勾股定理的應用 市賽獲獎

勾股定理應用本課內容本節(jié)內容3.6結論

直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.

a2+b2=c2.

直角三角形的性質定理：結論

其實我國早在三千多年前就已經(jīng)知道直角三角形的這個性質；

由于古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾，較長的一邊為股，斜邊為弦，因此這一性質稱為勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.因此根據(jù)勾股定理，在直角三角形中，已知任意兩條邊長，可以求出第三邊的長.小提示做一做

如圖3-84，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm.（1）你能算出BC邊上的高AD的長嗎？圖3-84證明：因為在等腰三角形ACB中，AD是BC邊上的高，AB=AC，BC=10cm，所以BD=DC=5cm，即，在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.(直角三角形性質定理)所以AD=12.所以AD的高為12cm.（2）△ABC的面積是多少呢？圖3-84解：因為三角形ACB中，面積=底×高÷2，即10×12÷2=60.所以△ABC的面積是60cm2.練習1.你能不能只用圖3-83(乙)來證明勾股定理嗎？圖3-83(乙)證明：圖(乙)中的大正方形的邊長為a+b，其面積為四個直角三角形與正方形C的面積之和，即，化簡得a2+b2=c2，勾股定理得證.2.圖3-85是一個邊長為3的正方形，兩條對角線AC與BD相交于O.觀察此圖形并回答下面問題：（1）對角線AC有多長呢？(精確到小數(shù)點后面第二位)（2）圖中有多少個直角三角形？圖3-85答：4.24答：有8個直角三角形.3.有一顆樹較高(如圖3-86)，無法直接量出它的高度.可以先用測角器在離樹底部不遠處的地面上找一點B，使此時測得樹頂點A的仰角為60°，再用皮尺測得BC之間的距離為a，由此你能得出這棵樹的高度嗎？圖3-86證明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，可知∠BAC=30°，由于BC=a，因此有AB=2a，再由勾股定理可得將a的具體數(shù)值代入，即可求得樹高AC的近似值.

如圖3-87，已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形嗎？探究圖3-87你能畫一個直角三角形，使它的兩直角邊分別為a和b，斜邊為c嗎？可以畫一個，使∠C′=90°，，，如圖3-88.根據(jù)勾股定理，因為a2+b2=c2，所以于是斜邊圖3-88圖3-87圖3-88在△ABC和中，因為，，，所以△ABC≌

(SSS)于是

(全等三角形的對應角相等)所以△ABC是直角三角形.結論

如果三角形的邊長a，b，c有下面的關系：

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

直角三角形的判定定理：舉例例1

如圖3-89，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，

AC=17.求DC的長.圖3-89先根據(jù)直角三角形判定定理再根據(jù)勾股定理解：在△ABD中，已知AB=10，BD=6，AD=8，根62+82=102，即AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°，(

)

∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，可得DC2=AC2-AD2，所以圖3-89直角三角形判定定理練習1.已知△ABC的三邊是下列各值，那么它們是直角三角形嗎？（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25.答：是.答：不是.2.某地有A，B，C三個村，建立了直角坐標系后，它們的坐標分別為：A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，現(xiàn)要建立一所希望小學，要求學校到三村的距離相等.你能在圖3-90中根據(jù)這一要求確定學校的地址嗎？圖3-90答：建在BC的中點.舉例例2

如圖3-91，電工師傅把4m長的梯子靠在墻上，使梯腳離墻腳的距離為1.5m，準備在墻上安裝電燈.當他爬上梯子后，發(fā)現(xiàn)高度不夠，于是將梯腳往墻腳移近0.5m.那么，梯子頂端是否往上移動0.5m呢？圖3-91′證明：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，由勾股定理得，在中，，，故，從而A′A=3.87-3.71=0.16.

即梯子頂端A只向上移動了0.16m，而不是移動0.5m.圖3-91′C舉例例3

(我國古代數(shù)學問題)有一個正方形水池，每邊長4m，池中央長了一棵蘆薈，露出水面1m，把蘆葦?shù)捻敹艘桨哆?水池邊的中點)，蘆葦頂和岸邊水面剛好相齊.你能算出水池的深度嗎？圖3-92證明：如圖3-92，設水池深為xm，則BC=xm，AC=(x+1)m.

因為池邊長為4m，所以BA′=2m.

在中，根據(jù)勾股定理，得

x2+22=(x+1)2，即x2+22=x2+2x+1，解得x=1.5.

答：水池的深度為1.5m.練習1.將圖3-93中的Rt△AOB以O點為旋轉中心，逆時針方向旋轉，使OA落在y軸上.（1）作出旋轉后的直角三角形；（2）寫出旋轉后頂點A的坐標.答：(0，5)或(0，-5).圖3-932.如圖3-94，小明和小強攀登一無名高峰，他倆由山腳望主峰B測得仰角為45°.然后從山腳沿一段傾角為30°的斜坡走了2km到山腰C，此時望主峰B測得仰角為60°.于是小明對小強說：“我知道主峰多高了.”你能根據(jù)他們的數(shù)據(jù)算出主峰的高度嗎？圖3-93證明：因為∠ABC=∠BAC=15°，所以BC=AC=2km，在Rt△BCD中，CD=1km，，所以主峰高度為中考試題例1

如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在另一側墻上時，梯子的頂端在D點.已知∠BAC=60°，∠DAE=45°

，點D到地面的垂直距離DE=，求點B到地面的垂直距離BC.分析

在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半.

本題中，因為△ADE是等腰直角三角形，所以AE=DE=m，由勾股定理可求梯子AD長.在Rt△ACB中，由∠ABC=90°-60°

=30°，可求AC=.再由勾股定理可求BC.解在Rt△AED中，∵∠DAE=45°，∴AE=DE=m.由勾股定理得在Rt△ACB中，∵BAC=60°，∴∠B=30°.∴∴點B到地面的垂直距離BC為m.中考試題例