專題12全等三角形的判定原卷版

專題12全等三角形的判定★知識點(diǎn)1：全等三角形的判定SSSSSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.典例分析【例1】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．【例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在和中，，，D、分別是BC、的中點(diǎn)，且．求證．【即學(xué)即練】1．（2023春·云南·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：(1)△AEC≌△BFD(2)DE=CF2．（2018秋·八年級課時練習(xí)）如圖，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED嗎？試證明．★知識點(diǎn)2：全等三角形的判定SASSAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，．求證：．【例2】（2023春·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．求證：．即學(xué)即練1．（2023春·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，與全等嗎？為什么？2．（2023秋·安徽·八年級階段練習(xí)）如圖，和中，，連接，．(1)求證：；(2)求證：．★知識點(diǎn)3：全等三角形的判定ASA或AAS此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測得，，．(1)求證：；(2)若，求的長度．【例2】（2022秋·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，，，，，垂足分別是，．(1)求證：；(2)猜想線段，，之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．即學(xué)即練1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在和中，點(diǎn)在邊上，，，，求證：．2．（2023春·湖南株洲·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)、、、在同一直線上，，，．(1)求證：；(2)，，求的度數(shù)．★知識點(diǎn)4全等三角形的判定HLHL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.典例分析【例1】（2023春·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，；，，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若與交于點(diǎn)O，求證：．【例2】．（2020秋·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在BE上，，且，交于點(diǎn)F．(1)的長度．(2)的度數(shù)．即學(xué)即練1．（2023春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在的延長線上．求證：．2.（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，，垂足分別是、、且．求證：．★知識點(diǎn)5全等三角形的判定綜合應(yīng)用判定方法的選擇1、選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.典例分析【例1】（2021秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，連接、，，延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【例2】（2021秋·全國·八年級專題練習(xí)）證明命題：“一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程．下面是小穎根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．已知：在和中，，，與分別為，邊上的中線且．求證：．請補(bǔ)全已知和求證部分，并寫出證明過程．即學(xué)即練1．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如圖1，求證：AC＝DE；（2）如圖2，AB＝BC，AC分別交DE，BD于點(diǎn)F，G，BC交DE于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四對全等三角形．2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，是邊上的動點(diǎn)，以為一邊向上作等邊三角形，連接．（1）求證：≌；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時，與有什么位置關(guān)系？并說明理由．★知識點(diǎn)6尺規(guī)作圖作一個角等于已知角已知：∠AOB。求作：∠A’O’B’使∠A’O’B’=∠AOB。作法與示范：（1）作射線O’A’（2）以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)O’為圓心，以O(shè)C長為半徑畫弧，交O’A’于點(diǎn)C’（4）以點(diǎn)C’為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前面的弧于點(diǎn)D’；（5）過點(diǎn)D’作射線O'B’∠A'O'B'就是所求作的角.典例分析【例1】（2023春·廣東深圳·七年級深圳中學(xué)?？计谥校﹩栴}探究：尺規(guī)作圖：作一個角等于已知角．如圖①，已知：．求作：，使．(1)作法：步驟1：如圖②，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)C、D；步驟2：作射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；步驟3：以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與步驟2中所畫的弧相交于點(diǎn)；步驟4：過點(diǎn)畫射線，則．根據(jù)以上作圖和求證過程完成以上填空：(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖，點(diǎn)P為的邊上一點(diǎn)，①求作：過點(diǎn)P作，且C在內(nèi)部，使得；（要求保留作圖痕跡）②直線和的位置關(guān)系是．【例2】（2023春·廣東佛山·七年級佛山市華英學(xué)校?？计谥校?）格點(diǎn)作圖：如圖1，方格紙中每個小正方形的邊長都是1．①過格點(diǎn)P畫，使與直線相交于格點(diǎn)M；②若點(diǎn)N在圖中的格點(diǎn)上（不與點(diǎn)A重合），作直線與直線垂直（2）尺規(guī)作圖（在原圖上作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）在圖2圖形中，補(bǔ)充作圖：①在的左側(cè)作，②根據(jù)上面所作出的圖形，你認(rèn)為與一定平行嗎？請說明理由．答：______________________即學(xué)即練1．（2023春·山東棗莊·七年級滕州育才中學(xué)?？计谥校┏咭?guī)作圖：中，請用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)C作直線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法．）2．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)下列要求畫圖，(1)如圖（1）所示，過點(diǎn)A畫；(2)如圖（2）所示，過點(diǎn)P畫，垂足為E，過點(diǎn)P畫，垂足為G．★知識點(diǎn)7:尺規(guī)作圖作三角形1已知三邊作三角形已知三邊求作三角形是利用三角形全等的條件“邊邊邊”來作圖的，具體作圖的方法、步驟、圖形如下：已知：線段a，b，c求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b作法與示范：作線段AB=c以點(diǎn)A為圓心，b為半徑畫弧以點(diǎn)B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C連接AC，BC，△ABC即為所求2、已知兩邊及其夾角作三角形已知兩邊及其夾角作三角形是利用三角形全等的條件“邊角邊”來作圖的，具體作圖的方法、步驟、圖形如下：已知：線段a，b，∠α求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b作法與示范：作∠MBN=∠α在射線BM，BN上分別截取線段BC=a，BA=b連接AC，則△ABC為所求作的三角形3、已知兩角及其夾邊作三角形已知兩角及其夾邊求作三角形是利用三角形全等的條件“角邊角”來作圖的，具體作圖的方法、步驟、圖形如下：已知：∠α，∠β，線段a求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a作法與示范：作線段AB=a在AB同側(cè)，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD與BE相交于點(diǎn)C，則△ABC為所求.典例分析【例1】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，已知線段，和，按要求尺規(guī)作圖（不必寫作法，保留作圖痕跡）．(1)求作，使，，；(2)填空：（1）中作出的三角形__________（填“是”或“不是”）唯一的，作圖依據(jù)是__________．【例2】（2020秋·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖：已知：線段，，．求作：，使，，（保留作圖痕跡，不寫作法）．即學(xué)即練1．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，請用尺規(guī)作，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）2．（2022秋·福建南平·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：兩邊及其夾角，線段，，．求作：，使，，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．1．（2023春·甘肅隴南·七年級統(tǒng)考期末）康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設(shè)計了截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)，當(dāng)眾完全打開后，測得分別是的中點(diǎn)，，那么的依據(jù)是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時，下面的4個條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④3．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，分別以，為圓心，以，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，、下列結(jié)論一定正確的有（

