《電磁場與電磁波》筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解

第1章 矢量分析復(fù)習(xí)筆記一、標(biāo)量場和矢量場的場為標(biāo)量場，如溫度場，密度場等。用一個標(biāo)量函數(shù)來表示該場為量所確定的場為矢量場，如力場、電場等。用一個矢量函數(shù)來表示該場為二、標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度在直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計算公式為式中，是方向l的方向余弦。特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與所研究的點(diǎn)有關(guān)，也與方向有關(guān)。標(biāo)量場的梯度 是一個矢量，在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為標(biāo)量場的梯度意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向。梯度運(yùn)算的基本公式：三、矢量場的散度與旋度散度矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。矢量場的散度是個標(biāo)量，在直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系中的計算式分別為散度定理（高斯定理）F的散度在體積V上的體積分，等于矢量場F在限定該體積的閉合面S上的面分。旋度旋渦源密度矢量。矢量場的旋度是個矢量，在直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系中分別表示為斯托克斯定理F的旋度在曲面S上的面積分等于矢量場F在限定曲面的閉合曲線C上的線積分。四、無旋場與無散場僅有散度源而無旋度源的矢量場為無旋場，如靜電場，梯度矢量的重要性質(zhì)：它的旋度恒等于零，即。僅有旋度源而無散度源的矢量場為無散場，如恒定磁場，旋度矢量的重要性質(zhì)：它的散度恒等于零，即。五、格林定理格林第一恒等式格林第二恒等式格林定理的應(yīng)用：利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。即可利用格林定理求解另一種場的分布。六、亥姆霍茲定理在有限區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件唯一地確定，且可表示為：課后習(xí)題詳解（一）思考題如果A·B＝A·C，是否意味著B＝C？為什么？答：并不意味著B＝C。因為只要則A·B＝A·C。此時的B和C并不是唯一的。所以A·B＝A·C，并不意味著B＝C。如果A×B＝A×C是否意味著B＝C為什么？答：并不意味著B＝C。因為 分別為滿足右手螺法則的單位矢量。只要B，A，C在同一平面上，則 且 則A×B＝A×C，所以此時的B和C也不唯一確定。兩個矢量的點(diǎn)積能是負(fù)的嗎？如果是，必須是什么情況？答：能是負(fù)的。因為 當(dāng)時， 則A·B＜0。什么是單位矢量？什么是常矢量？單位矢量是否為常矢量？答：模等于1的矢量叫做單位矢量。常矢量是指大小和方向都不變的矢量。單位矢量不一定都是常矢量。在圓柱坐標(biāo)系中，矢量 其中a、b、c為常數(shù)，則A是常矢量嗎？為什么答：A是常矢量。在球坐標(biāo)系中，矢量 其中a為常數(shù)，則A能是常矢量嗎？為什么答：A是常矢量?！郃為常矢量。什么是矢量場的通量？通量的值為正、負(fù)或0答：矢量場F穿出閉合曲面S的通量為：當(dāng)時，表示穿出閉合曲面S的通量多于進(jìn)入的通量，此時閉合曲面S內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源，稱為正通量源。當(dāng)時，表示穿出閉合曲面S的通量少于進(jìn)入的通量，此時閉合曲面S內(nèi)必有匯矢量線的源，稱為負(fù)通量源。當(dāng)時，表示穿出閉合曲面S的通量等于進(jìn)入的通量，此時閉合曲面內(nèi)正通量源負(fù)通量源的代數(shù)和為0，或閉合面內(nèi)無通量源。答：矢量分析中的一個重要定理：稱為散度（高斯）定理。意義：矢量場F的散度▽·F在體積V上的體積分等于矢量場F在限定該體積的閉合面S上的面積分，是矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關(guān)系。