一元三次方程的根的探究

關(guān)于一元三次方程的根的探究因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些三次方程適用．對于大多數(shù)的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．當然，因式分解的解法很簡便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0對左邊作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三個根：x1=0,x2=1,x3=-1.對于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和換元，將方程化為x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化簡，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．這實際上是關(guān)于w的二次方程．解出w,再順次解出z,x.三次方程應用廣泛。用根號解155.htm"一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復雜，缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判別法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判別式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，總判別式：Δ=B^2－4AC。當A=B=0時，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。當Δ=B^2－4AC>0時，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。當Δ=B^2－4AC=0時，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。當Δ=B^2－4AC<0時，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。盛金判別法①：當A=B=0時，方程有一個三重實根；②：當Δ=B^2－4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；③：當Δ=B^2－4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；④：當Δ=B^2－4AC<0時，方程有三個不相等的實根。盛金定理當b=0，c=0時，盛金公式①無意義；當A=0時，盛金公式③無意義；當A≤0時，盛金公式④無意義；當T＜-1或T＞1時，盛金公式④無意義。當b=0，c=0時，盛金公式①是否成立？盛金公式③與盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理給出如下回答：盛金定理1：當A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：當A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時,適用盛金公式①解題）。盛金定理3：當A=B=0時，則必定有C=0（此時,適用盛金公式①解題）。盛金定理4：當A=0時，若B≠0，則必定有Δ＞0（此時，適用盛金公式②解題）。盛金定理5：當A＜0時，則必定有Δ＞0（此時，適用盛金公式②解題）。盛金定理6：當Δ=0時，若B=0，則必定有A=0（此時，適用盛金公式①解題）。盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式③解題）。盛金定理8：當Δ＜0時，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式④解題）。盛金定理9：當Δ＜0時，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現(xiàn)的值必定是-1＜T＜1。顯然，當A≤0時，都有相應的盛金公式解題。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當Δ＞0時，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實系數(shù)的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。當Δ=0(d≠0)時，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最簡明的式子，由A、B、C構(gòu)成的總判別式Δ=B^2－4AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達形式體現(xiàn)了數(shù)學的有序、對稱、和諧與簡潔美。1：根的個數(shù)的探究函數(shù)y=與x軸交點的個數(shù)既是方程的根的個數(shù)。記……（1）結(jié)論1:參數(shù)a的正負號決定了函數(shù)y=圖像的大致走向。（此結(jié)論可以由數(shù)學分析中的區(qū)間套定理證明）例如：的大致圖像為注解：從上單調(diào)遞增（其中m為某一常數(shù)）.從上單調(diào)遞增（其中n為某一常數(shù)）.的大致圖像為:注解：(1)從上單調(diào)遞減（其中m為某一常數(shù)）.(2)從上單調(diào)遞減（其中n為某一常數(shù)）.

結(jié)論2：函數(shù)與x軸至少有一個交點，至多有3個交點。那么什么時候有1個交點呢？（以a0時來討論）記方程的根為且，則有：(1)若則函數(shù)y=與x軸有且只有一個交點大致圖像如下：(2):若則函數(shù)與x軸有且只有二個交點，大致圖像如下：（3）：若則函數(shù)y=與x軸有且只有三個交點，大致圖像如下：2：重根的探究引理若直線y=kx+m與三次函數(shù)y=（a）的圖像相切，則三次方程kx+m=必有重根。定理1一元三次方程有三重根的條件是證明：由題設，有，即所以有：定理2一元三次方程有二重根（），則=。證明：由于一元三次方程有二重根，則是的根，即有……（a）又是的二重根，故是的根，即有……（b）由（a）,（b）有以上定理的應用例1：與三次曲線相切，求a的值。解：與三次曲線相切，則方程……(4)有重根。有定理1知，當且，即時（4）有三重根；有定理2知，時，（4）的二重根為，將其帶入（4），得a=3：一元三次方程求根公式一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如的標準型一元三次方程形式化為的特殊型?？柕す降耐茖У谝徊剑簽榱朔奖悖s去a得到令，代入方程，中的項系數(shù)是-k，中的項系數(shù)是k，所以相加后抵消，得到，其中，