）①；②判定全等的依據(jù)是；③；④平分A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，有一池塘，要測量池塘兩端A，B的距離時，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C．連接并延長到D，使．連接并延長到E，使．可證明，從而得到，則測得的長就是兩點(diǎn)A，B的距離．判定的依據(jù)是（）A．“邊邊邊” B．“角邊角” C．“角角邊” D．“邊角邊”5．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，運(yùn)用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需補(bǔ)充的條件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE6．（2023春·四川雅安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，能得出的依據(jù)是（

）A． B． C． D．8．（2022春·福建寧德·七年級校聯(lián)考期中）如圖，過直線外一點(diǎn)作它的平行線，其作圖依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．同位角相等，兩直線平行 D．內(nèi)錯角相等，兩直線平行9．（2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期末）諸仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，請你根據(jù)所學(xué)的三角形全等有關(guān)的知說，說明畫出的依據(jù)是（

）A． B． C． D．10．（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去11．（2023春·遼寧朝陽·七年級統(tǒng)考期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（，），點(diǎn)C在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離是（

）A． B． C． D．12．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，，垂足分別為D、E，且平分，則與全等的理由是（

）A． B． C． D．13．（2023春·廣東梅州·七年級?？计谀┬←惻c爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若媽媽與爸爸到的水平距離、分別為和，．爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面的高度是（

）A． B． C． D．14．（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，垂足分