鐵路車輛轉(zhuǎn)向亞臨界hopf分岔特性分析

鐵路車輛轉(zhuǎn)向亞臨界hopf分岔特性分析

車輛系統(tǒng)中的固定點引導(dǎo)行為本質(zhì)上是循環(huán)動力學(xué)。一旦振幅超過了輪軌間隙,就可能發(fā)生爬軌、脫軌、跳軌等現(xiàn)象。車輛動力學(xué)中存在著線性和非線性臨界速度之分,非線性臨界速度被認(rèn)為是實際運行的上限速度。車輛系統(tǒng)中的非線性特性使得非線性臨界速度有時比線性臨界速度低很多。若想提高列車的運行速度,研究車輛系統(tǒng)中各非線性因素對線性、非線性臨界速度的影響具有十分重要的現(xiàn)實意義。車輛系統(tǒng)中的亞臨界Hopf分岔特性發(fā)現(xiàn)的較早。眾多學(xué)者基于線性理論計算的蠕滑力下研究了轉(zhuǎn)向架或輪對的諸如踏面斜率、摩擦系數(shù)、懸掛剛度、阻尼系數(shù)、輪軌接觸幾何非線性、輪緣接觸力等對臨界速度及蛇行的影響。由于車輛系統(tǒng)中非線性很復(fù)雜,眾多學(xué)者在研究車輛系統(tǒng)中非線性對臨界速度影響不夠全面,有的只是將其簡化成線性系統(tǒng),并對其中某一方面進(jìn)行了理論或數(shù)值分析。研究了轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)中一些重要非線性力對Hopf分岔點的影響,包括:飽和輪軌蠕滑力,輪軌死區(qū)非線性接觸力,縱、橫向非線性阻尼力以及輪對等效踏面斜率,模型中還考慮了軌道的方向不平順及橫向剛度的影響。由于鐵路車輛系統(tǒng)中普遍存在著復(fù)雜的強非線性,很難通過線性化方法獲得解析解。隨著計算機速度的提高,數(shù)值方法在車輛系統(tǒng)動力學(xué)中得到了廣泛的運用,從而提供了解決車輛系統(tǒng)動力學(xué)問題的一種有效途徑。1不考慮旋轉(zhuǎn)軸的活性參數(shù)的計算為了研究方便,針對Cooperrider的簡單轉(zhuǎn)向架模型,見圖1。它是一種輪對剛性定位的轉(zhuǎn)向架,假定車體與轉(zhuǎn)向架為弱耦合,則車體的側(cè)滾及搖頭振動對轉(zhuǎn)向架幾乎不產(chǎn)生影響,可以認(rèn)為車體是處于相對穩(wěn)定的固定狀態(tài)。轉(zhuǎn)向架在理想的平直軌道上以恒速運動時的動力學(xué)微分方程如下{m¨y1+2D2˙y1+2k4y1+2Fx(ξx1?ξy1)+2Fx(ξx2?ξy2)+FΤ(y1+ly2)+FΤ(y1-ly2)=0Ι¨y2+2k6˙y2+2l[Fx(ξx1?ξy1)-Fx(ξx2?ξy2)]+2a[Fy(ξx1?ξy1)+Fy(ξx2?ξy2)]+l[FΤ(y1+ay2)+FΤ(y1-ay2)]+2aFd=0(1)?????my¨1+2D2y˙1+2k4y1+2Fx(ξx1?ξy1)+2Fx(ξx2?ξy2)+FT(y1+ly2)+FT(y1?ly2)=0Iy¨2+2k6y˙2+2l[Fx(ξx1?ξy1)?Fx(ξx2?ξy2)]+2a[Fy(ξx1?ξy1)+Fy(ξx2?ξy2)]+l[FT(y1+ay2)+FT(y1?ay2)]+2aFd=0(1)不考慮自旋影響時的蠕滑率如下ξx1=˙y1V+l˙y2V-y2ξx1=y˙1V+ly˙2V?y2;ξx2=˙y1V-l˙y2V-y2ξx2=y˙1V?ly˙2V?y2;ξy1=aV˙y2+λr0(y1+ly2);ξy2=aV˙y2+λr0(y1-ly2);Fx=ξxFRCφξR;Fy=ξyFRCφ1ξR;ξR=√ξ2xφ2+ξ2yφ21;FR=GπaebeμΝξRFRC={μΝ[FRμΝ-13(FRμΝ)2+127(FRμΝ)3]?FR≤3μΝμΝ?FR≥3μΝ(2)式中,m為輪對的質(zhì)量;I為轉(zhuǎn)向架搖頭轉(zhuǎn)動慣量;y1為輪對的橫向位移;y2為搖頭角位移;D2為橫向阻尼;Fx,Fy分別為橫向與縱向經(jīng)沈氏定理修正后的非線性飽和蠕滑力;FRC為修正的蠕滑力;FR為輪軌間的縱、橫向合成蠕滑力;FT為輪緣接觸力;k6為轉(zhuǎn)向架搖頭角剛度;l為輪對間距之半;a為軌道寬度之半;r0為車輪滾動圓半徑;N為輪軌垂向作用力;V為車輛運行的速度;ξR為輪軌間合成蠕滑率;μ為摩擦系數(shù);φ,φ1,G,ae,be為由Hertz接觸理論計算得到的常量;Fd為轉(zhuǎn)向架懸掛縱向阻尼力。