第13次課(3.1矢勢(shì)及其微分方程)

復(fù)習(xí)三、電荷體系在外電場中的能量（相互作用能）1．設(shè)外場電勢(shì)為，場中電荷分布為，體系具有的總能量為：可以證明：因此：+稱為體系的相互作用能，或帶電體系在外場中的能量。2．帶電體系為小區(qū)域時(shí)相互作用能的展開將對(duì)電荷所在小區(qū)域展開為麥克勞林級(jí)數(shù)zyx3．相互作用能的意義：體系電荷集中在原點(diǎn)時(shí)，在外場中的能量；體系等效電偶極子在外場中的能量；體系等效電四極子在外場中的能量。若外場為均勻場4.帶電體系在外場中受到的力和力矩設(shè)W為帶電體系在外場中的靜電勢(shì)能，則帶電體系在外場中受到的力（假定Q不變）以下僅討論和力：相當(dāng)于帶電體系集中在一點(diǎn)上點(diǎn)電荷在外場中受到的作用力若為均勻場電偶極子只在非均勻場中受力。假定在外場作用下不變，設(shè)為與之間的夾角，則

可見即使均勻場，但力矩：總結(jié)第二章的主要內(nèi)容1.靜電場的電勢(shì)

2.微分方程和邊值關(guān)系3．靜電場的能量4.唯一性定理5.分離變量法6.電象法：用假想點(diǎn)電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。7.電勢(shì)的多極展開8、電荷體系在外電場中的能量下一次課交第二章的作業(yè)7.有一內(nèi)外半徑分別為r1

和r2

的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為ε。使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷ρf

，求（1）空間各點(diǎn)的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。r2r1ε作業(yè)答案2）由公式：r2r1ε外球殼上，r=r2，n

從介質(zhì)1指向介質(zhì)2，即介質(zhì)指向真空P2n

=0內(nèi)球殼上，r=r1，n從介質(zhì)1指向介質(zhì)2，即真空指向介質(zhì)，P1n

=08.內(nèi)外半徑分別為r1和r2

的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流jf。導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為μ。求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流r2r1從介質(zhì)1指向介質(zhì)2在內(nèi)表面上,M1=

0在外表面上,M2=

0r2r19.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。12.證明(1)當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。2當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場線曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。第三章靜磁場Staticmagneticfield本章重點(diǎn)：1、矢勢(shì)的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量2、引入磁標(biāo)勢(shì)的條件及磁標(biāo)勢(shì)滿足的方程與靜電勢(shì)方程的比較3、了解A-B效應(yīng)和超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢(shì)解決具體問題§1矢勢(shì)及其微分方程

Vectorpotentialanddifferentialequation一、穩(wěn)恒電流磁場的矢勢(shì)1．穩(wěn)恒電流磁場的基本方程穩(wěn)恒電流磁場：傳導(dǎo)電流（即運(yùn)動(dòng)電荷）產(chǎn)生的不隨時(shí)間變化的磁場?；痉匠踢呏店P(guān)系本節(jié)僅討論情況，即非鐵磁的均勻介質(zhì)。這種情況靜電場和磁場可以分離，不發(fā)生直接聯(lián)系。2．矢勢(shì)的引入及意義靜電場物理意義：（a）與的關(guān)系穩(wěn)恒電流磁場其中S為回路L為邊界的任一曲面沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過由該回路為邊界的任一曲面的磁通量，而每點(diǎn)A無直接物理意義。（b）磁通量只與曲面L的邊界有關(guān)，與曲面的具體形狀無關(guān)（c）物理意義３、矢勢(shì)的不唯一性由A的這種任意性，為了方便，我們可以對(duì)它加上一定的限制條件即輔助條件對(duì)于上式總可以找到一個(gè)A適合.證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解A′的散度為取

為泊松方程的一個(gè)解，就得證。對(duì)A所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。二．矢勢(shì)滿足的方程及方程的解1．滿足的方程（1）穩(wěn)恒電流磁場矢勢(shì)滿足(矢量)泊松方程（2）與靜電場中形式相同（3）矢勢(shì)為無源有旋場2．矢勢(shì)的形式解已知電流密度，可從方程直接積分求解，但一般電流分布與磁場相互制約，因此一般情況需要求解矢量泊松方程。3．的解這正是畢奧--薩伐爾定律通過類比4．的邊值關(guān)系12（a）（b）5．矢量泊松方程解的唯一性定理定理：給定V內(nèi)傳導(dǎo)電流和V邊界S上的或

V內(nèi)穩(wěn)恒電流磁場由和邊界條件唯一確定。三．穩(wěn)恒電流磁場的能量已知均勻介質(zhì)中總能量為1．在穩(wěn)恒場中有

②不是能量密度。能量分布在磁場內(nèi)，不僅分布在電流區(qū)。③

導(dǎo)出過程2.電流分布在外磁場中的相互作用能設(shè)為外磁場電流分布，為外磁場的矢勢(shì)；為處于外磁場中的電流分布，它激發(fā)的場的矢勢(shì)為?？偰芰浚鹤詈笠豁?xiàng)稱為相互作用能，記為，可以證明：例1無窮長直導(dǎo)線載電流I，求磁場的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直