新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1平均變化率與瞬時(shí)變化率1.1平均變化率1.2瞬時(shí)變化率分層作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊(cè)

第二章§1平均變化率與瞬時(shí)變化率1.1平均變化率~1.2瞬時(shí)變化率A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[2023遼寧阜新高二階段練習(xí)]函數(shù)f(x)=13x在區(qū)間[1,8]上的平均變化率為(A.-17 B.-114 C.12.[2023寧夏銀川一中?？计谥衇如圖,從上端口往一高為H的水缸勻速注入水,水注滿所用時(shí)間為T(mén).當(dāng)水深為h時(shí),水注入所用時(shí)間為t,則函數(shù)h=f(t)的圖象大致是()3.某公司的盈利y(單位:元)與時(shí)間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系是y=f(x),假設(shè)f(x1)-f(x0)x1-x0>0(x1>x0≥0)恒成立,且A.公司虧損且虧損幅度變大B.公司的盈利增加,增加的幅度變大C.公司虧損且虧損幅度變小D.公司的盈利增加,增加的幅度變小4.[2023安徽馬鞍山二中?？计谥衇一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s=t2+2t,設(shè)其在t∈[2,3]內(nèi)的平均速度為v1,在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為v2,則v1v2=A.76 B.78 C.65.已知y=f(x)=-x2+10,則y=f(x)在x=32處的瞬時(shí)變化率是(A.3 B.-3 C.2 D.-26.設(shè)函數(shù)f(x)=xlgx-x,當(dāng)x由1變到10時(shí),f(x)的平均變化率為.

7.一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=t2-3t+2,則其在t=時(shí)的瞬時(shí)速度為1.

8.泰山十八盤(pán)是泰山登山路中最險(xiǎn)要的一段,在當(dāng)?shù)赜小熬o十八,慢十八,不緊不慢又十八”之說(shuō),一段登山路線如圖所示,同樣是登山,從A處到B處會(huì)感覺(jué)比較輕松,而從C處到D處會(huì)感覺(jué)比較吃力.試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出解釋.9.槍彈在槍筒中的運(yùn)動(dòng)可以近似看作是勻加速直線運(yùn)動(dòng),其路程(單位:m)與時(shí)間(單位:s)的關(guān)系式為s(t)=12at2,如果槍彈的加速度a=5×105m/s2,且當(dāng)t=1.6×10-3s時(shí),槍彈從槍口射出,求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.物體的運(yùn)動(dòng)函數(shù)是s=-4t2+16t,在某一時(shí)刻的速度為零,則相應(yīng)時(shí)刻為()A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=411.已知甲、乙兩個(gè)小區(qū)在[0,t]這段時(shí)間內(nèi)的家庭廚余垃圾的分出量Q與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲小區(qū)的平均分出量比乙小區(qū)的平均分出量大;②在[t2,t3]這段時(shí)間內(nèi),乙小區(qū)的平均分出量比甲小區(qū)的平均分出量大;③在t2時(shí)刻,甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得慢;④甲小區(qū)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[t2,t3]的平均分出量最大.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.②③ C.①④ D.③④12.如圖所示,單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積(陰影部分)的2倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象是()13.在曲線y=x2+6的圖象上取一點(diǎn)(1,7)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,7+Δy),則ΔyΔx為A.2+Δx B.Δx-1Δx-C.Δx+1Δx+2 D.2+Δ14.(多選題)已知某物體的運(yùn)動(dòng)函數(shù)為s(t)=7t2+8(0≤t≤5),則()A.當(dāng)t=1到t=3時(shí)該物體的平均速度是28B.該物體在t=4時(shí)的瞬時(shí)速度是56C.該物體位移的最大值為43D.該物體在t=5時(shí)的瞬時(shí)速度是7015.將半徑為R的球加熱,若半徑從R=1到R=m時(shí)球的體積的平均變化率為28π3,則m的值為.(注:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b16.一個(gè)小球沿某一斜面自由滾下,測(cè)得滾下的路程h(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為h=2t2+3t,則當(dāng)t=3s時(shí)球的瞬時(shí)速度為m/s.

17.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s(t)=t2+1,該質(zhì)點(diǎn)在2到2+Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5.求Δt的取值范圍.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.服藥后,人吸收藥物的情況可以用血液中藥物的濃度c(單位:mg/mL)來(lái)表示,它是時(shí)間t(單位:min)的函數(shù),表示為c=c(t),下表給出了c(t)的一些函數(shù)值.t/min102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.890.940.981.001.000.970.900.790.63服藥后30min~70min這段時(shí)間內(nèi),藥物濃度的平均變化率為mg/(mL·min).

19.若一物體運(yùn)動(dòng)函數(shù)如下:(位移單位:m,時(shí)間單位:s)s=f(t)=3t2(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度;(2)物體的初速度v0;(3)物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度.

