jacobi迭代法-實驗-MATLAB程序-數值分析

求線性方程組得近似解。精確解為x*=[3，2，1]’。解：對方程進行移項就得記為Ax=b,或寫為x=B0x+f,其中取初始值,代入原方程組可得再將把它代入可得.反復利用這個計算過程,得到一向量序列和一般的計算公式(迭代公式) 簡寫為迭代到第10次有從此例看出,由迭代法產生的向量序列x(k)逐步逼近方程組的精確解x*. 6.1常用迭代法定義1(ⅰ)對于給定的方程組x=Bx+f,用公式逐步代入求近似解的方法稱為迭代法(或稱為一階定常迭代法,這里B與k無關).(ⅱ)如果存在(記為x*),稱此迭代法收斂,顯然x*就是方程組的解,否則稱此迭代法發(fā)散.迭代法的流程圖為:①為初始向量，②是判斷條件,即時停止運行③k是循環(huán)次數。④中帶入初始值,然后賦給①Jacobi迭代法 對一般方程組從第一個方程解出x1,第二個方程解出x2,…,記成用矩陣寫法即 x=Bx+g, B的對角元皆零,可拆成B=L+U L是B下三角部分,U是B上三角部分Jacobi迭代法如下述.任取初始近似x(0),對k=1,2,…計算 直至║x(k+1)-x(k)║≤ε,預定的精度.用矩陣記號，即任取初始近似x(0),對k=1,2,…計算x(k+1)=Bx(k)+g,直至║x(k+1)-x(k)║≤ε(通常對迭代法限定最大迭代次數也是必要的).Jacobi迭代法的流程圖為:在以上的流程圖中，先讀入數據，即先輸入系數矩陣A,常數向量b,初始值，停止條件和最大循環(huán)次數。圖中是，在我們迭代公式中的。k是循環(huán)次數，N是最大循環(huán)次數。例2.

利用Jacobi方法求方程組的近似解。解把原方程改為 任取初始近似x(0),對k=1,2,…計算 直至║x(k+1)-x(k)║≤ε,預定的精度. 此即Jacobi迭代法.計算結果如下表.kx1(k)x2(k)x3(k)000010.7200000000000.8300000000000.84000000000020.9710000000001.0700000000001.15000000000031.0570000000001.1571000000001.24820000000041.0853500000001.1853400000001.28282000000051.0950980000001.1950990000001.29413800000061.0983375000001.1983374000001.29803940000071.0994416200001.1994416300001.29933498000081.0998111590001.1998111580001.29977665000091.0999364458001.1999364459001.299924463400101.0999785372701.1999785372601.299974578340111.0999927693941.1999927693951.299991414906二實驗部分本章實驗內容：實驗題目：Jacobi迭代法，Gauss-Saidel迭代法，SOR迭代法。實驗內容：利用MATLAB,編制求Ax=b的各迭代計算方法的程序。實驗目的：了解迭代法的運用性，進行各迭代法數值結果的比較，并找出一個計算量小的，使迭代法加速收斂的迭代方法。編程要求：①利用迭代法，初始向量為x(0)②同時利用Jacobi法和Gauss-Seidel法來進行對比。③利用SOR迭代法來進行對比。計算算法：①Jacobi迭代法的算法為:②Gauss-Saidel迭代法的算法為：③SOR迭代法的算法為：實驗例題⑴：條件：取實驗例題⑵：條件：取選擇適當的松弛因子。程序①：function[X,Y]=JacobiGS(A,b,p,p1,del,max)%A為線性方程組的系數矩陣，b為自由項，p和p1為兩種迭代法的初始解，del為限制數，max為循環(huán)的限制次數。n=length(b);fork1=1:maxforj=1:nY(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1])*p1(1:j-1)-A(j,[j+1:n])*p1(j+1:n))/A(j,j);ifj==1X(1)=(b(1)-A(1,[2:n])*p(2:n))/A(1,1);elseifj==nX(n)=(b(n)-A(n,[1:n-1])*(X(1:n-1))')/A(n,n);elseX(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1])*(X(1:j-1))'-A(j,[j+1:n])*p(j+1:n))/A(j,j);enderr=abs(norm(X'-p));reerr=err/(norm(X)+eps);p=X';if(err<del)|(reerr<del)breakenderr1=abs(norm(Y'-p1));reerr1=err1/(norm(Y)+eps);p1=Y';if(err1<del)|(reerr1<del)breakendenddisp(sprintf('kX(k)Y(k)'));fori=0:ndisp(sprintf('%d%f%f',i,X(i+1),Y(i+1)));end數值結果:[X,Y]=JacobiGS(A,b,p,p1,10^(-5),7)kX(k)Y(k)03.0000022.99902911.9999992.00262120.9999991.003131程序②：functionX=SOR(A,b,p,w,del,max)%A為線性方程組的系數矩陣，b為自由項,p為迭代初始值，w為松弛因子，del為限制數，max為循環(huán)的限制次數。n=length(b);fork=1:maxforj=1:nifj==1X(1)=p(j)+w*(b(1)-A(1,[1:n])*p(1:n))/A(1,1);elseifj==nX(n)=p(n)+w*(b(n)-A(n,[1:n-1])*(X(1:n-1))'-A(n,n)*p(n))/A(n,n);elseX(j)=p(j)+w*(b(j)-A(j,[1:j-1])*(X(1:j-1))'-A(j,[j:n])*p(j:n))/A(j,j);endenderr=abs(norm(X'-p));reerr=err/(norm(X)+eps);p=X';if(err<del)|(reerr<del)breakendenddisp(sprintf('kX(k)'));fori=0:ndisp(sprintf('%d%f',i,X(i+1)));end數值結果:X=SOR(A,b,p,1.3,10^(-5),11)kX(k)0-0.9999971-1.0000032-1.0000003-0.999999總結：①迭代法具有需要計算機的存貯單元較少,程序設計簡單,原始系數矩陣在計算過程中始終不變等優(yōu)點.②迭代法在收斂性及收斂速度等方面存在問題.[注:A必須滿足一定的條件下才能運用以下三種迭代法之一。在Jacobi中不用產生的新數據信息，每次都要計算一次矩陣與向量的乘法，而在Gauss利用新產生的信息數據來計算矩陣與向量的乘法。在SOR中必須選擇一個最佳的松弛因子，才能使收斂加速。]經過計算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩點計算量，也是Jacobi方法的改進。可是精確度底，計算量高，費時間，需要改進。SOR是進一步改進Gauss-Seidel而得到的比Jacobi，Gauss-Seidel方法收斂速度快，綜合性強。改變松弛因子的取值范圍來可以得到Jacobi，Gauss-Seidel方法。③選擇一個適當的松