山西省大同市陽高縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

山西省大同市陽高縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.2．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.3．等比數(shù)列的公比，中有連續(xù)四項在集合中，則等于（）A. B.C D.4．若直線與互相平行，且過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.5．某中學(xué)高一年級有200名學(xué)生，高二年級有260名學(xué)生，高三年級有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則高二年級抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.266．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.17．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.528．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.9．下列說法中正確的是A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.若為假命題，則均為假命題C.若為假命題，則為真命題D.命題“若兩個平面向量滿足，則不共線”的否命題是真命題.10．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.12．已知是數(shù)列的前項和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是拋物線上一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________14．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.15．過圓內(nèi)的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______16．設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）18．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，當(dāng)直線軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線的斜率.19．（12分）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面積S的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，點E為棱PC的動點.（1）當(dāng)點E是棱PC的中點時，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（2）若E為棱PC上任一點，滿足，求二面角P-AB-E的余弦值.21．（12分）已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的方程；（2）在軸的正半軸上，是否存在某個確定的點M,過該點的動直線與拋物線C交于A,B兩點，使得為定值.如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由.22．（10分）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A2、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B3、C【解析】經(jīng)分析可得，等比數(shù)列各項的絕對值單調(diào)遞增，將五個數(shù)按絕對值的大小排列，計算相鄰兩項的比值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列中有連續(xù)四項在集合中，所以中既有正數(shù)項也有負數(shù)項，所以公比，因為，所以，且負數(shù)項為相隔兩項，所以等比數(shù)列各項的絕對值單調(diào)遞增，按絕對值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項，所以，故選：C.4、D【解析】由題意設(shè)直線的方程為，然后將點代入直線中，可求出的值，從而可得直線的方程【詳解】因為直線與互相平行，所以設(shè)直線的方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線的方程為，故選：D5、B【解析】計算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級抽取的人數(shù)名.故選：B.6、A【解析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用通項公式和求和公式進行求解.【詳解】設(shè)這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈.故選：A.7、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項之和為，故選：A8、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D9、D【解析】A中，利用四種命題的的真假判斷即可；B、C中，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題；D中，寫出該命題的否命題，再判斷它的真假性【詳解】對于A，命題“若，則”的逆命題是：若，則；因為也成立.所以A不正確；對于B，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題，所以B錯誤；C錯誤；對于D，“平面向量滿足”，則不共線的否命題是，若“平面向量滿足”，則共線；由知：，一定有，，所以共線，D正確.故選：D.【點睛】本題考查了命題的真假性判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題10、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.11、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A12、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因為，所以所以當(dāng)時，時，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點睛】要注意由求要分兩步：1.時，2.時.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當(dāng)三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當(dāng)三點共線時，最小，.故答案為：.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點處的切線方程為.故答案為：15、【解析】由已知得圓的圓心為，所以當(dāng)直線時，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當(dāng)直線時，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.16、5【解析】畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標函數(shù)如圖所示：根據(jù)平移知，當(dāng)目標函數(shù)經(jīng)過點時，有最小值為5.故答案為：5.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設(shè)，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而得到的范圍.（3）設(shè)重心，根據(jù)重心性質(zhì)得到，，再代入求解即可.小問1詳解】因為左頂點，所以，根據(jù)，可得，解得，所以；【小問2詳解】設(shè)直線為，則，則，，那么，根據(jù)解得，所以.【小問3詳解】設(shè)重心，則：，，所以，所以，即所求直線的斜率為.19、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進而可得C的大?。唬?）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號成立條件.【小問1詳解】由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.【小問2詳解】由，又，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴△的面積S的最大值為.20、（1）（2）【解析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，（2）設(shè)，表示出點的坐標，然后根據(jù)求出的值，從而可得點的坐標，然后利用空間向量求二面角【小問1詳解】因為底面ABCD，平面，所以因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，，點E為棱PC的動點，所以，所以,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)直線BE與平面PBD所成角為，則，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為，【小問2詳解】，因為E為棱PC上任一點，所以設(shè)，所以，因為，所以，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個法向量為，設(shè)二面角P-AB-E的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角P-AB-E余弦值為21、(1)；(2).【解析】（1）直線與拋物線相切，所以有，可解得，得拋物線方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線有，把目標式坐標化可得與無關(guān)，可得.試題解析：(1)聯(lián)立方程有，，有，由于直線與拋物線相切，得，所以.(2)假設(shè)存在滿足條件的點，直線，有，，設(shè)，有，，，，當(dāng)時，為定值，所以.22、（1）；（2），；（3）【解析】（1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)試題解析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.-------------5分因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：