2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案-專題1規(guī)律探索與歸納推理

第二編重點專題突破篇專題一規(guī)律探索與歸納推理縱觀近五年百色中考數(shù)學(xué)試卷，規(guī)律探索型問題是每年必考的題型之一，在選擇題或填空題中出現(xiàn)，其中2020年第17題，2019年、2018年第16題，在填空題中考查數(shù)式規(guī)律；2017年第8題在選擇題中考查數(shù)式規(guī)律．總體難度稍有下降．根據(jù)某類事物的部分對象具有的某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理，它是科學(xué)研究的基本方法之一．規(guī)律探索型問題也是歸納猜想型問題，它所涉及的知識面廣，可以是代數(shù)領(lǐng)域也可以是幾何領(lǐng)域，主要涉及的知識是列代數(shù)式，主要思想方法是從特殊到一般的歸納猜想．解決規(guī)律探索型問題，一般要找出變量的變化規(guī)律，抓住了變量，就抓住了解決問題的關(guān)鍵．解決此類問題的主要方法是觀察、分析、歸納、驗證．一般可把變量和序號n放在一起加以比較，從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．其中有的問題可轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，有的問題具有循環(huán)性規(guī)律，只要找到“循環(huán)節(jié)”，便可發(fā)現(xiàn)其規(guī)律．?dāng)?shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律類問題通常是先給出一組數(shù)或式子，要求通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個一般性的結(jié)論．解決這類題目的關(guān)鍵是找出題目中的規(guī)律，即不變的和變化的，變化部分與序號的關(guān)系．常見數(shù)列規(guī)律?2，4，6，8，10，12，…2n(從2開始的連續(xù)偶數(shù))?1，3，5，7，9，11，…2n－1(從1開始的連續(xù)奇數(shù))?1，4，9，16，25，36，…n2(正整數(shù)平方)?2，4，8，16，32，64，…2n(2的整數(shù)次冪)?－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n(奇負(fù)偶正)?1，－1,1，－1,1，－1，…(－1)n＋1或(－1)n－1(奇正偶負(fù))【例1】(2021·銅仁中考)觀察下列各項：1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，3eq\f(1,8)，4eq\f(1,16)，…，則第n項是__n＋eq\f(1,2n)__．【解析】根據(jù)已知可得出規(guī)律：第一項：1eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,21)，第二項：2eq\f(1,4)＝2＋eq\f(1,22)，第三項：3eq\f(1,8)＝3＋eq\f(1,23)，…，從而可以得出第n項．本題屬于數(shù)字類規(guī)律問題，根據(jù)已知各項的規(guī)律得出結(jié)論是解決此類題目的關(guān)鍵．【例2】(2020·百色一模)觀察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，2－eq\f(2,5)＝eq\f(8,5)，3－eq\f(3,10)＝eq\f(27,10)，4－eq\f(4,17)＝eq\f(64,17)，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，則第20個等式為__20－eq\f(20,401)＝eq\f(8000,401)__.【解析】根據(jù)題意可知，這列等式的左邊的被減數(shù)是從1開始的連續(xù)整數(shù)，減數(shù)是一個分?jǐn)?shù)，并且分子和被減數(shù)相同，分母是被減數(shù)的平方加1；右邊也是一個分?jǐn)?shù)，分子是被減數(shù)的立方，分母和減數(shù)的分母相同，由此可寫出第20個等式為：20－eq\f(20,202＋1)＝eq\f(203,202＋1)，最后化簡即可．1．按一定規(guī)律排列的單項式：a，－2a，4a，－8a，16a，－32a，…，則第n個單項式是(A)A．(－2)n－1aB．(－2)naC．2n－1aD．2na2．(2020·百色二模)小說《達·芬奇密碼》中的一個故事里出現(xiàn)了一串神秘排列的數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，則這列數(shù)的第8個數(shù)是__21__.3．觀察下面由※組成的圖案和算式，解答問題：eq\a\vs4\al(,)1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n＋3)＝__(n＋2)2__．圖形規(guī)律圖形規(guī)律類問題主要涉及圖形的組成、分拆等過程，解答此類問題時，要將后一個圖形與前一個圖形進行比較，明確哪部分發(fā)生了變化，哪部分沒有發(fā)生變化，分析其聯(lián)系和區(qū)別，有時需要多畫出幾個圖形進行觀察，有時規(guī)律是循環(huán)性的，在歸納時要運用對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想．【例3】觀察下列砌鋼管的橫截面圖：則第n個圖的鋼管數(shù)是__eq\f(3,2)n2＋eq\f(3,2)n__(用含n的式子表示).【解析】本題可先依次列出n＝1，2，3，…時的鋼管數(shù)，再根據(jù)規(guī)律依次類推，可得出第n個圖的鋼管數(shù)．第1個圖的鋼管數(shù)為1＋2＝3＝3×1；第2個圖的鋼管數(shù)為2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)；第3個圖的鋼管數(shù)為3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4個圖的鋼管數(shù)為4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次類推，第n個圖的鋼管數(shù)為3×(1＋2＋3＋4＋…＋n)＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(3,2)n.4．