機(jī)器人學(xué)第六章(機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué))

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h第六章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)6.1引論到現(xiàn)在為止我們對(duì)操作機(jī)的研究集中在僅考慮動(dòng)力學(xué)上。我們研究了靜力位置、靜力和速度，但我們從未考慮過(guò)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)所需的力。本章中我們考慮操作機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程式——由于促動(dòng)器所施加的扭矩或作用在機(jī)械手上的外力所產(chǎn)生的操作機(jī)的運(yùn)動(dòng)之情況。機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是一個(gè)已經(jīng)寫出很多專著的領(lǐng)域。的確，人們可以花費(fèi)以年計(jì)的時(shí)間來(lái)研究這個(gè)領(lǐng)域。顯然，我們不可能包括它所應(yīng)有的完整的內(nèi)容。但是，某種動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方程式似乎特別適合于操作機(jī)的應(yīng)用。特別是，那種能利用操作機(jī)的串聯(lián)鏈性質(zhì)的方法是我們研究的天然候選者。有兩個(gè)與操作機(jī)動(dòng)力學(xué)有關(guān)的問(wèn)題我們打算去解決。向前的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是計(jì)算在施加一組關(guān)節(jié)扭矩時(shí)機(jī)構(gòu)將怎樣運(yùn)動(dòng)。也就是，已知扭矩矢量，計(jì)算產(chǎn)生的操作機(jī)的運(yùn)動(dòng)、和。這個(gè)對(duì)操作機(jī)仿真有用，在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中，我們已知軌跡點(diǎn)、和，我們欲求出所需要的關(guān)節(jié)扭矩矢量。這種形式的動(dòng)力學(xué)對(duì)操作機(jī)的控制問(wèn)題有用。6.2剛體的加速度現(xiàn)在我們把對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的分析推廣到加速度的情況。在任一瞬時(shí)，線速度矢量和角速度矢量的導(dǎo)數(shù)分別稱為線加速度和角加速度。即（6-1）和（6-2）正如速度的情況一樣，當(dāng)求導(dǎo)的參坐標(biāo)架被理解為某個(gè)宇宙標(biāo)架時(shí)我們將用下面的記號(hào)（6-3）和（6-4）6.2.1線加速度我們從描述當(dāng)原點(diǎn)重合時(shí)從坐標(biāo)架看到的矢量的速度（6-5）這個(gè)方程的左手邊描述如何隨時(shí)間而變化。所以，因?yàn)樵c(diǎn)是重合的，我們可以重寫（6-5）為（6-6）這種形式的方程式當(dāng)推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的加速度方程時(shí)特別有用。通過(guò)對(duì)（6-5）求導(dǎo)，我們可以推出當(dāng)與的原點(diǎn)重合時(shí)從中看到的的加速度表達(dá)式（6-7）現(xiàn)在用（6-6）兩次──一次對(duì)第一項(xiàng)，一次對(duì)最后一項(xiàng)。（6-7）式的右側(cè)成為：（6-8）把相同兩項(xiàng)合起來(lái)（6-9）最后，為了推廣到原點(diǎn)不重合的情況，我們加上一項(xiàng)給出的原點(diǎn)的線加速度的項(xiàng)，得到下面的最后的一般公式（6-10）對(duì)于我們將在本章上考慮的情況，我們總是有為不變，或（6-11）所以，（6-10）簡(jiǎn)化為（6-12）我們將用這一結(jié)果來(lái)計(jì)算操作機(jī)桿件的線加速度。6.2.2角加速度考慮以相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，而以相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)。為了計(jì)算我們把矢量在坐標(biāo)架中相加（6-13）求導(dǎo)后我們得到（6-14）現(xiàn)在，把（6-6）用到（6-14）的末項(xiàng)中去，我們得到（6-15）我們將把這個(gè)結(jié)果用來(lái)求操作機(jī)桿件的角加速度。