一題多解的理論與實踐

一題多解的理論與實踐

1變式研究與問題變式近幾十年來，中國大陸和香港科學家（如顧建生、黃榮錦、易林峰、顧啟源、邱才（2002）、顧冷元、黃榮錦、馬頓（2005）、聶碧凱（2004）、鄭玉新（2007）、張建宇（2007）、孫旭華（2007）、黃益英、林志忠、孫旭華（2006）、胡士泰（2007）等達成了共識。變向（東、西、北和南同時研究變向，雙方都同意研究結(jié)果相似。這項工作通常指的是“變中發(fā)現(xiàn)不變元素”的教育，反映了中國數(shù)學教育的一些合理地方[1.10]。變異（varia）很快成為數(shù)學教育工作者的研究熱點，上述相關(guān)研究也取得了很大的進展。事實上，變向是數(shù)學教育研究的重要背景。主要原因是，變向是通過“變中檢測變量”學習抽象和“以不變變”學習公理化，并強調(diào)數(shù)學教育的中心問題“是抽象”和“公理化”?！肮砘焙汀俺橄蟆笔菙?shù)學教育的難題。由于數(shù)學的視覺，變向研究保證了數(shù)學教育和學習的地位。由于“公理化”和“抽象化”的促進，變向研究已成為“數(shù)學教育”的重要組成部分。在中國，變向教育主要從教育的角度研究數(shù)學知識的有效傳播方法。另一方面,變式也一直是學習領(lǐng)域的主要陣地,如朱新明、李亦菲、朱丹(1997),司馬賀(1986),Copper&Sweller(1987),Anderson(1989)等在認知心理學理論的基礎(chǔ)上,通過“變中發(fā)現(xiàn)不變”和“以不變應(yīng)萬變”來研究“遷移”是否發(fā)生、“推理”是否發(fā)生[12~15].變式研究因有助于“遷移”和“推理”學習而成為“學習領(lǐng)域”重要部分.其中,以Marton為首的歐洲現(xiàn)象圖示學習理論學派,特別注意“變與不變”的變異對教學的啟示,出現(xiàn)系列研究[16~17].該學派主要成果之一:現(xiàn)象圖示學的變異理論(TheoryofVariation)從學習領(lǐng)域,解釋如何設(shè)置“變異空間”,有助于區(qū)分變中的不變要素.變異理論主要從學習角度,關(guān)注了“變易”設(shè)計之學習發(fā)生條件.問題與問題之間的關(guān)系,沒有作為變式研究主要對象.然而,這些變式研究,卻都沒有從“問題”這個主要數(shù)學課程載體,有系統(tǒng)地研究課程設(shè)計.為什么從分析問題入手呢?“問題”無疑是數(shù)學及數(shù)學學習的一個重心.Halmos(1980)也指出問題是“數(shù)學的中心”和“數(shù)學課程的中心”.事實上,數(shù)學教學不可能完全從概念到概念、從公式到公式、從定理到定理,概念、公式、定理都需要借助“問題”這個載體,而間接地通過教學,實現(xiàn)對概念、公式、定理的理解,問題作為數(shù)學課程的中心最直接的載體,卻沒有作為變式研究的主要對象.雖然很多研究更多地關(guān)注單個問題,如何設(shè)計開放題,已經(jīng)有20年研究歷史.在數(shù)學問題解決研究中,問題與問題之間的變化關(guān)系,并未受到很好地關(guān)注.事實上,學生往往不是解一道題,而是解幾道題,那么,題與題的關(guān)系也決定了變化了什么,什么是不變的,學生可能從題與題之間不變的關(guān)系中,再次學習抽象化,題與題之間的關(guān)系變化,決定了學生學的內(nèi)容和方式,然而題與題的關(guān)系,一直沒有作為變式研究的主要對象.一般來說,中國內(nèi)地數(shù)學課程中,“一題多變”、“一題多解”(本文將主要論述“一題多解”,“一題多變”論述詳見文),若看作問題變式(問題變化),占教學和課后練習的相當比重,是中國內(nèi)地課程的主要特征之一,也是課后練習的主要合理要素之一.