《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（何文閣） 第五章教案 5.2一階微分方程及其應(yīng)用

課題一階微分方程及其應(yīng)用課時(shí)1課時(shí)（45min）總40課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解可分離變量的微分方程并會(huì)求解。（2）掌握一階線性微分方程的求解及其應(yīng)用。思政育人目標(biāo)：能夠意識(shí)數(shù)學(xué)在整個(gè)生活中的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)解決生活實(shí)際問(wèn)題的妙處，培養(yǎng)熱愛學(xué)生熱愛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，樹立探究意識(shí)，使其能激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維能力教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：可分離變量的微分方程，一階線性微分方程（齊次和非齊次）的解教學(xué)難點(diǎn)：一階微分方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)→→→傳授新知（20min）→→強(qiáng)化訓(xùn)練（10min）→課堂小結(jié)（3min）→布置作業(yè)教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家掃描二維碼學(xué)習(xí)有關(guān)一階微分方程的解的知識(shí)?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過(guò)課前任務(wù)，使學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)的重要性，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問(wèn)題導(dǎo)入（4min）【教師】提出以下問(wèn)題：一階可微，n階可微的概念是怎樣的？【學(xué)生】思考、舉手回答通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（20min）【教師】通過(guò)學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)知識(shí)點(diǎn)可分離變量的微分方程?【教師】提出可分離變量的微分方程的定義定義1形如的微分方程稱為可分離變量的微分方程．?【學(xué)生】聆聽，理解?【教師】提出可分離變量的微分方程的解題步驟可分離變量的微分方程的解法如下．（1）對(duì)原方程分離變量，化成可分離變量的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）對(duì)方程兩邊同時(shí)求不定積分，即．（3）計(jì)算不定積分，設(shè)，分別為，的一個(gè)原函數(shù)，則有．這就是可分離變量的一階微分方程的通解．?【學(xué)生】聆聽，理解?【教師】講解例題例1求微分方程的通解．例2求微分方程滿足條件的特解．例3求微分方程的通解．?【學(xué)生】聆聽，理解，演算知識(shí)點(diǎn)一階線性微分方程?【教師】根據(jù)課本講解定義2形如 （5-11）的方程稱為一階線性微分方程．當(dāng)時(shí)，式（5-11）稱為一階非齊次線性微分方程；當(dāng)時(shí)，方程 （5-12）稱為對(duì)應(yīng)于式（5-11）的一階齊次線性微分方程．?【學(xué)生】聆聽、理解、記錄，知識(shí)點(diǎn)一階線性微分方程的解法及一階非齊次線性微分方程的解法?【教師】根據(jù)課本講解1．一階齊次線性微分方程的解法將一階齊次線性微分方程分離變量后，得，兩邊積分，得，于是方程的通解為（），（5-13）其中，表示的一個(gè)原函數(shù)，為任意常數(shù)．2．一階非齊次線性微分方程的解法根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)特點(diǎn)，把式（5-12）通解中的任意常數(shù)變?yōu)榈奈粗瘮?shù)，然后求出，使之滿足式（5-11）．設(shè)式（5-11）的通解為，對(duì)其求導(dǎo)，得，將代入式（5-11），經(jīng)整理后，得，兩邊積分，得．所以，式（5-11）的通解為．（5-14）上述通過(guò)把對(duì)應(yīng)的一階齊次線性微分方程通解中的任意常數(shù)改為未知函數(shù)，然后求出一階非齊次線性微分方程通解的方法，稱為常數(shù)變易法．?【學(xué)生】聆聽、理解、記錄，?【教師】講解例題講解例4求方程的通解．例5求微分方程滿足條件的特解．?【學(xué)生】聆聽例題，演算例題，同桌對(duì)比計(jì)算結(jié)果，提高計(jì)算能力知識(shí)點(diǎn)一階線性微分方程的應(yīng)用?【教師】學(xué)習(xí)一階線性微分方程應(yīng)用時(shí)的步驟在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，許多實(shí)際問(wèn)題都可以歸結(jié)為求微分方程解的問(wèn)題．