《高職應用數(shù)學》教案 第8課 兩個重要極限及無窮小的比較

第8課兩個重要極限及無窮小的比較課題兩個重要極限及無窮小的比較課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1．熟練掌握利用兩個重要極限公式求極限2．掌握兩個無窮小的階的比較3．了解利用等價無窮小求極限思政育人目標：通過學習兩個重要極限及無窮小的比較，培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：兩個重要極限公式、無窮小量的比較、利用等價無窮小量求極限教學難點：掌握利用兩個重要極限公式求極限的方法教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第一節(jié)課：課前任務→考勤（2min）→復習（10min）→講授新課（20min）→課堂測驗（6min）→課堂指導（7min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測驗（10min）→互助指導（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設計意圖第一節(jié)課課前任務【教師】和學生負責人取得聯(lián)系，布置課前任務，提醒同學做完作業(yè)，在上課前交齊【學生】做完作業(yè)，在上課前交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學習軟件，布置課前任務：（1）復習無窮小量、無窮大量的定義；（2）預習兩個重要極限；（3）預習無窮小量的比較【學生】提前上網(wǎng)搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預熱，讓學生了解所學科目的大概方向，激發(fā)學生的學習欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況復習（10min）【教師】提前設計好上節(jié)課的復習題目，并針對學生存在的問題及時講解【學生】做復習題目復習上節(jié)課所學內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（20min）【教師】通過觀察函數(shù)圖像，推導出極限公式，并通過例題介紹使用該公式求函數(shù)極限的方法圖2-7（□代表同一變量）．例1求．例1解令，則．當時，．于是有．例2求下列極限例2（1）；（2）；（3）．解（1）．（2）．（3）．【教師】通過函數(shù)的變化趨勢推導出極限公式，并通過例題介紹使用該公式求函數(shù)極限的方法當時，函數(shù)的變化趨勢如表2-1所示．表2-1從表2-1中可以看出，當及時，的值無限趨近于，即．若令，則當時，．因此，還可以寫成．此重要極限屬于型，常形象地表示為或（□代表同一變量）．例3求下列函數(shù)的極限例3（1）； （2）．解（1）令，則．于是．（2）．例4設有本金10000元，年利率為6%，計息期為例4（1）單利計息（五年結(jié)算一次）；（2）復利計息（3個月結(jié)算一次）；（3）連續(xù)復利計息．解（1）單利計息（五年結(jié)算一次）時本利和為（元）．（2）復利計息（3個月結(jié)算一次）時本利和為（元）．（3）連續(xù)復利計息時本利和為（元）．【學生】熟練運用兩個重要極限公式求函數(shù)的極限學習兩個重要極限。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗（6min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂指導（7min）?選出優(yōu)秀學生帶動、指導其他同學掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學上臺解答，為同學們做示范。如果題目比較難，無人答對則老師示范【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學生帶動其他學生掌握知識點第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解無窮小量的比較方法，以及利用等價無窮小求極限的方法我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差、積仍然是無窮小量，但兩個無窮小量的商卻不一定是無窮小量．例如，當時，都是無窮小量，但兩個無窮小量的商卻會出現(xiàn)不同的情況，如，，，．兩個無窮小量比值極限的不同，反映了不同無窮小量趨于零的速度差異．，說明當時，的速度比要快；，說明當時，的速度比要慢；，說明當時，與的速度相當；，說明當時，與的速度相同．義．定義設是自變量的同一變化過程中（或）的無窮小量，且．（1）若，則稱β是比α高階的無窮小，記作；（2）若，則稱β是比α低階的無窮??；（3）若，則稱β與α是同階無窮?。唬?）若，則稱β與α是等價無窮小，記作．例如，當時，與x都是無窮小量．因為，所以當時，與x是同階無窮小量．等價無窮小在求極限時有重要的作用．對此，有如下定理．定理設，且存在，則有．這說明，在求兩個無窮小量之比的極限時，分子、分母可分別用它們的等價無窮小來代替，這樣可以簡化某些極限的運算．因此，我們應該記住以下幾個常用的等價無窮?。敃r，，，，，，，．例5求．例5解當時，，無窮小與它本身顯然是等價的，所以．例6求．例6解當時，，，所以．【學生】弄清無窮小量比較的方法（高階、低階、同階和等價），了解利用等價無窮小求極限的方法學習無窮小量的比較方法。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象互助指導（12min）?選出優(yōu)秀學生帶動、指導其他同學掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現(xiàn)組內(nèi)互助【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學生帶動其他學生掌握知識點課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了利用兩個重要極限公式求極限的方法、無窮小量的比較方法，以及利用等價無窮小求極限的方法，課后要多加練習，鞏固認知【學生】總結(jié)回顧知識點【教師】布置課后作業(yè)：習題2-3總結(jié)知識點，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學習平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學習鏈接【學生】登錄文旌課堂APP或其他學習平臺查看相關(guān)知識鏈接，完成課后任務延展知識面，多學科交叉學習教學反思