上海市實驗中學2023-2024學年高二上數(shù)學期末調(diào)研試題含解析

上海市實驗中學2023-2024學年高二上數(shù)學期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數(shù)是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線，向量，則可以構(gòu)成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.32．圓的圓心坐標與半徑分別是（）A. B.C. D.3．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.4．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．德國數(shù)學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數(shù)的幾何意義．設是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值7．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b8．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.9．拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.10．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.12．如圖，雙曲線的左，右焦點分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點，且Q為的中點．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個數(shù)為____________.14．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為________15．已知曲線在點處的切線與曲線相切，則______.16．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設，若橢圓E上存在兩個不同點P、Q滿足，證明：直線PQ過定點，并求該定點的坐標.18．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設直線，分別與軸交于點，.判斷，大小關系，并加以證明.19．（12分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長為的正方形，點在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）已知圓的圓心在直線上，且過點（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過原點，并且被圓截得的弦長為2，求直線l的方程.21．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，是中點.（1）求點到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.2、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程，即可得答案.【詳解】由題可知，圓的標準方程為，所以圓心為，半徑為3，故選.3、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.4、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.5、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C6、A【解析】利用導數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A7、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關系有關定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能平面內(nèi)，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項正確.故選:D.8、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A9、A【解析】將拋物線的方程化成標準形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標準形式，準線方程為，故選：A.10、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C11、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D12、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負值舍去）故選：C【點睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運算求解即可【詳解】前行共有正整數(shù)個，即個，因此第行第個數(shù)是全體正整數(shù)中第個，即為故答案為：14、【解析】求出等比數(shù)列的通項公式，可得出的通項公式，推導出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項和為.故答案為：.15、2或10【解析】求出在處的導數(shù)，得出切線方程，與聯(lián)立，利用可求.【詳解】令，，則，，可得曲線在點處的切線方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.16、【解析】先求出，求出導函數(shù)及，進而求出切線方程.【詳解】∵，∴，又，∴在處的切線方程為，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）由題可得，即求；（2）設直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理法可得，即得.【小問1詳解】由題可設橢圓的方程為，則，∴，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】當直線PQ的斜率存在時，可設直線PQ的方程為，設，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直線PQ的方程為過定點；當直線PQ的斜率不存在時，不合題意.故直線PQ過定點，該定點的坐標為.18、（1）（2）（3）見解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達式，當且僅當時，．即的面積的最大值是(3)結(jié)論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為因為橢圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設則，所以點到直線的距離為所以的面積，當且僅當時，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設直線，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線，的傾斜角互補所以，所以所以19、（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）連結(jié)，，由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）選條件①③，設，連結(jié)，，由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設，連結(jié)，由線面平行的性質(zhì)及平行推論可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（3）構(gòu)建空間直角坐標系，求平面、平面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連結(jié)，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小問2詳解】選條件①③，可使平面.證明如下：設，連結(jié)，，又，分別是，的中點，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.選條件②③，可使平面.證明如下：設，連結(jié).因為平面，平面，平面平面，所以，又，則.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.【小問3詳解】由（2）可知，四邊形為正方形，所以.因為，，兩兩垂直，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，.由（1）知：平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，令，則.設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.20、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意設圓心坐標為，進而得，解得，故圓的方程為（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）圓的圓心在直線上，設所求圓心坐標為∵過點，解得∴所求圓的方程為（2）直線經(jīng)過原點，并且被圓截得的弦長為2①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓截得的弦長為2，滿足條件；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由于直線被圓截得的弦長為，故圓心到直線的距離為故由點到直線的距離公式得：解得，所以直線l的方程為綜上所述，則直線l的方程為或【點睛】易錯點點睛：本題第二問在解題的過程中要注意直線斜率不存在情況的討論，即分直線的斜率存在和不存在兩種，避免在解題的過程中忽視斜率不存在的情況致錯，考查運算求解能力與分類討論思想，是中檔題.21、（1）；（2）【解析】（1）設數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項的概念即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據(jù)分組求和法即可求出答案【詳解】解：（1）設數(shù)列的公差為d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通