什么是矢量場的環(huán)流？環(huán)流的值為正、負(fù)或0分別表示什么意義？矢量場F沿場中的一條閉合回路C的曲線積分稱為矢量場F沿閉合路徑C的環(huán)流。表示場中有產(chǎn)生該矢量場的源，常稱為旋渦源。表示場中沒有產(chǎn)生該矢量場的源。什么是斯托克斯定理？它的意義是什么？斯托克斯定理能用于閉合曲面嗎？答：在矢量場F所在的空間中，對于任一以曲線C為周界的曲面S，存在如下重要關(guān)系式：稱為斯托克斯定理。意義：矢量場F的旋度▽×F在曲面S上的面積分等于矢量場F在限定曲面的閉合曲線C上的線積分，是矢量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換關(guān)系。能用于閉合曲面。如果矢量場F能夠表示為一個矢量函數(shù)的旋度，這個矢量場具有什么特性？答：▽·F＝0，即F為無散場。如果矢量場F答：▽×F＝0，即F為無旋場。答：不對。電力線可彎，但無旋。無旋場與無散場的區(qū)別是什么？答：無旋場F的旋度處處為0，即 它是由散度源所產(chǎn)生的，它總可以表示為某一量場的梯度，即▽×（▽u）＝0。無散場F的散度處處為0，即▽·F≡0,它是由旋渦源所產(chǎn)生的，它總可以表示為某一矢量場的旋渦，即▽·（▽A）＝0。（二）習(xí)題1.1給定三個矢量A、B和C如下：求：（1）eA；（2）|A－B|；（3）A·B；（4）θAB；（5）A在B上的分量；（6）A×C；（7）A·（B×C）和（A×B）·C；（8）（A×B）×C和A×（B×C）。解：（1）,（2）,（3）由，得在上的分量由矢量的叉積公式知由矢量的叉積公式知,又因為可得由矢量的叉積公式知于是由矢量三重積的運(yùn)算性質(zhì)，得1.2三角形的三個頂點(diǎn)為P1（0，1，－2）、P2（4，1，－3）和P3（6，2，5）。判斷△P1P2P3是否為一直角三角形；求三角形的面積。解：（1）由題意可知，三角形三個頂點(diǎn)的位置矢量分別為則可以得到由于，即故為直角三角形。（2）三角形面積求點(diǎn)P'（－3，1，4）到點(diǎn)P（2，－2，3）的距離矢量R及R解：由題意可知，則R與x，y，z軸的夾角分別為A＝ex2＋ey3－ez4和B＝ex4－ey5＋ez6，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解：由題意可知，則有故和之間的夾角為：，A在B上的分量：。A＝ex2＋ey3－ez4和B＝－ex6－ey4＋ez，求A×B在C＝ex－ey＋ez上的分量。解：由題意可知，則A×B在C＝ex－ey＋ez上的分量為：A·B＝A·C和A×B＝A×C，則B＝C。證明：由，則有，用矢量三重積的運(yùn)算性質(zhì)展開得到又，于是有即得。量。設(shè)A為一已知矢量，p＝A·X而P＝A×X，p和P已知，試求X。解：由，p＝A·X，可以得到，所以 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)在：直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解：（1）圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為于是有故該點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為。（2）圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為于是有故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為。用球坐標(biāo)表示的場。求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)（－3，4，－5）處的|E|和Ex；求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)（－3，4，－5）處E與矢量B＝ex2－ey2＋ez解：（1）在直角坐標(biāo)中，點(diǎn)處于是 （2）由題意可知故E與B構(gòu)成的夾角為。（r1，θ1，φ1）和（r2，θ2，φ2）定出兩個位置矢量R1和R2。證明R1和R2間夾角的余弦為證明：應(yīng)用直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系得，在直角坐標(biāo)系中，則。