參考答案§1平均變化率與瞬時(shí)變化率1.1平均變化率~1.2瞬時(shí)變化率1.Bf(8)-f(12.D將容器看作一個(gè)球體,在剛開(kāi)始注水時(shí),由于球體的截面積較小,對(duì)于相同的Δt時(shí)間,高度Δh的變化較大,即ΔhΔt較大,即函數(shù)f(t)的導(dǎo)數(shù)值較大,到水注入球體的一半時(shí),由于球體的截面積較大,f(t)的變化率較小,到接近于球體的頂端時(shí),f(t)的變化率又較大.3.D由f(x1)-f(x0)x1-x0>0(x1又因?yàn)槠骄兓蔲(10)-f(0)10=10>4.B根據(jù)平均速度定義可知,在t∈[2,3]內(nèi)的平均速度為v1=32+2×3-22-2×23-當(dāng)Δt趨于0時(shí),ΔsΔt趨于8,所以在t=3時(shí),瞬時(shí)速度為8,即v2所以v1v2=5.B∵ΔyΔx=f(32+Δx)-f(36.19f(10)-f(1)=10lg10-10-(lg1-1)=10-10+1=1,∴當(dāng)x由1變到10時(shí),f(x)的平均變化率為f7.2設(shè)物體在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度為1,因?yàn)棣?(=2t0-3+Δt,當(dāng)Δt趨于0時(shí),2t0-3+Δt趨于2t0-3,∴2t0-3=1,解得t0=2.8.解山路從A處到B處高度的平均變化率為Δy1Δx1=10-050-0=15,山路從C處到D處高度的平均變化率為Δy2Δx2=30-15100-9.解∵s(t)=12at2,∴ΔsΔt=當(dāng)Δt趨于0時(shí),at+12aΔt趨于at由題意知,a=5×105m/s2,t=1.6×10-3s,∴at=8×102=800(m/s),即槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800m/s.10.B設(shè)在t時(shí)刻的速度為0,∴ΔsΔt=-4(t當(dāng)Δt趨于0時(shí),-8t+16-4Δt趨于-8t+16,由-8t+16=0,解得t=2.11.B①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲的平均分出量小于乙,此說(shuō)法錯(cuò)誤.②在[t2,t3]這段時(shí)間內(nèi),乙的平均分出量大于甲,此說(shuō)法正確.③在t2時(shí)刻,乙的圖象比甲的圖象陡,瞬時(shí)增長(zhǎng)率大,此說(shuō)法正確.④甲的圖象大致為一條直線,所以三個(gè)時(shí)間段的平均分出量相等,此說(shuō)法錯(cuò)誤.故選B.12.D不妨設(shè)點(diǎn)A固定,點(diǎn)B從點(diǎn)A出發(fā)繞圓周旋轉(zhuǎn)一周,剛開(kāi)始時(shí)x很小,即弧AB長(zhǎng)度很小,這時(shí)給x一個(gè)改變量Δx,那么弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的改變量非常小,即弓形面積的變化較慢;當(dāng)弦AB接近于圓的直徑時(shí),同樣給x一個(gè)改變量Δx,那么弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的改變量較大,即弓形面積的變化較快;從直徑的位置開(kāi)始,隨著點(diǎn)B的繼續(xù)旋轉(zhuǎn),弓形面積的變化越來(lái)越慢.由上可知函數(shù)y=f(x)的圖象應(yīng)該是首先比較平緩,然后變得比較陡峭,最后又變得比較平緩,對(duì)比各選項(xiàng)知D正確.13.AΔyΔx=[(1+Δx)14.ABD該物體在t=1到t=3時(shí)的平均速度是s(3)-s(1物體在t=4時(shí)的瞬時(shí)速度是當(dāng)Δt趨于0時(shí),s(4+Δt)-s(4)Δt物體的最大位移是7×52+8=183,故C錯(cuò)誤;物體在t=5時(shí)的瞬時(shí)速度是當(dāng)Δt趨于0時(shí),s(5+Δt)-s(5)Δt15.2設(shè)球的體積為V,ΔV=4π3m3-4π3×13=4π3(m∴m2+m+1=7,∴m=2或m=-3(舍去).16.15ΔhΔt=2(t當(dāng)t=3,且Δt趨于0時(shí),ΔhΔt趨于15.所以當(dāng)t=3s17.解質(zhì)點(diǎn)在2到2+Δt(Δt>0)之間的平均速度為v=s(2+Δt又因?yàn)?+Δt≤5,所以Δt≤1,且Δt>0,故Δt的取值范圍為(0,1].18.-0.002當(dāng)時(shí)間t從30min變到70min時(shí),血液中藥物的濃度c相對(duì)于時(shí)間t的平均變化率為c(70)-c(19.解(1)∵物體在t∈[3,5]上的時(shí)間變化量為Δt=5-3=2(s),物體在t∈[3,5]上的位移變化量為Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48