用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(2)

1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即n＝n0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n的值，如n0＝1)(歸納奠基）

；

2.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.數(shù)學(xué)歸納法:

關(guān)于正整數(shù)n的命題,我們可以采用下面方法來(lái)證明其正確性：

由(1)、(2)知，對(duì)于一切n≥n0的自然數(shù)n都成立！用上假設(shè)，遞推才真注意:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.二.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題例4、已知x>

1，且x

0，n

N*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.（2）假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即

(1+x)k>1+kx當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤>

1，所以1+x>0，于是左邊=(1+x)k+1證明:(1)當(dāng)n=2時(shí)，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x

0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2時(shí)不等式成立=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊=1+(k+1)x．因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式補(bǔ)充例題例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明:證:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即有:

則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.例2:證明不等式:證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,不等式顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即有:則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.根據(jù)(1)、(2)可知,原不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.例3:已知:求證:證:(1)當(dāng)n=2時(shí),故原不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即則當(dāng)n=k+1時(shí),注意到a,b>0,我們有:故即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.1.求證:證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,由于

故不等式成立.(2)假設(shè)n=k()時(shí)命題成立,即

則當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.1.求證:練習(xí)3:已知求證:.證:(1)當(dāng)n=2時(shí),,

不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即則當(dāng)