dāng)ON平分∠AOC時(shí)，∠CON=∠AOC=30°，∴ON旋轉(zhuǎn)的角度是90°+150°=240°，∴6x=240，∴x=40，綜上，x=10或x=40，即此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是10或40秒．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，三角板的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．12．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點(diǎn)P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運(yùn)用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點(diǎn)O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時(shí)，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時(shí)，求∠CON的度數(shù)．【答案】(1)不是；是(2)①或；②160°或172°【分析】（1）利用“雙倍和諧線”的意義結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分類討論的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論．（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是