(1)輪軌接觸面上相對滑動模型高速重載下輪軌蠕滑力與位移、速度及軸重的關(guān)系如式(2)所示。該數(shù)學(xué)模型由約翰遜(Johoson)和惠姆勒(Vermeulen)提出,如圖2所示。當(dāng)蠕滑率超過一定值時,輪軌接觸面上發(fā)生相對滑動;而當(dāng)整個接觸面為滑動所覆蓋時,輪對失去滾動能力,輪軌間為完全的滑動摩擦。(2)非線性驅(qū)動力模型其中,δ為輪軌間隙,Kr為輪緣接觸力剛度,y為輪對橫向位移,模型如圖3所示。(3)非線性抗尼力簡化模型二系懸掛的縱向與橫向非線性阻尼力與相對速度的關(guān)系如圖4所示。(4)運行速度不足的極限環(huán)解研究車輛穩(wěn)定性,傳統(tǒng)線性理論是利用運動微分方程的雅可比(Jacobi)矩陣特征值來判斷。而特征值與特征向量只能用于判定線性系統(tǒng)的臨界點,而無法求解非線性系統(tǒng)。由于本文系統(tǒng)中存在強非線性,轉(zhuǎn)向架運行速度低于線性臨界速度時也可能產(chǎn)生極限環(huán)振動。要對車輛動力學(xué)系統(tǒng)作理論分析,得到低于線性臨界速度的極限環(huán)解很困難。本文采用了分岔理論的數(shù)值方法來求解轉(zhuǎn)向架的穩(wěn)定解和極限環(huán)解,方法如下:先將運動微分方程(1)改寫成狀態(tài)方程˙x=f(x)的形式,其中x1=y1?x2=˙y1?x3=y2?x4=˙y2,得到四個一階微分方程。而后利用四階變步長龍格-庫塔(R-K)法,在任意初值條件下,對狀態(tài)方程直接積分。轉(zhuǎn)向架前進(jìn)的速度從初始V0緩慢變化(V0±nΔVn=1,2,…),并把前一速度下得到的狀態(tài)作為下一步計算的初值,便可求得轉(zhuǎn)向架的分岔解——極限環(huán)。2亞臨界hopf分岔轉(zhuǎn)向架有關(guān)參數(shù)值:a=0.7163m;φ=0.54219;φ1=0.60252;Gπacbc=6.563×106;N=66666.7N;μ=0.15;l=1.5m;m=4963kg;I=8135kg·m2;D2=29200N/(m·s-1);k4=0.1823×106N/m;k6=2.710×106N/m;Kr=1.617×107N/m;δ=0.00923m;λ=0.05;r0=0.4572m。在考慮了輪軌間的蠕滑力、縱向非線性阻尼力時,得到如圖5所示的亞臨界Hopf分岔。轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度Vn遠(yuǎn)小于線性臨界速度Vc。輪緣接觸力提高了轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度,同時限制了橫向振動的幅值。其中B點是Hopf分岔點,對應(yīng)于線性臨界速度Vc,A點為鞍結(jié)分岔點對應(yīng)于非線性臨界速度Vn。Vn與Vc之間系統(tǒng)存在3種運動狀態(tài)的可能,虛線AB表示不穩(wěn)定的極限環(huán);在DB段,當(dāng)擾動超過一定值后,系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)運動經(jīng)不穩(wěn)定的極限環(huán)(虛線AB)很快躍至極限環(huán)振動(曲線AC)。轉(zhuǎn)向架以小于非線性臨界速度運行時是穩(wěn)定的,輪對、轉(zhuǎn)向架橫向及搖頭位移均趨于零,其相圖為漸近穩(wěn)定的焦點如圖6所示;當(dāng)速度超過線性臨界速度Vc時,任何微小的橫向擾動都將引起大振幅極限環(huán)振動如圖7。研究發(fā)現(xiàn),若考慮輪軌蠕滑力為線性時,則只有在輪緣接觸剛度很大(大于5×107N/m)時才出現(xiàn)極限環(huán)振動,小于該值時只有唯一線性臨界速度存在,速度超過線性臨界值后系統(tǒng)發(fā)散,振幅趨向于無限大。2.1極限阻尼值對臨界速度的影響轉(zhuǎn)向架與車體間的減振器為抗蛇行減振器,研究表明,當(dāng)減振器飽和阻尼值不同時,線性臨界速度和非線性臨界速度隨極限阻尼值的增大都迅速上升(見圖8),即增大減振器的極限阻尼值有利于列車上限速度的提高;若減振器的極限阻尼值一定,阻尼系數(shù)變化對臨界速度的影響如圖9所示?？梢娹D(zhuǎn)向架的非線性臨界速度比線性臨界速度對阻尼系數(shù)更敏感,系數(shù)越大非線性臨界速度與線性臨界速度越接近。