例談“隱圓”在安徽中考中的重要地位 論文

例談“隱圓”在安徽中考中的重要地位摘要：解答一道數(shù)學(xué)題,常常有多種方法,其中有簡單明了的,也有迂回曲折的.如果我們能將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通,就能在短時(shí)間里打開思路,找到較為簡潔的方法,這一點(diǎn)在時(shí)間寶貴的考試中尤為重要.在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，的效果。關(guān)鍵詞：垂直，共圓，旋轉(zhuǎn)，折疊，最值引徽省中考試題詮釋其重要性。補(bǔ)充，甚至只字不提。殊不知，很多的方法在平時(shí)的做題中往往是隱含在其中。將其總結(jié)一二，希望能給大家的教學(xué)，學(xué)習(xí)以幫助。類型1利用“隱圓”證垂直1.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分別為AC,BD的中點(diǎn),求證:MN垂直平分BD.【答案】 ∵∠ABC=∠ADC=90°,∴Rt△ABC和Rt△ADC有同一個(gè)外接圓(如為圓心.∵N為BD的中點(diǎn),∴由垂徑定理得MN垂直平分BD.類型2利用“隱圓”求線段最值2.在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,F是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AF,過點(diǎn)B作BE⊥AF于點(diǎn)G,交射線CD于點(diǎn)E,連接CG,則CG的最小值是。本題給我們的啟發(fā)是:已知條件中有直角三角形,我們可以想到以這個(gè)直角用圓的有關(guān)知識(shí)解題,這樣可以起到事半功倍之奇效.這個(gè)方式還可在解答其他多少題目中廣而推之.最終答案為

10-2。類型3利用“隱圓”證相似3.在銳角三角形ABC分別是AB,ACE,D.BE與CD的交點(diǎn)為O，連接DE。求證：△AED∽△ABCADAC

ADAEAEB,得出,利用比例的性質(zhì)可得AE∽△ABC

AB，且AC

AB，AA,所以△AED如果把圓的知識(shí)用在本題中，一切都變的簡單了。因?yàn)锽DCBEC90,所以點(diǎn)B,D,E,C都在以BCBDEC是以BC為直徑圓的內(nèi)接四邊形。由于圓的內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角可得，ADEACB,AA.故：△AED∽△ABC類型4利用“隱圓”求最值Rt△ABCF在邊ACCF＝2，點(diǎn)E為邊BC沿直線EFC落在點(diǎn)PP到邊AB距離的最小值是 ．P的位置會(huì)隨著E的變化而變化，但是在變化中不變的是PF=CF,所以P點(diǎn)肯定在以F為圓心，以FP為半徑的圓上,過F點(diǎn)作FMAB.由圖可以知道最小值為FM-FC=1.2.5.如圖,P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A.BAB的同側(cè)分別作等邊△APC為ABQN的最小值。解析：∵△APC，△PBD都是等邊三角形，∴AP=PC,PD=PB,∠APC=∠DPB=60°，∴∠APD=∠CPB，在△APD和△CPB中，AP=PC∠APD=∠CPBDP=BP，∴△APD≌△CPB，∴∠ADP=∠CBP，設(shè)BC與PD交于點(diǎn)G，∵∠QGD=∠PGB，∴∠DQG=∠BPG=60°，∴∠AQB=180°?∠DQG=120°如圖,由∠AQB=120°為定值,可知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧AB，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，在圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，則∠M=60°，∴∠AOB=2∠M=120°，連接ON，則ON⊥AB，∵AN=BN=3，∴AO=ANsin60°=2

3,ON=AOcos60°=3，3當(dāng)QN⊥AB時(shí),QN取到最小值,最小值為233 。3下面我們結(jié)合安徽省的中考數(shù)學(xué)試題來看，有些數(shù)學(xué)題,試題表面沒有涉及圓的知識(shí),但如果我們能想到用圓的知識(shí)解答,往往就會(huì)柳暗花明,事半功倍,這就是我們說的“用圓求解,另辟蹊徑”。有關(guān)這類試題,2011年，2016年和2018年安徽中考數(shù)學(xué)體現(xiàn)最為集中,如2011年的第22題的第3問，2016年的第10題,2018年的第23題等.(2011·安徽第22題)在△ABC中∠ACB＝90°∠ABC＝30°將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，AC＝a，連接EP．當(dāng)θ＝°時(shí)，EP的長度最大，最大值為．P的EPEP的P位于AC的延長線與以C為圓心，CA為半徑的圓的交點(diǎn)3a處時(shí)，EP最大為2

，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角為120。(2016·安徽第10題)如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4P是△=CP長的最小值為()3A.B.2212138131213C. D.13【答案】B【解析】解：

13∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的

⊙O上，連接OC交

⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，在Rt△BCO中，BO2+BC2∵∠OBC=90°，BO2+BC2∴OC=

=5，∴PC=OC?OP=5?3=2．∴PC最小值為2．故選：B．首先要證明點(diǎn)P在以AB為直徑的

⊙O上，連接OC與

⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC的長最小，利用勾股定理即可求出OC即可解決問題．P到圓的最小和最大距離，屬于中考?？碱}型．(2018·安徽第23)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,M為BD中點(diǎn),CM的延長線交AB于點(diǎn)F.(1)求證:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小.BCDE外接圓證明CM=EM;(2)根據(jù)圓周角定理求得∠CME=80°,從而求出∠EMF.【答案】均為直角三角形,則這兩個(gè)三角形有公共的外接圓,即四邊形BCDE有一個(gè)外接圓,且直徑為BD,M為圓心,∴CM=EM.(2)∵∠BAC=50°,∠ACB=90°,∴∠ABC=40°,由(1)得∠AB