函數(shù)的單調(diào)性（教學(xué)設(shè)計(jì)）

§一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)的單調(diào)性?xún)?nèi)容解析：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它不僅反映了函數(shù)變化的趨勢(shì)，還是研究函數(shù)極值與最大(小)值的基礎(chǔ)性問(wèn)題.雖然可以通過(guò)函數(shù)圖象的升降觀察函數(shù)的單調(diào)性，但對(duì)大多數(shù)函數(shù)而言，畫(huà)出其圖象不是一件容易的事情.至于根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義去判斷函數(shù)的單調(diào)性，則由于含字母的代數(shù)式值的大小比較通常較困難，所以也不是通性通法.導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫(huà)了函數(shù)的局部變化，因而可以利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)。有了導(dǎo)數(shù)，可以把函數(shù)單調(diào)的判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題.通過(guò)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這種方法在解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)具有“普適性”。通過(guò)探究函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，得出可用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論與方法，這一過(guò)程中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算，將判斷函數(shù)的單調(diào)性這一復(fù)雜問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為步驟明確的運(yùn)算問(wèn)題，這又蘊(yùn)含了重要的算法思想.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)模型描述客觀事物的變化規(guī)律、解決優(yōu)化等實(shí)際問(wèn)題有著非常重要的意義，是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的載體。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）通過(guò)具體函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；（直觀想象）能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，能利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，并會(huì)求函數(shù)的（2）單調(diào)區(qū)間，體會(huì)算法思想（數(shù)學(xué)運(yùn)算）.目標(biāo)解析：（1）對(duì)于給定的具體函數(shù)的圖象，能借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性，并將二者關(guān)聯(lián)起來(lái).（2）對(duì)于給定的函數(shù)，能利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間;能根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)信息畫(huà)出簡(jiǎn)單函數(shù)的大致圖象.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.教學(xué)問(wèn)題一：由于高中數(shù)學(xué)課程不安排拉格朗日中值定理的內(nèi)容，所以說(shuō)明“若導(dǎo)數(shù)符號(hào)為正(或負(fù))，則函數(shù)是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)”2.教學(xué)問(wèn)題二：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)，但函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上仍然是單調(diào)遞增(或遞減)的問(wèn)題(如)，這也是本節(jié)課可能遇到的教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題之二。對(duì)于這個(gè)難點(diǎn)，教師在教學(xué)時(shí)要用圖象幫助學(xué)生加以分析與區(qū)別.基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)定為：建立函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的聯(lián)系.教學(xué)策略分析：目前高中階段不專(zhuān)門(mén)介紹極限的內(nèi)容，這使得本章中的許多定理都沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格的證明，加之許多結(jié)論高度抽象，因此可以使用信息技術(shù)工具幫助學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)有關(guān)概念與結(jié)論。在本節(jié)課中，可以借助信息技術(shù)工具對(duì)函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系進(jìn)行直觀認(rèn)識(shí)，以保證教學(xué)時(shí)不因?yàn)橛?jì)算問(wèn)題而偏離教學(xué)目標(biāo).五、教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問(wèn)題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入[問(wèn)題1]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，你能從數(shù)、形、定義等不同角度描述一下函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的嗎？教師1：提出問(wèn)題1.學(xué)生1：師生共同歸納出以下描述：①如果在區(qū)間上，自變量增大函數(shù)值也增大，那么在區(qū)間上是單調(diào)遞增的；②如果函數(shù)的圖象在區(qū)間上從左到右是上升的，那么在區(qū)間上單調(diào)遞增的；③如果，且，都有，那么在區(qū)間上是單調(diào)遞增的.復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，并讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)，而不是在一個(gè)點(diǎn)處的性質(zhì)，為后面通過(guò)區(qū)間上任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性做鋪墊.探究新知探究新知[問(wèn)題2]圖1中（1）是某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象，圖1中（2）是跳水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象．這里，是函數(shù)的零點(diǎn)．運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫(huà)這種區(qū)別？[問(wèn)題3]我們看到，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系，那么，能否由的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？[問(wèn)題4]上述情況是否具有一般性呢？觀察下面一些函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.教師2：提出問(wèn)題2.學(xué)生2：教師引導(dǎo)學(xué)生理解題意，觀察并思考分析.（1）從起跳到最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即單調(diào)遞增，相應(yīng)地，.（2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而減小，即單調(diào)遞減，相應(yīng)地，.教師3：提出問(wèn)題3.學(xué)生3：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納高臺(tái)跳水問(wèn)題中函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系，得出結(jié)論：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象是“上升”的，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，<0，函數(shù)的圖象是“下降”的，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減．