波函數(shù)和薛定諤方程

同學(xué)們好1上講內(nèi)容：德布羅意公式不確定關(guān)系2微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切地表達(dá)，“波粒二象性”——借用經(jīng)典語(yǔ)言進(jìn)行互補(bǔ)性描述。對(duì)微觀客體的數(shù)學(xué)描述可以脫離日常生活經(jīng)驗(yàn)，避免借用經(jīng)典語(yǔ)言引起的表觀矛盾。量子力學(xué)在“波粒二象性”概念基礎(chǔ)上，建立了包含一套計(jì)算規(guī)則及對(duì)數(shù)學(xué)程式的物理解釋。這是建立在基本假設(shè)之上的構(gòu)造性理論，其正確性由實(shí)踐檢驗(yàn)。第三節(jié)波動(dòng)性和粒子性量子力學(xué)德布羅意、薛定諤：波動(dòng)力學(xué)理論海森堡、約當(dāng)：矩陣力學(xué)理論3一、波動(dòng)性經(jīng)典理論：波動(dòng)即是振動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播波動(dòng)方程：波動(dòng)方程表示了如下特征：1)描述波動(dòng)的特征量為波長(zhǎng)、頻率、波速。

2)波動(dòng)滿足疊加原理，即如果

1、

2是方程的解，其線性組合C1

1+C2

2也是方程的解。3)邊界條件約束下得到相應(yīng)的方程解，對(duì)應(yīng)于各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，駐波對(duì)應(yīng)于定態(tài)。4)平面單色波的解表示波在x從-∞到+∞傳播的行波特征。4二、粒子性經(jīng)典力學(xué)表示的粒子具有如下特征：1)描述粒子運(yùn)動(dòng)的基本物理量是質(zhì)量、大小、位置、速度、能量、動(dòng)量。2)粒子整體運(yùn)動(dòng)遵從牛頓定律。三、微觀粒子波粒二象性的描述由于受不確定關(guān)系約束，需突破經(jīng)典描述方法：1)“波長(zhǎng)、頻率”作為描述波動(dòng)性的特征量。2)“能量、動(dòng)量”作為描述粒子性的特征量。3)建立包含粒子性特征量的概率波波動(dòng)方程——薛定諤方程。5量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。波函數(shù)和薛定諤方程都是量子力學(xué)的基本假設(shè)。第十八章波函數(shù)和薛定諤方程第一節(jié)波函數(shù)與算符一、微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述----波函數(shù)波函數(shù)：描述微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式6例：一維自由粒子的波函數(shù)經(jīng)典描述：沿x

軸勻速直線運(yùn)動(dòng)量子描述：類(lèi)比：?jiǎn)紊矫娌ㄒ欢ㄑ刂本€傳播自由粒子：不受任何其它勢(shì)場(chǎng)或粒子的作用以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，7（取實(shí)部）推廣：三維自由粒子波函數(shù)意義：波函數(shù)確定了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的全部力學(xué)性質(zhì)。8二、力學(xué)量的確定由于波粒二象性，微觀粒子的能量和動(dòng)量只能通過(guò)相應(yīng)的算符作用于波函數(shù)得到。自由粒子動(dòng)量將波函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，再乘以–i?，則有將波函數(shù)對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù)，再乘以i?，則有可見(jiàn)E、px對(duì)應(yīng)著算符作用于波函數(shù)，相應(yīng)的算符為：9同理可得動(dòng)量的其它兩個(gè)分量算符為：可以推知自由粒子的非相對(duì)論動(dòng)能算符為：其中為拉普拉斯算符用算符表示力學(xué)量：力學(xué)量與其相應(yīng)的算符對(duì)應(yīng)亦即，微觀粒子的力學(xué)量只能用算符表示。這是微觀粒子波粒二象性的結(jié)果。非自由粒子，能量=動(dòng)能+勢(shì)能對(duì)應(yīng)算符即哈密頓算符10光柵衍射電子衍射類(lèi)比第二節(jié)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋經(jīng)典物理中波函數(shù)具有描述空間振動(dòng)狀態(tài)的確切意義對(duì)于微觀客體，其狀態(tài)由波函數(shù)完全確定。問(wèn)題：波函數(shù)有什么樣的物理意義？11I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I(mǎi)=0無(wú)光子到達(dá)各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定用I對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述I大電子到達(dá)該處概率大I=0電子到達(dá)該處概率為零I小電子到達(dá)該處概率小光柵衍射電子衍射12

t時(shí)刻，出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比。

t時(shí)刻，粒子出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的概率。

t

時(shí)刻，粒子在空間的概率密度分布。一般,t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處附近某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)的物理意義：13

物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相位)傳播的過(guò)程

概率密度，描述粒子在空間的統(tǒng)計(jì)分布概率幅注意

干涉項(xiàng)144.波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1

歸一化條件對(duì)微觀客體的量子力學(xué)描述：脫離日常生活經(jīng)驗(yàn)，避免借用經(jīng)典語(yǔ)言引起的表觀矛盾，將波粒二象性統(tǒng)一到一起。

標(biāo)準(zhǔn)條件15第三節(jié)薛定諤方程是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一，其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。一、薛定諤方程

一維自由粒子的薛定諤方程由經(jīng)典波動(dòng)方程設(shè)微觀粒子波函數(shù)滿足代入上式得16薛定諤方程對(duì)于質(zhì)量為m的自由粒子，

三維自由粒子薛定諤方程

三維粒子薛定諤方程——存在勢(shì)場(chǎng)17式中，振幅函數(shù)與駐波類(lèi)比1.一維自由粒子的定態(tài)薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程定態(tài)：勢(shì)函數(shù)不隨時(shí)間變化18要求波函數(shù)

(x,t)的模方，只需求振幅函數(shù)

(x)的模方。建立關(guān)于振幅函數(shù)

(x)的方程——振幅方程*振幅函數(shù)19非相對(duì)論考慮自由粒子：勢(shì)函數(shù)*代入得即一維自由粒子的振幅方程20一維定態(tài)薛定諤方程粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，且勢(shì)能不隨時(shí)間變化即一維定態(tài)薛定諤方程得*代入212.

三維定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算符即三維定態(tài)薛定諤方程振幅函數(shù)22求解問(wèn)題的思路：1)寫(xiě)出具