對于中國內(nèi)地研究者來說,這是最熟悉、最常見的教學理念,乃至于容易“熟視”而“無睹”.(一般大陸的教師,通常不會認為問題變式有何特別,主要因為站在畫面里,缺乏距離和視角,難以看清楚畫面.)下面是中國教材進行“一題多解”的問題變式的實例(如圖1):學生計算13-8有以下“一題多解”的解法:10-8=2,再用2+3=5;也可以10-5=5,再算5+3=8;還可以由8+5=13,得到13-5=8,13-8=5.而美國教材出現(xiàn)“一題多解”機會很少,例如圖2.同樣計算13-8,往往是“一題一解”的.例如,梯形面積中,中國教材會“自然地”呈現(xiàn)“一題多解”,如圖3:出現(xiàn)了3種證明梯形公式的方法:把梯形分為兩個三角形,求和;把梯形分為一個平行四邊形和一個三角形,求和;把兩個梯形并為一個平行四邊形.美國教材Exploringmathematics《探索數(shù)學》則非?！白匀坏亍背尸F(xiàn)“一題一解”.弗朗西斯是一個木工,他把兩塊全等的梯形放在一起,形成一個平行四邊形(如圖4),從而算得一個梯形的面積.中國課程常常采用一題多解,而美國課程出現(xiàn)“一題多解”機會較少,這個發(fā)現(xiàn)具有普遍意義.我們猜想“一題多解”可能是中國大陸數(shù)學課程優(yōu)勢之一,前研究便是基于這個考慮,我們分析了“一題多解”和“一題多變”的問題變式實踐,并嘗試把它提升為課程設(shè)計的框架,即螺旋變式課程設(shè)計.以分數(shù)除法、速度、體積的小學階段的教材設(shè)計為例進行設(shè)計,并在香港21個班級進行了實驗,實驗效果顯著.本文將嘗試大學階段的螺旋變式課程理論的實踐,并進一步探討“一題多解”作為“理論指導”的效果.2對繼承性知識的反饋三角形中位線定理是一個基礎(chǔ)定理.但多數(shù)教材都是簡單推導,引出結(jié)論,然后就運用定理進行問題證明,忽視定理的來源和推導,顯然對后繼課程的學習存在負面影響.參與本研究的14名澳門大學教育學院學生,數(shù)學基礎(chǔ)較內(nèi)地學生偏弱.教學時,我們鼓勵學生用自己的方法“一題多解”推導三角形中位線定理,在黑板上寫出并講解他們的解法,并以他們的名字命名解法.然后,不斷鼓勵學生給出新方法.3全等三角形運動學中點和中點以下是學生在課堂的現(xiàn)場解法,顯示了他們非凡的數(shù)學創(chuàng)造能力,學生對三角形中位線定理的理解,富有創(chuàng)意.具體介紹如下:證明法一:清法(如圖5).評注:這是最簡單直接利用相似的方法,幾乎兩步證畢,方法最簡潔而優(yōu)雅.證明法二:賢法(如圖6).三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.已知:△ABC,D、E分別為AB、AC的中點.證:連結(jié)BE、CD,其交點O就是△ABC的重心,由重心定理可以得出:所以可得△DOE∽△COB.由相似三角形可以得出以下結(jié)論:證畢.評注:這是簡單直接利用相似的方法,幾乎兩步證畢,方法簡潔、精練.證明法三:宇法(如圖7).已知:在△ABC中,D、E分別是AB和AC的中點.求證:DE//BC,證明:(面積法)連結(jié)BE和CD.∵CD是△ABC的中線,∴DE//BC.另一方面,ED是△ABE的中線,∴△BDE和△BCE等高,從而,評注:這是簡單直接利用面積的方法,幾乎兩步證畢,方法簡約而別致.證明法四:嬋法(如圖8).已知:DE是△ABC的一條中位線.求證:DE//BC且證明:延長DE到F,使DE=EF,連結(jié)CF.因為∠AED=∠CEF,〈對頂角〉DE=EF,AE=EC,〈E為AC的中點〉所以△ADE≌△CFE.〈邊角邊〉因為∠DAE=∠FCE,〈全等三角形,對應(yīng)角相等〉所以AD//FC,〈內(nèi)錯角相等,兩直線平行〉且AD=FC.