一般地，應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟如下：（1）建立微分方程模型：分析實(shí)際問(wèn)題，建立微分方程，確定初始條件；（3）回歸實(shí)際問(wèn)題：用微分方程的解，解釋、分析實(shí)際問(wèn)題，看其是否與實(shí)際問(wèn)題相符合?【學(xué)生】聆聽，記錄?【教師】根據(jù)課本進(jìn)行例題講解例6（馬爾薩斯人口模型）英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯在1798年提出了人口指數(shù)增長(zhǎng)模型：人口的增長(zhǎng)率與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比．若已知時(shí)，人口總數(shù)為，試根據(jù)馬爾薩斯模型，確定時(shí)間與人口總數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系．據(jù)我國(guó)有關(guān)人口統(tǒng)計(jì)的資料數(shù)據(jù)顯示，1990年我國(guó)人口總數(shù)為11.6億，在過(guò)去的8年中，年人口平均增長(zhǎng)率為14.8‰，假定年增長(zhǎng)率一直保持不變，試用馬爾薩斯人口模型預(yù)測(cè)2005年我國(guó)的人口總數(shù)．例7牛頓冷卻定律指出，物體冷卻的速度（℃/s）正比于物體的溫度與冷卻環(huán)境溫度之差．現(xiàn)設(shè)鋼錠出爐溫度為1150℃，爐外環(huán)境溫度為30℃，比例系數(shù)為0.014℃/s2．（1）試建立鋼錠出爐后的溫度T（℃）與時(shí)間t（s）之間的數(shù)學(xué)模型；（2）鋼錠溫度降到750℃以下鍛打?qū)?huì)影響產(chǎn)品質(zhì)量，試求應(yīng)該在鋼錠出爐后幾秒內(nèi)把它鍛打好？例8一臺(tái)電動(dòng)機(jī)開始運(yùn)轉(zhuǎn)后，每秒溫度升高1℃．設(shè)室內(nèi)溫度為15℃，電動(dòng)機(jī)的冷卻速度與電動(dòng)機(jī)和室內(nèi)溫差成正比，試建立電動(dòng)機(jī)的溫度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型．【學(xué)生】交流，理解，演算，對(duì)比教師的解析過(guò)程，查找自己的錯(cuò)誤點(diǎn)通過(guò)教師講解和例題分析，使學(xué)生理解可分離變量的微分方程的定義，并掌握可分離變量的微分方程的解題方法解題技巧歸納（4min）【教師】歸納解題的技巧1．所謂線性方程，指的是方程中的都是一次的．2．當(dāng)一階線性微分方程不是關(guān)于未知函數(shù)和的方程時(shí)，可將看成關(guān)于的未知函數(shù)，而一階線性微分方程則是關(guān)于未知函數(shù)和的方程，于是有．這時(shí)可利用常數(shù)變異法得到上述方程的通解為．【學(xué)生】聆聽、理解、記筆記通過(guò)提煉知識(shí)-點(diǎn)有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的高效性強(qiáng)化練習(xí)（10min）【教師】通過(guò)APP發(fā)送強(qiáng)化練習(xí)作業(yè)題，并點(diǎn)名部分學(xué)生黑板做題，或者板演。1.判別下列一階微分方程中，哪些屬于可分離變量微分方程？哪些屬于一階線性微分方程？（1）； （2）2．求下列微分方程的通解．（1）； （2） （3），；3．已知細(xì)菌的增長(zhǎng)速度與當(dāng)前數(shù)量成正比，1小時(shí)后觀察到有1000個(gè)細(xì)菌；4小時(shí)后有3000個(gè)，求：（1）細(xì)菌數(shù)量關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式；（2）時(shí)有多少個(gè)細(xì)菌．對(duì)比自己的計(jì)算結(jié)果和操作方法，提升解題技巧通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)，使學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，并以學(xué)生為主體，針對(duì)學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識(shí)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了一階微分方程及其應(yīng)用等知識(shí)，希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固課上所學(xué)知識(shí)，為后面的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固學(xué)生一階微分方程相關(guān)知識(shí)的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成教材中的作業(yè)與練習(xí)5.2【學(xué)生】完成課后作業(yè)通過(guò)課后作業(yè)復(fù)習(xí)鞏固學(xué)到的知識(shí)，提高實(shí)際操作能力教學(xué)反思從教材處理方面：綜合教材本節(jié)課