6.3質(zhì)量分布dvAPYXdvAPYXZ｛A｝圖6-1帶固結(jié)標(biāo)架的剛體我們現(xiàn)在將定義一組量，它給出剛體關(guān)于參考坐標(biāo)架的質(zhì)量分布的信息。圖6-1示出一個(gè)帶著固結(jié)標(biāo)架的剛體。雖然慣性張量可以相對(duì)于任何標(biāo)架來(lái)定義，我們將最經(jīng)常地考慮定義在與剛體相固結(jié)的標(biāo)架中的慣性張量。在重要的地方我們將用一個(gè)前上標(biāo)來(lái)指明給定慣性張量的參考標(biāo)架。相對(duì)于標(biāo)架的慣性張量是表示成下面的矩陣形式（6-16）式中，標(biāo)量元素由下列公式給出（6-17）其中剛體由微分體積單元組成，包含密度為的材料。每一體積單位的位置由矢量確定,如圖6-1所示，而元素稱為質(zhì)量慣性矩。注意每種情況下我們是對(duì)質(zhì)量單元乘以對(duì)應(yīng)軸垂直距離的平方來(lái)積分。帶混合下標(biāo)的稱為質(zhì)量慣性積。對(duì)一給定剛體這一組6個(gè)量將與它們定義所在的標(biāo)架的位置和方位有關(guān)。若我們可以任意選取參考標(biāo)架的方位，有可能選成使慣性積為零。這樣的標(biāo)架的軸稱作主軸，而對(duì)應(yīng)得的慣性矩稱作主慣性矩。例6-1求出關(guān)于圖6-2所示的坐標(biāo)系的均勻密度的矩形物體的慣性張量。首先，我們計(jì)算。用體積單元，我們得到WYXZ｛A｝WYXZ｛A｝圖6-2均勻密度物體L式中，為物體的全部質(zhì)量。交換各項(xiàng)，我們可以用觀察求出和（6-19）和（6-20）其次我們計(jì)算（6-21）交換各項(xiàng)我們得到（6-22）和（6-23）因此，這個(gè)物體的慣性張量為：（6-24）如說(shuō)過(guò)的那樣，慣性張量是參考標(biāo)架的位置和方位的函數(shù)。一個(gè)眾所周知的結(jié)論，平行軸定理，是一種在參考坐標(biāo)系改變的情況下如何計(jì)算慣性張量的改變的方法。平行軸定理說(shuō)明在原點(diǎn)位于質(zhì)心處的標(biāo)架的慣性張量在另一個(gè)參考標(biāo)架中的慣性張量之間的關(guān)系。在定理中為位于物體質(zhì)心處，為任意變換后的標(biāo)架，定理陳述為兩個(gè)方程式〔〕（6-25）式中，、和為質(zhì)心在中的位置。其余的慣性矩和慣性積可以由（6-25）中、、的置換計(jì)算出來(lái)。例6-2求出例6-1中描述的同一個(gè)物體的慣性張量，此時(shí)它是在原點(diǎn)位于物體質(zhì)心處的坐標(biāo)系中描述的。我們應(yīng)用平行軸定理（6-25），其中于是，我們求出（6-26）其余元素可以根據(jù)對(duì)稱性求出。這個(gè)寫在質(zhì)心處的坐標(biāo)架中的結(jié)果慣性張量為：（6-27）由于結(jié)果是對(duì)角陣，必定代表這個(gè)物體的主軸。下面是某些關(guān)于慣性張量的其他結(jié)論：如果參考標(biāo)架的兩根軸形成物體質(zhì)量分布的對(duì)稱平面，則帶垂直于這個(gè)平面坐標(biāo)的下標(biāo)的慣性積將為零。慣性矩必須總為正值。慣性積則可正可負(fù)。在參考標(biāo)架的方位改變中，三個(gè)慣性矩之和為不變量。慣性張量的固有值（特征值）是物體的主慣性矩。相應(yīng)的固有矢量是主軸。大多數(shù)操作機(jī)的桿件的幾何和組成都有點(diǎn)復(fù)雜，所以在實(shí)用中應(yīng)用（6-17）是很困難的。一個(gè)實(shí)用的選擇是用測(cè)量裝置（例如慣性擺）實(shí)際測(cè)量每個(gè)桿件的慣性矩而不是計(jì)算。6.4牛頓方程，歐拉方程我們將把操作機(jī)的每個(gè)桿件考慮為剛體。如果我們知道桿件的質(zhì)心的位置和慣性張量，則它的質(zhì)量分布的特性是完全表示出來(lái)了。為了使這些桿件運(yùn)動(dòng)，我們必須使它們加速或減速。對(duì)于這種運(yùn)動(dòng)所需的力是期望的加速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)。牛頓方程和回轉(zhuǎn)用的與它類似的歐拉方程描述了力、慣性和加速度之間是個(gè)什么樣的關(guān)系。6.4.1牛頓方程圖6-3示出一剛體，其質(zhì)心以加速度在加速運(yùn)動(dòng)。在這種情況下，作用在質(zhì)心的造成這個(gè)加速度的力可以由牛頓方程給出為：（6-28）圖6-3式中，為剛體的總質(zhì)量。