已知標(biāo)量函數(shù)u＝x2yz，求u在點(diǎn)（2，3，1）解：由題意可知，由方向?qū)?shù)的定義可知，在方向的方向?qū)?shù)點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)值為已知標(biāo)量函數(shù)u＝x2＋2y2＋3z2＋3x－2y－6z。求▽u；在哪些點(diǎn)上▽u等于0?解：（1）。（2）要使 ，則，即在點(diǎn)上 。解：由題意可知，因為梯度方向沿函數(shù)等值面的法向，故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為利用直角坐標(biāo)，證明證明：在直角坐標(biāo)系下一球面S的半徑為5解：在球面坐標(biāo)下，面積微元三個面積元分別為于是得到。已知矢量，試確定常數(shù)a、b、c使E解：若E為無源場，則即解得 。在由ρ＝5、z＝0和z＝4證明：散度定理為：在圓柱坐標(biāo)系中，等式左邊等式右邊左邊等于右邊故有因此散度定理成立。（1）求矢量A＝exx2＋eyx2y2＋ez24x2y2z3的散度；求▽·A對中心在原點(diǎn)的一個單位立方體的積分；求A對此立方體表面的積分，驗證散度定理。解：（1）（2）對中心在原點(diǎn)的一個單位立方體的積分為：（3）A對此立方體表面的積分為：于是，即散度定理成立。計算矢量r對一個球心在原點(diǎn)、半徑為a的球表面的積分，并求▽·r分。解：r對球表面的積分為在球面坐標(biāo)系中對球體積的積分。在球坐標(biāo)系中，已知矢量A＝era＋eθb＋eφc，其中a、b和c均為常數(shù)。問矢量A是否為常矢量；求▽·A和▽×A。解：（1）將矢量用直角坐標(biāo)表示，有此可見，矢量A的方向變化，故矢量A不是常矢量。在球面坐標(biāo)系下求矢量A＝exx＋eyx2＋ezy2z沿xy平面上的一個邊長為2正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求▽×A對此回路所包圍的曲面的面積分，驗證斯托克斯定理。解：如圖1-2-1所示，把曲線分成1234四部分。則有又于是所以，即斯托克斯定理成立。求矢量A＝exx＋eyxy2沿圓周x2＋y2＝a2的線積分，再計算▽×A分。解：由題意可知，圓周的極坐標(biāo)表示且 故有1.23 證明：（1）▽·r＝3；（2）▽×r＝0；（3）▽（k·r）＝k。其中r＝exx＋eyy＋ezz，k為一常矢量。證明：（1）（2）設(shè)，則故。F＝erf（r）表示，如果▽·F＝0，那么函數(shù)f（r）會有什么特點(diǎn)?解：在圓柱坐標(biāo)系中，由可得其中C為任意常數(shù)。在球面坐標(biāo)系中，由可得 其中C為任意常數(shù)。給定矢量函數(shù)E＝exy＋eyx，試求從點(diǎn)P1（2，1，－1）到點(diǎn)P2（8，2，－1）積分：沿拋物線x＝2y2；沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個E是保守場嗎解：（1）由拋物線方程x＝2y2，可得于是（2）由題意可知，連接該兩點(diǎn)的直線方程為即，由此可見，積分與路徑無關(guān)，故E為保守場。試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式。證明：設(shè)在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元，如圖1-2-2所示。矢量A方向穿出六面體表面的通量為同理可得于是矢量場A的總的通量為所以 現(xiàn)有三個矢量A、B、C分別為哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示?示?求出這些矢量的源分布。解：（1）在球面坐標(biāo)系中，矢量的散度為矢量的旋度為由此可以看出，矢量是一無散無旋場，既可以由一個標(biāo)量的梯度表示，也可以由一個量的旋度表示。在柱面坐標(biāo)中，矢量的散度為矢量的旋度為由此可以看出，矢量是一有散無旋場，它可以用一個標(biāo)量的梯度來表示。在直角坐標(biāo)下，矢量的散度為矢量的旋度為由此可以看出，矢量是一個無散有旋的矢量，它可以用一個矢量的旋度來表示。（2）這些矢量的源分布為利用直角坐標(biāo)，證明▽·（fA）＝f▽·A＋A·▽f證明：在直角坐標(biāo)系中，所以得到。證明▽·（A×H）＝H·▽×A－A·▽×H證明：依據(jù)算子的微分性質(zhì)以及乘法的微分法則有為了便于區(qū)別，我們定義示只對矢量A做微分運(yùn)算表示只對矢量H做微分運(yùn)算。