(源于滬科七上P83)在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)(n)和芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當(dāng)n＝11時，芍藥的數(shù)量為(B)A．84株B．88株C．92株D．121株5．(2021·遂寧中考)下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第__20__個圖形共有210個小球．6．下圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第n個圖案中有m個涂有陰影的小正方形，那么m與n的函數(shù)關(guān)系式為__m＝4n＋1__．eq\a\vs4\al(與坐標(biāo)有關(guān)的規(guī)律)與坐標(biāo)有關(guān)的規(guī)律類問題要求探索圖形在運動過程中的規(guī)律，通常以平面直角坐標(biāo)系為載體探索點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．解答時，應(yīng)先寫出前幾次的變化過程，并將相鄰兩次的變化過程進行比照，明確哪些地方發(fā)生了變化，哪些地方?jīng)]有發(fā)生變化，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而使問題得以解決．【例4】如圖，直線l為y＝eq\r(3)x，過點A1(1，0)作A1B1⊥x軸，與直線l交于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點A3……按此作法進行下去，則點An的坐標(biāo)為(__2n－1，0__).【解析】∵直線l為y＝eq\r(3)x，點A1(1，0)，A1B1⊥x軸，∴當(dāng)x＝1時，y＝eq\r(3)，即B1(1，eq\r(3)).∴tan∠A1OB1＝eq\r(3).∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°.∴OB1＝2OA1＝2.∵以原點O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2，∴A2(2，0).同理可得A3(4，0)，A4(8，0)，…，∴An(2n－1，0).7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1，1)，B(－1，－2)，C(3，－2)，D(3，1)，一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環(huán)爬行，問第2021s瓢蟲所在點的坐標(biāo)是(A)A．(3，1)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(3，－2)8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角頂點P1(3，3)，P2，P3，…均在直線y＝－eq\f(1,3)x＋4上，設(shè)△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面積分別為S1，S2，S3，…，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，S2022＝__eq\f(9,42021)__．1．如圖，第1個圖形中有1個正方形，按照如圖所示的方式連接對邊中點得到第2個圖形，圖中共有5個正方形；連接第2個圖形中右下角正方形的對邊中點得到第3個圖形，圖中共有9個正方形；按照同樣的規(guī)律得到第4個圖形、第5個圖形……，則第7個圖形中共有正方形(B)A．21個B．25個C．29個D．32個2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO沿x軸向右滾動到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次進行下去，若已知點A(4，0)，B(0，3)，則點C100的坐標(biāo)為(B)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1200，\f(12,5)))B．(600，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(600，\f(12,5)))D．(1200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序數(shù)對：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此規(guī)律，第11對有序數(shù)對為__(121，122)____．4．觀察下列一組數(shù)：－eq\f(2,3)，eq\f(6,9)，－eq\f(12,27)，eq\f(20,81)，－eq\f(30,243)，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第n個數(shù)是__(－1)n·eq\f(n（n＋1）,3n)__．5.(2021·眉山中考)觀察下列等式：x1＝eq\r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＝eq\f(3,2)＝1＋eq\f(1,1×2)；x2＝eq\r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＝eq\f(7,6)＝1＋eq\f(1,2×3)；x3＝eq\r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＝eq\f(13,12)＝1＋eq\f(1,3×4)；……根據(jù)以上規(guī)律，計算x1＋x2＋x3＋…＋x2020－2021＝__－eq\f(1,2021)__．6．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成