〈全等三角形,對應(yīng)邊相等〉又因為AD=DB,且AD//DB,所以BD//FC,且BD=FC.又因為DE//DF,且所以DE//BC且評注:這是利用作三角形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法簡單.證明法五:峰法(如圖9).已知:AD=DB,AE=EC.求證:DE//BC,作AF垂直BC,DG垂直BC,EH垂直BC.評注:這是作3條高,得到3個矩形,利用全等三角形性質(zhì)和矩形方法,方法簡單易明.證明法六:柱法(如圖10).己知:D、E分別為△ABC上AB邊及BC邊的中點.求證:DE//BC且證明:延長DE至F,使EF=DE,連結(jié)AF,FC,CD,因為AE=CE,DE=EF,所以四邊形ADCF為平行四邊形,因為D為AB中點,且BD//FC,即AD//FC,所以BCFD為平行四邊形,證明法七:威法(如圖11).已知:△ABO,C為OA的中點,D為BA的中點.求證:CD平行于OB且等于OB的一半.證明:設(shè)點的坐標:則點C、D的坐標為:即CD等于OB的一半.又OB所在的直線斜率為0,故CD平行OB,證畢.評注:這是最簡單翻譯坐標,通過解析幾何的方法,幾乎兩步證畢,方法簡潔而漂亮.證明法八:斌法(如圖12).已知:△ABC中,AD=BD、AE=EC.求證:DE//BC且證:(1)過C點作CF平行AB,過A點作AF平行BC,CF和AF交于F,且G點為CF的中點.(作法)(2)因為ABCF為一平行四邊形(作法),BAB=FC,AD=BD,G點為CF的中點,則AD=FG.(3)所以ADGF為一平行四邊形(AD=FG,AD//FG).(4)同理BDGC為一平行四邊形.(5)得AF//BC//DG,DG=BC=AF.(6)因為∠AED=∠CEG,(7)所以三角形ADF和三角形CGF為全等三角形.(9)(BDGC為一平行四邊形).評注:這是利用作平行四邊形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法稍繁.證明法九:浩法(如圖13).已知:△ABC,DE為AB、AC邊上的中點.求證:,且ED//BC.證明:過E點作AB的平行線MN,過A點作BC的平行線AM,則四邊形AMNB為平行四邊形.(作法)∴AM平行BN,即AM平行BC,∴三角形AME和三角形CNE全等(AAS),即AM=NC,∴AB=MN,且四邊形DENB和AMED也為平行四邊形,即DE//AM//BC,即.評注:這是利用作平行四邊形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法和證法三類似,稍繁.證明法十:強法(如圖14).已知:△ABC,AD=DB,AE=EC.求證:DE//BC,.證:設(shè)A(0,0),AD=(x1,y1),AB=(x2,y2),AE=(x3,y3),AC=(x4,y4),∵AD=DB,AE=EC,(已知)∴DE//BC.評注:這方法和上面類似,翻譯坐標,通過解析幾何的方法,兩步證畢,方法簡潔.證明法十一:豪法.命題:已知D、E分別為△ABC的中點,試求證DE//BC且作法:如圖15,作線段AB,AC的垂直平分線,垂足分別為D、E,且交點為O.作線段AD、AE的垂直平分線,垂足分別為D′,E′,且交點為O′.連結(jié)OD、OE、OB、OC.證明:考慮四邊形AD′O′E′及四邊形ADOE.顯然,4組對應(yīng)內(nèi)角相等,得知它們是相似四邊形,而且A、O′、O共線.再考慮△AD′O′及△ADO,顯然,D′O′平行DO,則3個對應(yīng)內(nèi)角相等,得知它們是相似三角形,由于O′、O分別為△ADE及△ABC的外心,構(gòu)造△ADE及△ABC的外接圓,另外,由于△O′EA與△OBC為有公共底角的等腰三角形,評注:該方法不構(gòu)造任何與三角形邊的平行線來完成證明方法,利用了外心定理,兩次利用相似性質(zhì),方法較其它方法較繁.