圖6-36.4.2歐拉方程圖6-4示出一剛體以角速度回轉(zhuǎn)著，角加速度為圖6-4在這樣的情況下，為了產(chǎn)生這個(gè)運(yùn)動(dòng)必須施加在剛體上的力矩可由歐拉方程給出：圖6-4（6-29）式中，為卸載標(biāo)架中的剛體的慣性張量，的原點(diǎn)位于質(zhì)心，如圖6-4所示。6.5迭代牛頓－歐拉動(dòng)力學(xué)公式我們現(xiàn)在考慮計(jì)算對(duì)應(yīng)于給定操作機(jī)軌跡的扭矩的問(wèn)題。假定我們已知關(guān)節(jié)的位置，速度和加速度（、、）。根據(jù)這些知識(shí)以及機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)，質(zhì)量分布的信息等，我們可以計(jì)算出造成這個(gè)運(yùn)動(dòng)所需的關(guān)節(jié)扭矩。6.5.1向前迭代以計(jì)算速度和加速度為了計(jì)算作用在桿件上的慣性力，需要計(jì)算在每個(gè)給定瞬時(shí)，操作機(jī)各桿件的回轉(zhuǎn)速度，質(zhì)心的線加速度和回轉(zhuǎn)加速度。這些計(jì)算將以迭代式的形式從桿1開始，逐次向外移動(dòng)，一桿接一桿，直到桿。在前面討論了從桿件到桿件的回轉(zhuǎn)速度的變換，給為：（6-30）從（6-15）我們得到從桿件到桿件的角加速度的變換方程（6-31）各個(gè)桿的線加速度根據(jù)（6-12）可以得到為：（6-32）我們也將需要各個(gè)桿件質(zhì)心的線加速度，它也可由應(yīng)用（6-10）求出（6-33）式中，我們假想一個(gè)標(biāo)架固結(jié)于各個(gè)桿件而它的原點(diǎn)位于桿件質(zhì)心處，而且與桿件標(biāo)架有相同的方位。注意方程式應(yīng)用于桿1特別簡(jiǎn)單，因?yàn)椤?.5.2作用在桿件上的力和扭矩計(jì)算出各個(gè)桿件質(zhì)心的線加速度和角加速度后，我們可以應(yīng)用牛頓－歐拉方程（6-4節(jié)）來(lái)計(jì)算作用在各個(gè)桿件質(zhì)心上的力和力矩。（6-34）式中，的原點(diǎn)在各桿的質(zhì)心處，而它的方位與桿件標(biāo)架相同。6.5.3向后迭代以計(jì)算力和扭矩計(jì)算出作用在各桿件上的力和扭矩后，現(xiàn)在剩下要做的是計(jì)算關(guān)節(jié)扭矩，它們將產(chǎn)生這些作用在桿件上的凈力和扭矩。我們根據(jù)對(duì)典型桿件的分離體圖（見圖6-5）寫出力和力矩的平衡方程式就可以計(jì)算出這些關(guān)節(jié)扭矩。各個(gè)桿件受到其相鄰桿件所施加的作用力和扭矩，還承受一個(gè)慣性力和力矩。我們對(duì)這些鄰桿的作用力規(guī)定特殊的符號(hào)把作用在桿件上的力加起來(lái)我們得到一個(gè)力平衡關(guān)系（6-35）圖6-5典型桿件的分離體圖把扭矩對(duì)于質(zhì)心加起來(lái)再讓它們等于零，我們得到扭矩平衡方程式圖6-5典型桿件的分離體圖（6-36）用從力平衡關(guān)系（6-35）得來(lái)的結(jié)果再加上幾個(gè)回轉(zhuǎn)矩陣，我們可以把（6-36）寫為：（6-37）最后，我們可以整理力和扭矩方程式使它們成為由較高編號(hào)鄰桿。（6-38）（6-39）這些方程式一桿接一桿地求值，從桿開始向機(jī)器人的基礎(chǔ)進(jìn)行下去。這些向后力的迭代與前面介紹過(guò)的靜力迭代相似，只是現(xiàn)在考慮了各桿的慣性力和力矩。如同靜力的情況那樣，所需的關(guān)節(jié)扭矩可由取一桿作用于其鄰桿的扭矩的分量來(lái)求得（6-40）注意對(duì)一個(gè)在自由空間運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人，和都讓它為零，因此方程式的第一個(gè)對(duì)桿的應(yīng)用非常簡(jiǎn)單。如果機(jī)器人與周圍環(huán)境有接觸，由于接觸而產(chǎn)生的力和扭矩以和不等于零而包括在力平衡中。6.5.4迭代的牛頓－歐拉動(dòng)力學(xué)算法由關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)扭矩的完整的算法由兩部分組成。首先，桿件的速度和加速度從桿件1到桿件迭代地被計(jì)算出來(lái)，牛頓－歐拉方程式被用于各個(gè)桿件。其次，反力和反力矩以及促動(dòng)器扭矩從桿件回到桿1遞歸地被計(jì)算出來(lái)。這些方程式概括如下：向前：（6-41）（6-42）（6-43）（6-44）（6-45）（6-46）向后：（6-47）（6-48）（6-49）6.5.5在動(dòng)力學(xué)算法中包括重力作用在桿件上的重力的影響可以很簡(jiǎn)單地讓來(lái)包括進(jìn)去，其中為重力矢量。