專題06 整式乘除能力提升題（原卷版）

專題06整式乘除能力提升題華師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊期末考試，通常用“整式乘除能力提升題”，作為解答題的第五題。特別是與完全平方公式有關(guān)的能力提升題。1．圖是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖的方法拼成一個(gè)邊長為的正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積．方法：；方法：．(2)觀察圖寫出，，三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：．(3)根據(jù)（）中你發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，求的值．2．閱讀下列材料，回答問題．隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，數(shù)系不斷擴(kuò)充，為了解決這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的問題，我們引入一個(gè)新數(shù)i（i被稱為虛數(shù)單位），規(guī)定，并且新數(shù)i滿足交換律、結(jié)合律和分配律．例如：；．請根據(jù)以上材料．回答下列問題：(1)_____________；_____________；_____________；_____________．(2)計(jì)算：①

②3．閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋淼?，即，．，．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值．(2)在（1）的條件下，若，求和的值．4．根據(jù)所學(xué)我們知道：可以通過用不同的方法求解長方形面積，從而得到一些數(shù)學(xué)等式．如圖1可以表示的數(shù)學(xué)等式：，請完成下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式：______．(2)從圖3可得______．(3)結(jié)合圖4，已知，，求的值．5．閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．例如，對于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．(1)如圖，利用陰影面積的不同表示方法寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：___________；(2)解決問題：如果，求的值；(3)類比第（2）問的解決方法探究：如果一個(gè)長方形的長和寬分別為和，且，求這個(gè)長方形的面積．6．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助解數(shù)學(xué)問題．(1)請寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．圖1：______；圖2：______；圖3：______．其中，完全平方公式可以從“形”的角度進(jìn)行探究，通過圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題，在圖4中，已知，，求的值．解：∵，∴，又∵，∴，∴.即．類比遷移：(2)若，則______；(3)如圖5，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，陰影部分面積為______．7．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過圖形面積的計(jì)算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫男畔ⅲ蚩梢郧蟪鲆恍┎灰?guī)則圖形的面積．(1)如圖所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且．觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為___________．(2)若圖中每塊小長方形的面積為，四個(gè)正方形的面積和為，試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和．(3)將圖中邊長為和的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一條直線上，連接和，若這兩個(gè)正方形的邊長滿足，，請求出陰影部分的面積．8．如圖1，有型、型、型三種不同形狀的紙板，型是邊長為的正方形，型是邊長為的正方形，型是長為，寬為的長方形.現(xiàn)用型紙板一張，型紙板一張，型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．(1)觀察圖2，請你用兩種方法表示出圖2的總面積.方法1：___________________________；方法2：___________________________；請利用圖2的面積表示方法，寫出一個(gè)關(guān)于，的等式：__________________．.(2)已知圖2的總面積為64，一張型紙板和一張型紙板的面積之和為40，求的值.(3)用一張型紙板和一張型紙板，拼成圖3所示的圖形，若，求圖3陰影部分的面積．9．完全平方公式：，適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即：，又因?yàn)樗愿鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，求的值；(2)若，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以、為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．10．閱讀材料：若，求m、n的值．解：，∴，∴．∵，，∴，，∴．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則______；______．(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且，求c的值．11．將完全平方公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題，例如，若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)椋裕鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題．(1)若，，則．(2)若，，求的值．(3)如圖，在長方形ABCD中，，，點(diǎn)E、F是BC、CD上的點(diǎn)，且，分別以FC、CE為邊在長方形外側(cè)作正方形和，在長方形內(nèi)側(cè)作長方形，若長方形的面積為200，則圖中陰影部分的面積和為．12．圖是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線剪開，可分成四塊小長方形．(1)將圖中所得的四塊長為，寬為的小長方形拼成一個(gè)正方形（如圖），請利用圖中陰影部分面積的不同表示方法，直接寫出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系是______；(2)應(yīng)用：想據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知，，則______；(3)拓展延伸：將如圖所得的四塊長為，寬為的小長方形（如圖）不重疊地放在長方形的內(nèi)部（如圖），未被覆蓋的部分（兩個(gè)長方形）用陰影表示．若左下角與右上角的陰影部分的周長之差為，且圖中小長方形的面積為，求的長．13．在學(xué)習(xí)乘法公式的運(yùn)用，我們常用配方法求最值，例如：求代數(shù)式的最小值？總結(jié)出如下解答方法：解：∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是0，∴∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)填空：；(2)若，當(dāng)______時(shí)，y有最_______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是______；(3)已知a，b，c是的三邊長，滿足，且c的值為代數(shù)式的最大值，判斷△ABC的形狀，并求出該三角形的周長．14．如圖1所示的正方形，我們可以利用兩種不同的方法計(jì)算它的面積，從而得到完全平方公式：．請你結(jié)合以上知識(shí)，解答下列問題：(1)寫出圖2所示的長方形所表示的數(shù)學(xué)恒等式______．(2)根據(jù)圖3得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，，求代數(shù)式的值．(3)小華同學(xué)用圖4中x張邊長為a的正方形紙片，y張邊長為b的正方形紙片，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個(gè)邊長分別為和的長方形，則______，______，______．15．閱讀下列材料：一般地，個(gè)相同因數(shù)相乘，記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則叫做以為底的對數(shù)，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．(1)計(jì)算以下各對數(shù)的值：________，________，________．(2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式________．(3)由（2）的結(jié)果，請你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：________（且，，）(4)設(shè)，，請根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性．16．我們知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，同樣，利用幾何圖形的面積也可以解釋不等式的正確性，請解答下列問題：(1)如圖1，可以寫出代數(shù)恒等式：_______；若，，則_______；(2)如圖2，兩個(gè)邊長為、、的直角三角形和一個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成一個(gè)直角梯形，請根據(jù)梯形的面積推導(dǎo)、、之間的數(shù)量關(guān)系（要求寫出推導(dǎo)過程）；(3)如圖3，已知線段的長度、、、、、滿足.試畫出一個(gè)幾何圖形，并在圖形中標(biāo)出線段的長度、、、、、，使得該幾何圖形的面積可以解釋不等式.（不要求尺規(guī)作圖）17．利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性．由圖，利用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可得等式：．(1)由圖可得等式：____________．(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)已知正數(shù)、、和、、滿足，試?yán)脠D形面積來說明．18．【學(xué)習(xí)材料】拆項(xiàng)添項(xiàng)法在對某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，需要把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符號(hào)相反的項(xiàng)，這樣的分解因式的方法稱為拆項(xiàng)添項(xiàng)法．如：例1分解因式：．解：原式例2分解因式：．解：原式．我們還可以通過拆項(xiàng)對多項(xiàng)式進(jìn)行變形，如例3把多項(xiàng)式寫成的形式．解：原式【知識(shí)應(yīng)用】請根據(jù)以上材料中的方法，解決下列問題：(1)分解因式：______；(2)運(yùn)用拆項(xiàng)添項(xiàng)法分解因式：______；(3)判斷關(guān)于x的二次三項(xiàng)式在______時(shí)有最小值；(4)已知（均為整數(shù)，m是常數(shù)），若M恰能表示成的形式，求m的值．19．分解因式：，以上分解因式的方法稱為分組分解法，對于四項(xiàng)多項(xiàng)式的分組，可以是“二、二分組（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分組”，根據(jù)以上閱讀材料解決問題：【跟著學(xué)】分解因式：＝______．【我也可以】分解因式：．【拓展訓(xùn)練】已知，，為△ABC的三邊長，若，試判斷△ABC的形狀．20．有7張如圖1規(guī)格相同的小長方形紙片，長為a，寬為b（），按如圖2、3的方式不重疊無縫隙地放在矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．(1)如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線上，那么矩形ABCD的面積為．（用含a、b的代數(shù)式表示）(2)如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，．①用a、b、x的代數(shù)式直接表示AE②當(dāng)BC的長度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？21．對于形如可用“配方法”將它分解成的形式，如在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，它不會(huì)改變整個(gè)式子的值，其變化過程如下：像這種“因式分解”的方法稱為“配方法”請完成下列問題：(1)利用“配方法”分解因式：；(2)已知是△ABC的三邊長，且滿足，求△ABC的周長；(3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，請比較多項(xiàng)式與的大小，并說明理由．22．我們知道，分解因式與整式乘法是互逆的運(yùn)算．在分解因式的練習(xí)中我們也會(huì)遇到下面的問題，請你根據(jù)情況解答：(1)已知，，是△ABC的三邊且滿足，判斷的形狀；(2)兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，其中一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成，請你求出原來的多項(xiàng)式并將原式分解因式．23．如圖，是一個(gè)長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形如圖．(1)圖中的陰影部分的邊長為___________；(2)觀察圖請寫出，，之間的等量關(guān)系：___________；(3)若，求的值．24．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數(shù)式的最小值．解：

