第二次課：微分方程的應(yīng)用

微分方程的應(yīng)用.幾何與物理應(yīng)用一。幾何應(yīng)用題例1.設(shè)曲線L過(guò)點(diǎn)（1,1）曲線上任一點(diǎn)p(x,y)處的切線交x軸于點(diǎn)T，若︱pT︱=︱oT︱求曲線L的方程。（參課本p253例1）例2.光滑曲線L過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（2,3），任取曲線上任一點(diǎn)p(x,y)過(guò)p點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線pA，pB，pA與x軸和曲線L圍成的面積等于pB與y軸和L圍成面積的2倍，求曲線L的方程（參課本p253例2）例3（鴨子過(guò)河）設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A,

河寬,兩岸為平行直線,水流速度為,有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O,設(shè)鴨子(在靜水中)的游速為,且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O,求鴨子游過(guò)的跡線的方程.（參多媒體第二節(jié)例14）二。物理應(yīng)用例4（參多媒體第二節(jié)例4）設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻.試求物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律.例5（參多媒體第二節(jié)例5）在一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來(lái)的按照牛頓冷卻定律開(kāi)始下降．假設(shè)兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)?，并且假定周圍空氣的溫度保持不變，試求出尸體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律．又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是，時(shí)間是下午4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？例6（參多媒體第二節(jié)例6）設(shè)降落傘從跳傘塔下落后,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)速度為零,求降落傘下落速度與時(shí)間的關(guān)系.

例7（參多媒體第二節(jié)例7）有高為1米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米.開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.（元素法）

例8（參多媒體第二節(jié)例8）某車間體積為12000立方米,開(kāi)始時(shí)空氣中含有0.1%的

為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含0.03%的的新鮮空氣,

同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后車間內(nèi)百分比降低到多少（用元素法求解）例9.（多媒體第三節(jié)例6）在一個(gè)石油精煉廠，一個(gè)存儲(chǔ)罐裝8000L的汽油，其中包含100g的添加劑.為冬季準(zhǔn)備，每升含2g添加劑的石油以40L/min的速度注入存儲(chǔ)罐.充分混合的溶液以45L/min的速度泵出.在混合過(guò)程開(kāi)始后20分鐘罐中的添加劑有多少？（元素法）三?？佳性囶}例1（參多媒體考研真題8）例2（參多媒體考研真題13）考研試題主要分為兩種類型：其1是通過(guò)幾何及物理關(guān)系式直接建立方程；其2是用元素法建立關(guān)系式進(jìn)一步建立方程，這是考研的難點(diǎn)例3（參多媒體考研真題9）（雪堆融化問(wèn)題）例4（參多媒體考研真題18）（飛機(jī)降落問(wèn)題）例5（參多媒體考研真題16）（容器倒水問(wèn)題）例6湖泊（參多媒體考研真題2）（