三角形內(nèi)切圓及外接圓

三角形內(nèi)切圓及外接圓三角形內(nèi)切圓及外接圓/三角形內(nèi)切圓及外接圓三角形外接圓半徑的求法及應(yīng)用方法一：R＝ab/(2h)三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商。AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑．求證 AB·AC＝AE·AD．證：連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接BE，則∠ABE＝90°.∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°，Rt△ABE∽R(shí)t△ADC，∴ABAE，ADACAB·AC＝AE·AD方法二：2R＝a/SinA，a為∠A的對(duì)邊在銳角△ABC中，外接圓半徑為R。求證：2R＝AB/SinC證：連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接BE，則∠ABE＝90°.AE＝AB/SinE∵∠C＝∠E，SinC＝SinEAE＝AB/SinC2R＝AB/SinC若C為鈍角，則SinC＝Sin（180o－C）應(yīng)用一、已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的外接圓的半徑。例1已知：如圖，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圓⊙O的半徑r.解析：作出直徑AD，構(gòu)造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC邊上的高AE，用方法一就可以求出直徑AD.解：作AE⊥BC，垂足為E.C設(shè)CE＝x,ED222222222∵AC-CE＝AE＝AB-BE，∴13-x＝15-(14-x)OBA∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12 R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/865∴△ABC外接圓⊙O的半徑r為8.例2已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圓的半徑R.解析：經(jīng)過(guò)判斷三角形為直角三角形，易求得直角三角形外接圓的直徑等于斜邊。應(yīng)用二、已知三角形的二邊長(zhǎng)及其夾角（特別角） ，求外接圓的半徑。例3已知：如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圓⊙O的半徑R.解析：考慮求出角的對(duì)邊長(zhǎng) AB，爾后用方法一或方法二解題 .解：作直徑AD，連接BD.作AE⊥BC，垂足為E.則∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CAE＝∠DAB＝90°－60°＝30°CE＝1AC＝1，AE＝3，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x 3)2

CE DOA B應(yīng)用三、已知三角形的一邊長(zhǎng)二角度或?qū)堑亩葦?shù)（特別角），求它的外接圓的半徑。用方法二例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圓的半徑解從A作AM⊥BC于M，則AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD)2．即52－MD2＝72－(MD＋3)2．得R＝14，則△ABC外接圓面積S＝πR2＝196π．例5如圖3，已知拋物線(xiàn)y＝x2－4x＋h的極點(diǎn)A在直線(xiàn)y＝－4x－1上，求①拋物線(xiàn)的極點(diǎn)坐標(biāo)；②拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；③△ABC的外接圓的面積．解①A(2，－9)；B(－1，0)；C(5，0)．③從A作AM⊥x軸交于M點(diǎn)，則BM＝MC＝3．AM＝9．∴R＝5△ABC外接圓面積S＝πR2＝25π三角形內(nèi)切圓半徑 r的求法∵S△ABC=1/2(a+b+c)rr=2S△ABC/(a+b+c)Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2三角形的內(nèi)切圓和外接圓【知識(shí)要點(diǎn)】1、三角形的外接圓（1）過(guò)三角形三個(gè)極點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，三條邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。三角形的外心到各極點(diǎn)的距離相等．（2）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外面，直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)，外接圓半徑 R c(c為斜邊長(zhǎng))．22、三角形的內(nèi)切圓1）到三角形三條邊距離都相等的圓，叫三角形的內(nèi)切圓，三角形中，三個(gè)內(nèi)角均分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到三條邊的距離相等，內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部．（2）若三角形的面積為

SABC，周長(zhǎng)為

a+b+c,則內(nèi)切圓半徑為

:r

2SABCa b c

，當(dāng)

a,b

為直角三角形的直角邊，c為斜邊時(shí)，內(nèi)切圓半徑ababcr或r2.abc3、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角等于它的對(duì)角．注意：①圓內(nèi)接平行四邊形為矩形；②圓內(nèi)接梯形為等腰梯形．4、兩個(gè)結(jié)論：圓的外切四邊形對(duì)邊和相等；圓的外切等腰梯形的中位線(xiàn)等于腰長(zhǎng)．【典型例題】A一、填空和選擇I·BC（1）一個(gè)三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形必然是 ( )A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、等腰三角形（2）如右圖，I是ABC的內(nèi)心，則以下式子正確的選項(xiàng)是（）A、∠BIC=180-2∠AB、∠BIC=2∠AC、∠BIC=90+∠A/2D、∠BIC=90-∠A/2（3）ABC外切于⊙O，E、F、G分別是⊙O與各邊的切點(diǎn)，則EFG的外心是ABC的。（4）直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么它的外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為．（5）等邊三角形內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑分別為r,R，則r:R=．（6）圓外切等腰梯形底角為60，腰長(zhǎng)為10，則圓的半徑長(zhǎng)為．（7）等邊三角形一邊長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑等于．（8）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑的和高的比是．（9）ABC的內(nèi)切圓⊙I與AB、BC、CA分別切于D、E、F點(diǎn)，且∠FID=∠EID=135，則 ABC為 ．例2．如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC的外接圓于E。求證：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EA。AIDB CE例3．如圖，已知ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點(diǎn)A，BC∥AE，求證：ABC是等腰三角形BA·OCEP例4．已知 ABC三邊長(zhǎng)為6，8，10，則它的內(nèi)心，外心間的距離為【經(jīng)典練習(xí)】一、選擇題1.以下命題中，正確的有（ ）①圓內(nèi)接平行四邊形是矩形 ②圓內(nèi)接菱形是正方形③圓內(nèi)接梯形是等腰梯形 ④圓內(nèi)接矩形是正方形A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2.在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（A．80° B．90° C．100° D．120°