的最小值是．(1)若則=；(2)若代數(shù)式的最小值是3，求k的值；(3)已知a、b、c是的三邊長，且滿足下列關(guān)系式：，求c的取值的范圍；(4)已知滿足，試比較代數(shù)式與的大?。?5．閱讀材料利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例如根據(jù)以上材料，解答下列問題．(1)分解因式（利用公式法）：；(2)已知△ABC的三邊長a，b，c，且滿足，求△ABC的最大邊c的取值范圍．(3)已知，，試比較P，Q的大?。?6．閱讀材料：在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，我們知道的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：，常數(shù)項(xiàng)為：．那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：，即一次項(xiàng)為．參考材料中用到的方法，解決下列問題：(1)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為．(2)如果計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求的值；(3)如果，求的值．27．已知張如圖所示的長為，寬為的小長方形紙片，按圖的方式不重疊地放在矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為．設(shè)．(1)用、、的代數(shù)式表示

___________

．(2)當(dāng)?shù)拈L度變化時(shí)，如果始終保持不變，則、應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？(3)在（）的條件下，用這張長為，寬為的矩形紙片，再加上張邊長為的正方形紙片，張邊長為的正方形紙片（都是正整數(shù)），拼成一個(gè)大的正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求拼成的大的正方形的邊長為多少（用含的代數(shù)式表示）？并求出此時(shí)的、的值．28．如圖1，利用兩種不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式：．(1)如圖②，可得等式：______；(2)根據(jù)（1）所得等式，若，，則_____；(3)圖③中的紙片（足夠多）．利用3張邊長為a的正方形，2張邊長b為的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形拼出一個(gè)長方形，那么這個(gè)長方形較長的邊長為______，請您畫出這個(gè)長方形的拼圖．29．閱讀下列文字：我們知道，對于一個(gè)圖形，通過兩種