材料力學(xué)：彎曲應(yīng)力教材

5.1純彎曲5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力5.4彎曲切應(yīng)力5.5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)第五章彎曲應(yīng)力5.6提高彎曲強(qiáng)度的措施5.1純彎曲FSM內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力=？5.1純彎曲

純彎曲

(purebending)━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無(wú)剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力。MeM剪力Fs—切應(yīng)力τ彎矩M—正應(yīng)力σ彎曲內(nèi)力5.1純彎曲

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。5.1純彎曲純彎曲變形特征5.1純彎曲橫截面變形后仍為平面，只是繞截面內(nèi)某一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，且仍垂直于變形后的梁軸線。1平面假設(shè)縱向線aa和bb

變?yōu)榛【€，橫向線mm和nn變形后仍為直線，它們發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)并與縱向線和仍正交。5.1純彎曲2縱向纖維假設(shè)

設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)層縱向纖維組成縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長(zhǎng)中間必有一層纖維長(zhǎng)度不變－中性層中性層與橫截面的交線－中性軸梁的彎曲變形實(shí)際上是各橫截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力1變形幾何關(guān)系取坐標(biāo)系如圖，y軸為對(duì)稱軸；z軸為中性軸

。x軸過(guò)原點(diǎn)的橫截面法線?？v向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力2物理關(guān)系縱向纖維只受拉或壓，在比例極限范圍內(nèi)，由胡克定律:純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。故，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律→正應(yīng)力的分布規(guī)律。M中性軸的位置？5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

靜力關(guān)系橫截面上的內(nèi)力系由平衡關(guān)系z(mì)軸（中性軸）通過(guò)截面形心。梁截面的形心連線（軸線）也在中性層內(nèi)，長(zhǎng)度不變。5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力即因?yàn)閥軸是對(duì)稱軸，上式自然滿足。梁的抗彎剛度為梁軸線變形后的曲率，它與梁所承受的彎矩成正比，與梁的抗彎剛度成反比5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系按彎曲變形形狀判斷，凸出一側(cè)受拉，為拉應(yīng)力；凹入一側(cè)受壓，為壓應(yīng)力。彎曲正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)

純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的分布MM與中性軸距離相等的點(diǎn)，正應(yīng)力大小相等；正應(yīng)力大小與其到中性軸距離成正比；

中性軸上,正應(yīng)力等于零反映了截面的幾何形狀、尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響。抗彎截面系數(shù)單位：L35.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

由于推導(dǎo)過(guò)程并未用到矩形截面條件，因而公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對(duì)稱面內(nèi)的情況。公式是對(duì)等直梁得到的。對(duì)緩慢變化的變截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。

純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的適用性5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

常見(jiàn)截面的IZ

和WZ圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面5.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

純彎曲時(shí)最大正應(yīng)力計(jì)算截面關(guān)于中性軸對(duì)稱截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱一些易混淆的概念

對(duì)稱彎曲－對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力時(shí)的受力與變形形式純彎曲－梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)

中性軸－橫截面受拉與受壓區(qū)的分界線形心軸－通過(guò)橫截面形心的坐標(biāo)軸

彎曲剛度EI－代表梁截面抵抗彎曲變形的能力

抗彎截面系數(shù)Wz－代表梁截面幾何性質(zhì)對(duì)彎曲強(qiáng)度的影響中性軸與形心軸對(duì)稱彎曲與純彎曲截面彎曲剛度與抗彎截面系數(shù)5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力工程中常見(jiàn)的平面彎曲是橫力彎曲橫力彎曲時(shí)，橫截面上有切應(yīng)力平面假設(shè)不成立縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力的縱向纖維假設(shè)也不成立實(shí)驗(yàn)和彈性力學(xué)理論的研究都表明：當(dāng)跨度l與橫截面高度h的比值l/h>5時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。彎曲正應(yīng)力公式l/h>5的梁稱為細(xì)長(zhǎng)梁

純彎曲或細(xì)長(zhǎng)梁的橫力彎曲公式適用范圍

橫截面慣性積Iyz=0

彈性范圍內(nèi)l/h比值越大，精確程度越高5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力

最大正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，彎矩是變化的。引入符號(hào)：則有：

抗彎截面系數(shù)

比較拉壓:扭轉(zhuǎn):tWTmaxmax=t5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力常用截面的抗彎截面系數(shù)

矩形截面

圓形截面

截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力例1如圖所示受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁。xMM1Mmax試求：（1）1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力。（2）此截面上的最大正應(yīng)力。（3）全梁的最大正應(yīng)力。（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。解（1）求支反力，畫M圖并求截面彎矩q=60kN/mAB1mL=3m11FRAFRB12120180mm30mmzy5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（2）求應(yīng)力（3）求截面和全梁的最大應(yīng)力12120180mm30mmzy5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（4）求截面的曲率半徑12120180mm30mmzy5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力（1）如橫截面為25a工字梁，求梁上的最大正應(yīng)力（P353)。q=60kN/mAB1mL=3m11FRAFRB例2如圖所示受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁。（2）如已知梁為鋼制工字梁，[]=152MPa求該梁的型號(hào)。（1）由型鋼規(guī)格表查得25a號(hào)工字鋼截面解于是有（2）強(qiáng)度條件要求：由型鋼規(guī)格表查得28a號(hào)工字鋼的Wz為5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力例3解

T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強(qiáng)度。（1）求截面形心（2）求截面對(duì)中性軸zc的慣性矩zcyzy1y25.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力（3）作彎矩圖（4）強(qiáng)度校核MMB截面5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力C截面MM梁滿足強(qiáng)度條件將“T”改為“”是否合理？T