學生課堂解答情況見圖16至圖19.總體而言,我們認為前7種方法,都值得重視,因為這些方法都不超過4步,方法既精煉、簡潔又優(yōu)雅!其中,證明法一:清法是最簡單直接利用相似的方法,兩步證畢,方法最簡潔而漂亮,不添任何輔助線.證明法二:賢法直接利用相似的方法.證明法三:宇法直接利用面積比的方法,兩步證畢,方法既簡潔又優(yōu)雅.證明法四:嬋法利用作三角形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法簡單,是一些教科書的方法.證明法五:峰法作高,得到矩形,借助全等性質(zhì),方法簡單、明了.證明法六:柱法是簡單直接利用平行四邊形的判定和性質(zhì),兩步證畢,也是一些教科書的方法.證明法七:威法,簡單翻譯坐標,通過解析幾何的方法,方法既簡潔又具普遍意義.事實上,很多平面幾何定理,都可以通過解析幾何的方法重新證明.證明法八(斌法)、證明法九(浩法)、證明法十(強法)、證明法十一(豪法)略微繁瑣,但能夠保持獨立思考,積極探索的精神仍然可佳.我們發(fā)現(xiàn)每個學生都在尋找自己的方法,對中位線定理重新迸發(fā)證明的激情,兩個小時課堂時間,學生非常踴躍地展示自己的解法,每個學生深深陶醉在發(fā)現(xiàn)證明的喜樂之中,他們的解法也顯示不小的創(chuàng)造能力.更為重要的是,學生通過參與公式的證明,感受到原造數(shù)學定理證明的源動力.整個教學過程,學生對三角形中位線定理的推理深深著迷、令人難忘.而不是像一開始,直接按照記憶,書寫教科書的證明思路.“一題多解”是中小學老師較為常用的教學方法,幾乎人人熟悉,但我們發(fā)現(xiàn),教師只是下意識地偶爾使用.當我們升華為理論層面,去指導教學實踐,發(fā)現(xiàn)原來實踐可以走得更遠.14名普通的澳門大學生能給出十多種三角形中位線定理的證明方法,并對中位線定理證明樂此不彼,深深改變了他們數(shù)學學習的態(tài)度,這一事例說明值得我們重新思考“一題多解”理論和實踐價值.4題多解與“一題多解”“一題多解”的理論和實踐價值在哪里?下面通過“一題多解”的“效果真實而有效”、“數(shù)學方法體系建構(gòu)”、“實踐之根”、“本土之脈”等理論和實踐特質(zhì)及在中國“應(yīng)用的局限性”幾方面探討“一題多解”作為一種數(shù)學教學方法的理論和實踐價值,探討“一題多解”升華為理論的現(xiàn)實意義,并介紹以“一題多解”、“一題多變”之問題變式為實踐基礎(chǔ)的螺旋變式課程設(shè)計模型.“一題多解”的教學實踐,是否值得從實踐層面升華為指導教學的理論層面?效果真實而有效.理論的價值在于應(yīng)用的生命力,在于可立即實踐,真實地應(yīng)用于課堂,產(chǎn)生良好效果.澳門大學的普通學生,也能在短短的一節(jié)課,重新復習整合原有知識,現(xiàn)場通過自己的思維,創(chuàng)造這些不普通的數(shù)學證明,方法個個簡潔優(yōu)雅.沒有這節(jié)課,學生對中位線定理證明的理解仍會局限于原來教材的思路,這說明“一題多解”直接用于普通課堂教學可行,效果真實而“卓越”,是扎根課堂腳踏實地的“鮮活”理論,而不是空的模型.當“一題多解”從實踐層面升華為指導教學的理論層面,我們發(fā)現(xiàn)學生對數(shù)學定理有全新的認識,我們曾多次實踐,每次效果都很顯著,數(shù)學實踐可以走得更遠,理論的指導意義更鮮明.數(shù)學方法體系建構(gòu).“一題多解”表面呈現(xiàn)多個解題方法,深層意義上,通過方法的比較和連接,更為廣義地建構(gòu)數(shù)學方法體系.