教師4：提出問(wèn)題4.學(xué)生4：學(xué)生逐個(gè)觀察函數(shù)圖像，分析函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).思考：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率.可以發(fā)現(xiàn)：在處，，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)的圖象也是上升的，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)的圖象也是下降的，函數(shù)在附近單調(diào)遞減.與學(xué)生共同分析函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系的一般性結(jié)論.最終得出結(jié)論：一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：=1\*GB3①在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果>0，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；=2\*GB3②在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果<0，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由觀察、猜想到歸納、總結(jié)讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過(guò)程變灌注知識(shí)為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)從而使之成為課堂教學(xué)活動(dòng)的主體。通過(guò)觀察高臺(tái)跳水問(wèn)題中高度函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)系.在這一過(guò)程中，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).通過(guò)對(duì)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)之間關(guān)系的探究，得出用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)單調(diào)性的一般性結(jié)論，并由此讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).教師對(duì)具體例子進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示學(xué)生對(duì)一般情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。知識(shí)應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性例1．你能利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性嗎？（1）；（2）；（3）．例2．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：①當(dāng)1＜x＜4時(shí)，；②當(dāng)x＜1，或x＞4時(shí)，；③當(dāng)x＝1，或x＝4時(shí)，．試畫(huà)出函數(shù)圖象的大致形狀．例3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.[問(wèn)題5]根據(jù)例3總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟.[問(wèn)題6]如果不用導(dǎo)數(shù)的方法，直接運(yùn)用單調(diào)性的定義，你如何求解本題？運(yùn)算過(guò)程麻煩嗎？你有什么體會(huì)？[問(wèn)題7]研究對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)快慢的情況．例4.設(shè)，，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示．判斷的圖象與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．教師5：教師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)思考函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而畫(huà)出的大致圖象，并示范解答例1的（1）.學(xué)生5：完成（2）、（3）.教師6：由的信息，畫(huà)出的大致圖象.學(xué)生6：教師7：教師啟發(fā)學(xué)生思考例3.學(xué)生7：學(xué)生板書(shū)，教師規(guī)范解答.教師8：引導(dǎo)學(xué)生歸納用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟.學(xué)生8：師生共同總結(jié)，形成結(jié)論.導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；第3步，用的零點(diǎn)將的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．教師9：提出問(wèn)題6.學(xué)生9：分別利用單調(diào)性的定義和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.結(jié)論：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，只需要探討導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)；將不熟悉的，相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的，相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．教師10：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題7的探究，總結(jié)增減有快慢之分，圖象有陡緩之別，這些跟導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生10：一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快，這時(shí)函數(shù)的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖像就比較“平緩”．教師11：判斷的圖象與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．學(xué)生10：的圖象是；的圖象是.此問(wèn)題是教科書(shū)第86頁(yè)例1，教師通過(guò)例1的解答向?qū)W生示范如何用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，體會(huì)算法思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).此問(wèn)題是教科書(shū)第86頁(yè)例2，通過(guò)教師的示范講解與學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)畫(huà)函數(shù)的大致圖像，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).此題是教科書(shū)例題3，教師通過(guò)例題解答向?qū)W生示范如何用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)熟悉用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，體會(huì)算法思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．讓學(xué)生深刻體會(huì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的密切關(guān)系，由此感悟只求導(dǎo)是不能較為準(zhǔn)確地畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖像的．此問(wèn)題是教科書(shū)第89頁(yè)例4，通過(guò)學(xué)生的練習(xí)與教師的講解，學(xué)生將進(jìn)一步鞏固結(jié)論，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的對(duì)函數(shù)增減快慢的影響．課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問(wèn)題：1．本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？你是如何獲得這些知識(shí)的？2．本節(jié)課用到的數(shù)學(xué)方法有：由特殊到一般，由抽象到具體．學(xué)生思考交流后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得出用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟：第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，