）3.若是一個(gè)直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半徑 r，那么此三角形的面積與其外接圓的面積之比為（ ）A．3B．3C．3D．2424.如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=110°，則∠BCD=（）A．125°B．110°C．55°D．70°AAPADBODOBDCBCC圖3圖1圖25.如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=60°，則∠ABC=（）A．30°B．60°C．120°D．90°︵）6.如圖3，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在A(yíng)D上，則∠BPC為（A．35°B．40°C．45°D．50°7.如圖4，MNPQ中，過(guò)點(diǎn)Q、M的圓與PQ、MN分別訂交于點(diǎn)E、F，以下結(jié)論中正確的有（ ）①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8.如圖5，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD為⊙O的直徑，若∠CBE=50°，則圓心角∠AOC=（）A．50°B．80°C．100°D．130°QEPDOOCMFNAEB圖4圖5二、填空題9．設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，O是△ABC的外心，∠A=80°，則∠BIC=，∠BOC=。10．若三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、13，則其外接圓的直徑長(zhǎng)等于，其內(nèi)切圓的直徑長(zhǎng)為。11．直角三角形的一邊為a，它的對(duì)角是30°，則此三角形的外接圓的半徑是。12．如圖6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，則∠B=。ABFDADEEOOIBCBDCCFA圖6圖7圖813．如圖7，⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F為切點(diǎn)。若∠AOC=120°，則∠OAC=，∠B=；若AB=2cm，則AC=,△ABC的外接圓半徑=，內(nèi)切圓半徑=。14．如圖8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，則∠ADC= 度，∠ACD= 度。15．如圖9，四邊形 ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AE⊥CD，若∠ABC=130°，則∠DAE=

。A DBOOCCEDABP圖9圖1016．如圖10，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P。已知∠A=60°，∠ABC=100°，則∠P= 。【大展身手】一、選擇題1．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（ ）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．三角形有且只有一個(gè)外接圓C．四邊形都有一個(gè)外接圓 D．圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形2．以下命題中的假命題是（ ）A．三角形的外心到三角形各極點(diǎn)的距離相等B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．三角形的外心必然在三角形一邊的中垂線(xiàn)上D．三角形任意兩邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，是這個(gè)三角形的外心3．以下列圖形必然有外接圓的是（ ）A．三角形 B．平行四邊形 C．梯形 D．菱形4．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（ ）A．過(guò)一點(diǎn)A的圓的圓心可以是平面上任意點(diǎn)B．過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓的圓心在一條直線(xiàn)上C．過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓的圓心有且只有一點(diǎn)D．過(guò)四點(diǎn)A、B、C、D的圓不存在5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，則它的外心與極點(diǎn)C的距離為（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm6．等邊三角形的外接圓的半徑等于邊長(zhǎng)的（）倍．A．3B．3C．3D．12327．三角形的外心擁有的性質(zhì)是（）A．到三邊距離相等B．到三個(gè)極點(diǎn)距離相等C．外心在三角形外D．外心在三角形內(nèi)8．對(duì)于三角形的外心，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）A．它到三角形三個(gè)極點(diǎn)的距離相等B．它與三角形三個(gè)極點(diǎn)的連線(xiàn)均分三內(nèi)角C．它到任一極點(diǎn)的距離等于這三角形的外接圓半徑D．以它為圓心，它到三角形一極點(diǎn)的距離為半徑作圓，必經(jīng)過(guò)別的兩個(gè)極點(diǎn)9．在一個(gè)圓中任意引兩條直徑，按次連接它們的四個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形一定是（ ）A．菱形 B．等腰梯形 C．矩形 D．正方形10．以下列圖，圓的內(nèi)接四邊形ABCD，DA、CB延長(zhǎng)線(xiàn)交于P，AC和BD交于Q，則圖中相似三角形有（）CBPA、1對(duì)B、2對(duì)QC、3對(duì)D、4對(duì)AD11．∠DCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，那么必然有（）A、∠DCE+∠A=B、∠