因而提高減振器阻尼系數(shù)可以提高列車的非線性臨界速度,同時線性臨界速度也將得到一定的提高。2.2初始模型材料對轉(zhuǎn)向架性能的影響根據(jù)各種車輛設(shè)計要求的不同,所考慮的實際工況也有所不同。不同的蠕滑狀態(tài)下如蠕滑程度回旋程度、以及采用不同精度方法計算時,蠕滑率—蠕滑力模型也有所區(qū)別。參數(shù)計算時,回旋蠕滑、輪軌接觸幾何學(xué)及磨耗等等其它因素,都將使得蠕滑力模型有所區(qū)別。基于此,在摩擦系數(shù)一定的情況下,通過研究蠕滑模型0點斜率k作小變化時對轉(zhuǎn)向架Hopf分岔模式的影響見圖10(由ξR/k得),發(fā)現(xiàn)在極限蠕滑力相同的情況下,轉(zhuǎn)向架蛇行的線性與非線性臨界速度差隨蠕滑力模型線性部分斜率的增大而緩慢減小,而兩者的值都增大,如圖11所示?？紤]到摩擦系數(shù)在轉(zhuǎn)向架的分岔及穩(wěn)定性中占有重要的地位,而摩擦系數(shù)與輪軌接觸表面狀況密切相關(guān)。實際路軌暴露于惡劣的自然環(huán)境中,其表面不可避免的會受到不同程度的水、油、灰、雪和其他一些因素污染,因此摩擦系數(shù)在不斷變化。計算結(jié)果表明,摩擦系數(shù)大過一定值后轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度反而下降,如圖12所示。本文摩擦系數(shù)μ介于0.21～0.35之間時,非線性臨界速度較高。2.3車輛動力學(xué)分岔由于輪軌的材料特性、輪緣尺寸、磨耗及輪軌接觸剛度在轉(zhuǎn)向架動力學(xué)中的影響較大,上述因素可簡化為輪緣接觸力模型中剛度的變化。為此研究了不同的輪軌接觸剛度對轉(zhuǎn)向架分岔點的影響,得到轉(zhuǎn)向架的臨界速度如圖13所示。顯然輪緣接觸剛度對轉(zhuǎn)向架的分岔點具有一定影響,小剛度導(dǎo)致轉(zhuǎn)向架非線性臨界速度下降,大剛度可以提高非線性臨界速度Vn的值,剛度值介于(1.5～2.7)×107N/m時非線性臨界速度較大。輪緣接觸剛度Kr有最優(yōu)值存在,在實際車輛參數(shù)設(shè)計時可針對不同情況進(jìn)行具體確定。此外,還研究了輪軌間隙、二系橫向阻尼非線性及輪對踏面等效斜率對轉(zhuǎn)向架分岔點的影響。考慮到軌距存在偏差,輪軌型號不同輪軌間隙也有所不同,為此研究了轉(zhuǎn)向架在不同輪軌間隙的軌道上運行時,線性與非線性臨界速度的關(guān)系,得到如圖14所示的結(jié)果。輪軌間隙大時非線性臨界速度下降較多,但對轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度影響不大。轉(zhuǎn)向架橫向阻尼對車輛的蛇行也有著重要影響,分別研究了不同極限阻尼及阻尼系數(shù)的橫向減振器使得轉(zhuǎn)向架臨界速度變化情況。極限阻尼值及阻尼系數(shù)變化時,算得結(jié)果分別如圖15,圖16所示。該系統(tǒng)中橫向減振器有最優(yōu)的力與速度比關(guān)系及極限阻尼值,能使轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度達(dá)到最高。減振器阻尼系數(shù)介于(0.28～0.4)×105N/(m·s-1)時非線性臨界速度較高,且阻尼系數(shù)不大有利于列車運行平穩(wěn)。輪對踏面斜率對車輛轉(zhuǎn)向架的動力學(xué)分岔行為的影響也是顯著的。隨著輪軌的磨損,輪對踏面斜率也在不斷變化。在考慮輪軌間的非線性飽和蠕滑力的情況下,改變輪對踏面等效斜率值,得到如圖17所示的分岔形式。由此可知,實質(zhì)上踏面斜率對線性與非線性臨界速度差幾乎沒有影響,踏面斜率增大時線性與非線性臨界速度都迅速下降,如圖18所示,即踏面斜率對亞臨界Hopf分岔點出現(xiàn)位置影響較大。3非線性臨界速度(1)輪軌蠕滑力及輪緣接觸的非線性是引起轉(zhuǎn)向架亞臨界Hopf分岔現(xiàn)象的重要因素。(2)二系縱向抗蛇行阻尼減振器對轉(zhuǎn)向架臨界速度的影響很大,較高的極限阻尼力和較大的阻尼系數(shù)有利于提高轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度。(3)摩擦系數(shù)一