這等于說(shuō)機(jī)器人的基礎(chǔ)以一個(gè)的加速度向上加速著。這個(gè)假想的向上加速度對(duì)桿件造成的影響，和重力將造成的完全相同。所以，不需額外的計(jì)算支出，重力的影響就被計(jì)算進(jìn)去了。6.6封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程方程式（6-41）到（6-49）給出了一個(gè)計(jì)算方案，在那里根據(jù)已知的關(guān)節(jié)位置，速度和加速度等，我們可以計(jì)算所需的關(guān)節(jié)扭矩。和我們?cè)谇懊嫱茖?dǎo)計(jì)算雅可比雅可比的方程式一起，這些關(guān)系可以有兩種用法：作為數(shù)值計(jì)算算法，或作為用來(lái)解析地推導(dǎo)符號(hào)方程式的算法。用這些方程作為數(shù)值計(jì)算算法是吸引人的，因?yàn)榉匠淌娇梢詰?yīng)用于任何帶回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人（對(duì)于帶移動(dòng)關(guān)節(jié)的機(jī)器人可以推導(dǎo)出一組類似的方程式）。一旦對(duì)特定的操作機(jī)定出了慣性張量，桿件的質(zhì)量，矢量和矩陣等，這些方程式可以直接用來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)于任何運(yùn)動(dòng)的慣性扭矩。但是，我們經(jīng)常有興趣于得到方程式結(jié)構(gòu)的更好的了解。例如，重力項(xiàng)的形式是什么？重力影響的數(shù)量級(jí)是否和慣性力的相當(dāng)？為了考察這種和那種問(wèn)題，我們常常想寫出逆動(dòng)力學(xué)的封閉形式。這些封閉形式的方程式可以對(duì)、和符號(hào)地應(yīng)用遞歸的牛頓－歐拉方程來(lái)推導(dǎo)出。它與我們前面推導(dǎo)雅可比的符號(hào)形式是所做的相似。6.6.1操作機(jī)動(dòng)力學(xué)的乘積和形式對(duì)于操作機(jī)的封閉形式的運(yùn)動(dòng)方程式可以寫成這樣的形式，作用在各個(gè)關(guān)節(jié)的扭矩表達(dá)為乘積之和。圖6-6帶桿件末端的點(diǎn)質(zhì)量的2桿例6-3圖6-6帶桿件末端的點(diǎn)質(zhì)量的2桿計(jì)算圖6-6所示2桿平面操作機(jī)的封閉形式的逆動(dòng)力學(xué)方程式。為了簡(jiǎn)單起見，假設(shè)質(zhì)量分布極簡(jiǎn)單：所有質(zhì)量作為一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量位于各桿件的末梢。這意味寫在質(zhì)量中心處的各個(gè)桿件慣性張量為零矩陣（注意盡管各個(gè)桿件的慣性張量為零，我們?nèi)詫l(fā)現(xiàn)慣性項(xiàng)出現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)方程式中）。首先我們確定將出現(xiàn)在遞歸牛頓－歐拉方程中的各種量和桿件1的向前迭代（6-50）桿件2的向前迭代（6-51）桿件2的向后迭代（6-52）桿件1的向后迭代（6-53）取出的分量，我們求出關(guān)節(jié)扭矩（6-54）（6-54）式給出促動(dòng)器扭矩作為關(guān)節(jié)位置，速度和加速度的函數(shù)表達(dá)式。讀者可以想像，6自由度操作機(jī)的解析方程式會(huì)非常復(fù)雜。6.6.2操作機(jī)動(dòng)力學(xué)方程式的普遍結(jié)構(gòu)當(dāng)牛頓－歐拉方程對(duì)任意操作機(jī)符號(hào)地估值時(shí)，它們產(chǎn)生一個(gè)可寫為下面形式的動(dòng)力學(xué)方程式（6-55）式中，為操作機(jī)的慣性矩陣。為離心和哥利奧里斯（）項(xiàng)的矢量。為重力項(xiàng)的矢量。和的每項(xiàng)都是與有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，為操作機(jī)所有關(guān)節(jié)的位置。的每項(xiàng)為和兩者的復(fù)雜函數(shù)。我們可以把出現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)方程中的各項(xiàng)分離為各種類型而形成操作機(jī)的質(zhì)量矩陣、離心和哥氏（）矢量以及重力矢量等。例6-4例6-3中操作機(jī)的操作機(jī)質(zhì)量矩陣是什么？（6-55）式定義了操作機(jī)質(zhì)量矩陣。它由所有乘的項(xiàng)組成，而且是的函數(shù)。因此（6-56）任何操作機(jī)質(zhì)量矩陣都是對(duì)稱的和和正定的，因而總是可