本研究中,中位線定理證明的本質(zhì),通過各個位置的平移、旋轉(zhuǎn)、解析幾何、相似、重心等角度得以深化,不斷重新建立一個中位線定理證明的方法體系.反過來說,認知結(jié)構(gòu)中各個方法孤立,缺乏比較和連接,不可能建立好的數(shù)學方法結(jié)構(gòu),不可能建立好的數(shù)學理解.我國由于受應(yīng)試教育制度影響,重視解題思維訓練、重視技術(shù)的傳授,使得“一題多解”(“一題多變”、“多題一解”可看為“問題變式”的特例,我們將后文陳述.)成為中國數(shù)學教與學中“問題變式”外在表現(xiàn)策略之一,“一題多解”是中小學老師較為常用的教學方法,幾乎人人熟悉,中國的數(shù)學教學處處呈現(xiàn)這個基本特性的“細胞”,處處呈現(xiàn)這個基本特性的“單位”,處處呈現(xiàn)這個基本特性的“結(jié)構(gòu)”.這種問題變式之目的在于:使學生原有的間斷的、瑣碎的活動經(jīng)驗成為一個多角度的有機的方法體系的整體,融會貫通“數(shù)學方法結(jié)構(gòu)”的網(wǎng)絡(luò),在課后、課內(nèi)扮演著“促進解題方法的深化、廣化”角色,這些可看作中國數(shù)學教學的小策略,然而這個“一題多解”問題變式卻有普遍意義.任何數(shù)學方法都可以借助問題變式,使得方法理解得以向深度和廣度拓展,有助于獲得“深、廣、透的數(shù)學方法結(jié)構(gòu)”體系,數(shù)學方法應(yīng)有的靈活度,推廣到全部數(shù)學方法認知,則是一種數(shù)學教學的大智慧.實踐之根.教育的繼承和發(fā)展,需從理論到實踐,再從實踐升華到理論的反復,周而復始地發(fā)展,極少“無中生有”的理論和實踐,得以長期存活發(fā)展.大多數(shù)心理學、教學論、思辨哲學研究領(lǐng)域的研究成果,并不能直接應(yīng)用到課堂,主要因為“理論”是從“實驗室”獲取的理論,本身限制于“個體水平”、“實驗室條件”,而不能推廣到教學的“群體水平”.理論一定要從實踐中來,課程理論一定要從課程實踐中來,而不是來自實驗室,從實踐中來的課程理論,才更“自然”,有了“實踐之根”,更有存在課堂實踐的“生命力”.本土之脈.文革以后,中國教育改革一直學習前蘇聯(lián)、學美國、學德國、學日本,大部分教改往往曇花一現(xiàn),而難以持續(xù)發(fā)展,其中原因之一是“不服水土”,不符合本民族自己的歷史、社會、文化的“土壤”.“一題多解”是教材和教學“自然”呈現(xiàn)的經(jīng)驗,是“中國本土已有的有效經(jīng)驗之一”.因此,“一題多解”作為實踐源泉,更具中國民族的數(shù)學教學文化特色.有“本土之脈”,才有長期存活于本土文化的土壤的可能.更系統(tǒng)地,“一題多解”有廣泛指導日常教學的可能.“一題多解”對于中國內(nèi)地研究者來說,并不新鮮,這最熟悉、常見的教學理念,乃至于容易“熟視”而“無睹”,也因為未升華為理論的高度,教學中就會偶爾用,不能一貫地經(jīng)常廣泛地指導教學實踐.在中國教學與課程中,也很少用來推導定理公式,這次“一題多解”的實踐,大學生對一道很簡單的三角形中位線定理推導有了新的認識,學生深深感受到了數(shù)學創(chuàng)造的樂趣,把握了數(shù)學創(chuàng)新的境界,我們看到學生從未這么深透地理解三角形中位線定理,學生對三角形中位線定理從未有這么濃厚的興趣.這一經(jīng)驗也說明,一題多解值得讓更多教師很多地使用、更系統(tǒng)地使用、更廣泛地指導日常教學,而不是無意識、潛意識地偶爾實踐.應(yīng)用的局限性.自古以來,中國文化強調(diào)從先記憶后練習,即黃毅英先生所說的“入法”到“出法”的學習模式.通過中國的書法學習的模式(臨帖、習帖、超(越)帖),中國的武術(shù)學習的模式(拜師、習武、出徒),提出“入法到出法”之儒家文化圈的學習“風格”.