2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章立體幾何解答題模板構(gòu)建3立體幾何問題教師用書

解答題模板構(gòu)建3立體幾何問題(2022·新高考Ⅰ卷)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22.(1)求A到平面A1BC的距離；(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．[規(guī)范解答]解：(1)由直三棱柱的體積為4，可得VA1-ABC＝13V設(shè)A到平面A1BC的距離為d，由VA1-∴13S△A1∴13×22·d＝43，????????????????????????????解得d＝2.???????????????????????????????4分(2)連接AB1交A1B于點(diǎn)E，∵AA1＝AB，∴四邊形為正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC．??????????????????5分由直三棱柱ABC-A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，??????????????????6分以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AA1＝AB，∴BC×2AB×12＝22，又12AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，?????????????????????????????????則B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，A1(0，2，2)，D(1，1，1)，則BA＝(0，2，0)，BD＝(1，1，1)，BC＝(2，0，0)，??????8分設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則n·BA=2y=0，n·BD=x+y+z=0，令x＝∴平面ABD的一個(gè)法向量為n＝(1，0，－1)，?????????9分設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為m＝(a，b，c)，m·BC=2a=0，m·BD=a+b+c=0，令b＝平面BCD的一個(gè)法向量為m＝(0，1，－1)，?????????10分cos〈n，m〉＝12·2＝12二面角A-BD-C的正弦值為1-122＝32第一步：利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離；第二步：利用題目中及推導(dǎo)出的垂直關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第三步：根據(jù)條件寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第四步：準(zhǔn)確求出相關(guān)平面的法向量；第五步：利用向量法求出空間角或其三角函數(shù)值的大?。愋鸵磺罂臻g角的大小如圖所示，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2AD＝22，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM.(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)若E點(diǎn)滿足BE＝23BD，求二面角E-AM-(1)證明：因?yàn)锳M＝AD2+DM2＝2+2＝2，BM＝B所以AM2＋BM2＝8＝AB2，所以AM⊥BM.又因?yàn)锳D⊥BM，AD∩AM＝A，所以BM⊥平面ADM.又因?yàn)锽M?平面ABCM，所以平面ADM⊥平面ABCM.(2)解：取AM的中點(diǎn)O，連接DO，因?yàn)镈A＝DM，所以DO⊥AM.又平面ADM∩平面ABCM＝AM，平面ADM⊥平面ABCM，所以DO⊥平面ABCM.以O(shè)A方向?yàn)閤軸，過點(diǎn)O垂直AM方向?yàn)閥軸，OD方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0，0)，M(－1，0，0)，B(－1，2，0)．因?yàn)镈O＝12AM＝1，所以D(0，0，1)設(shè)E(xE，yE，zE)，則BE＝(xE＋1，yE－2，zE)，BD＝(1，－2，1)．又因?yàn)锽E＝23BD所以E-13，23，23，所以AM＝(－2，取平面AMD一個(gè)法向量n1＝(0，1，0)，設(shè)平面AME一個(gè)法向量n2＝(x，y，z因?yàn)锳M·n取y＝1，所以n2＝(0，1，－1)所以cos〈n1，n2〉＝由圖可知二面角E-AM-D為銳二面角，所以二面角E-AM-D的大小為45°.類型二立體幾何中的探索型問題如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．(1)求證：A1C∥平面AB1D；(2)求二面角B1-AD-B的余弦值；(3)判斷在線段B1B上是否存在一點(diǎn)M，使得A1M⊥B1D．若存在，求出B1(1)證明：連接A1B交AB1于點(diǎn)E，連接DE.由于D，E分別是BC，A1B的中點(diǎn)，所以A1C∥DE.由于A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA＝CB＝CC1＝2，B1(0，2，2)，D(0，1，0)，A(2，0，0)，所以DB1＝(0，1，2)，DA＝(2，－1，設(shè)平面AB1D的法向量為n1＝(x，y，z)，則n1·DB1=y+2z=0，n1·平面ABD的法向量為n2＝(0，0，1)．設(shè)二面角B1-AD-B的平面角為θ，由圖可知，θ為銳角，所以cosθ＝n1·n2n(3)存在解：B(0，2，0)，BB1＝(0，0，2)，A1(2，0，設(shè)B1MB1B＝t，B1M即B1M＝tB1B＝(0，0，－CM＝CB1+B1M＝(0，2，2)＋(0，0，－2t)＝(0，2，