事實上,中國的繪畫、刺繡、陶藝等其它藝術(shù)學習也均強調(diào),從模仿到自我創(chuàng)新的“入法到出法”之學習模式,華人社會各類學習,或明或暗,也強調(diào)“例子”(榜樣)為記憶效法對象,進而帶動理解的“入法到出法”之模式.例如,《九章算術(shù)》——世界上最早的印刷本數(shù)學教科書,把所有題歸為《粟米》、《盈不足》等9章206道例題.以“例題—解術(shù)—習題”,反映了中國文化歷史上所認同的學習的模式,《九章算術(shù)》突出強調(diào)從“例題”把握精髓,而逐步理解應(yīng)用的過程.將《九章算術(shù)》和《幾何原本》相比較可以看出,中國古代數(shù)學學習“例中學”的特征體現(xiàn)得非常清晰.這里,對比西方強調(diào)通過“演繹”出發(fā),中國文化數(shù)學學習模式更強調(diào)從“例子”出發(fā);對比西方強調(diào)通過“做中學”,中國文化學習模式更強調(diào)從入法到出法的“例中學”之強調(diào)“模仿記憶”為始,實質(zhì)上,把自由思考的機會變?yōu)榱恕坝洃浤７隆笨臻g.雖然“一題多解”在中國教學實踐較為普遍,但“一題多解”大多用于練習鞏固,較少用于定理公式的證明、例題教學.“一題多解”在中國大陸存在極大應(yīng)用“局限性”.定理公式的證明,例題教學“一題多解”大有發(fā)展空間.綜上所述,“一題多解”作為問題解法變式,是長期存活于中國本土文化土壤的中國數(shù)學教學的小策略,但任何數(shù)學內(nèi)容都可以借助問題變式,使得方法理解得以深化和廣化,推廣到全部數(shù)學方法體系建構(gòu),則是一種數(shù)學教學的大智慧.由于中國數(shù)學教師較少用于例題教學、定理證明,練習鞏固中又是無意識、潛意識地偶爾實踐,存在應(yīng)用的“局限性”,我們認為“一題多解”這種可扎根課堂腳踏實地的“鮮活”實踐,有必要把它理論化,我們試圖把這種“本土技巧”(“土法”)外顯化、理論化,使之成為穩(wěn)定可見的“課程與教學設(shè)計”的理論,以便更好地繼承發(fā)揚這個問題變式之中國數(shù)學教學優(yōu)良傳統(tǒng).什么是螺旋變式課程設(shè)計理論?前研究便是基于這個考慮,我們分析了“一題多解”和“一題多變”,這一中國內(nèi)地數(shù)學課程中較為常用的教學實踐之合理元素(有時從問題角度,把問題變式看為一組變式題組.),及其在教學中扮演的角色、結(jié)構(gòu)和功能,針對根據(jù)這個具有廣泛實踐基礎(chǔ),參照了東方青浦課堂教學實踐和西方變異理論,結(jié)合了數(shù)學和數(shù)學學習過程的本質(zhì),歸納出螺旋變式課程設(shè)計模型,強調(diào)有系統(tǒng)地“變”,利用問題變式,“結(jié)構(gòu)”教學,實現(xiàn)概念連接,從而達成知識與方法的“深、廣、透”設(shè)計(螺旋變式課程設(shè)計模型,強調(diào)問題變式的3個部分:水平部分表面重復部分,垂直部分(增加了概念變化,增加了認知負荷),數(shù)學結(jié)構(gòu)“中心軸”.“三者”圍繞數(shù)學結(jié)構(gòu)“軸”發(fā)展,導致螺旋式發(fā)展問題空間.加強了從問題的表面特征區(qū)分到問題的結(jié)構(gòu)特征區(qū)分.圍繞“變中發(fā)現(xiàn)不變”來學習抽象化和“以不變應(yīng)萬變”來學習公理化的設(shè)計理念,以分數(shù)除法、速度、體積教材設(shè)計為例進行設(shè)計,并在香港21個班級進行實驗,實驗效果顯著.螺旋變式課程設(shè)計模型,是基于中國數(shù)學教學實踐的“揚長避短”的模型.主要根據(jù)中國數(shù)學教學中,自然地使用“問題變式”實踐策略:通過