由混合積的運(yùn)算性質(zhì)，得到同樣地，所以。利用直角坐標(biāo)，證明▽×（fG）＝f▽×G＋▽f×G所以。利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明▽×（▽u）＝0及▽·（▽×A）＝0，試證明之。證明：（1）對于以任意閉合曲線C為邊界的任意曲面S，由斯托克斯定理可知由于曲面S是任意的，所以可以得到（2）對于由任意閉合曲面S所圍的體積V，由散度定理有其中，如圖1-2-3所示。圖1-2-3又由斯托克斯定理可推知其中是方向相反的同一回路，于是有因此于體積V是任意的，所以可以得，結(jié)論得證。1.3 一、填空題矢量場函數(shù)的旋度 在閉合的S上的面積分【答案】0

。[華中科技大學(xué)2002研]【解析】根據(jù)公式 ，因，所以 0二、計算與分析題利用散度定理及斯托克斯定理證明：對任一矢量函數(shù)有：。[華中科技大學(xué)2003研]證明：在直角坐標(biāo)系中，有：在直角坐標(biāo)系中，推出標(biāo)量場函數(shù)f與矢量場函數(shù)的乘積的散度公式。[華中科技學(xué)2002研]解：在直角坐標(biāo)系中，由散度的公式可得整理可得 若 ，其中，寫出f（r）的函數(shù)形式。[華中科技大學(xué)2002研解：已知有散度公式所以已知代入上式，可得 （K為常數(shù)）第2章 電磁場的基本規(guī)律復(fù)習(xí)筆記一、電荷守恒定律電荷與電荷分布在電磁理論中，根據(jù)電荷分布的具體情況，電荷源模型分為體電荷、面電荷、線電荷和點(diǎn)電荷。電荷體密度、電荷面密度、電荷線密度 分別定義為：當(dāng)已知、和的分布后，任意體積內(nèi)、曲面或曲線上的電荷總量就可以用相應(yīng)的體積分、面積分或線積分表示為。電流與電流密度電流是由電荷定向運(yùn)動形成的，通常用表示。設(shè)在 時間內(nèi)通過某一曲面S的電荷為，則定義通過曲面S的電流為：它的單位為A（安培），方向為正電荷的流動方向。電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。在電磁理論中，電流分布模型分為體電流、面電流和線電流。電流密度J和面電流線密度JS的定義分別為：電荷流動的空間是一個電流密度矢量場J（r），場中任意面積上通過的電流量為：所以電流（I或）的另一定義是電荷流動場中電流密度矢量在某一面積上的通量。表面電流場中，任意有向曲線所穿過的電流為：電荷守恒定律在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正、負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。積分形式：微分形式：對于恒定電流，有。這表明，空間的恒定電流場是無散場，恒定電流線有起點(diǎn)和終點(diǎn)，形成連續(xù)的閉合曲線。二、真空中靜電場的基本規(guī)律庫侖定律真空中，點(diǎn)電荷q1對q2的作用力為：，表示q2指向q1的單位矢量， 。電場強(qiáng)度在靜電場中，若單位正電荷q0在某點(diǎn)受到的靜電力為 ，則定義該點(diǎn)的電場強(qiáng)為：由此得點(diǎn)電荷、點(diǎn)電荷系和連續(xù)分布電荷的電場為：式中， 為連續(xù)分布電荷的電荷元，對體、面、線電荷，分別為：。真空中的靜電方程積分形式微分形式三、真空中恒定磁場的基本規(guī)律安培力定律真空中的線電流回路C1對回路C2的磁場力為：式中，R為兩電流元之間的距離，表示為矢量為：磁感應(yīng)強(qiáng)度畢奧-薩伐爾定律：真空中的電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式為：線電流面電流體電流磁通連續(xù)性原理：安培環(huán)路定理：微分形式四、媒質(zhì)的電磁特性從宏觀效應(yīng)看，物質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可以分為極化、磁化和傳導(dǎo)三種現(xiàn)象。電介質(zhì)的極化電介質(zhì)中束縛電荷在外場力的作用下發(fā)生的位移的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化，束縛電荷也稱為極化電荷。將單位體積中的電偶極矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，表示為式中的為體積 中第個分子的平均電矩。是一個宏觀矢量函數(shù)。若電介質(zhì)的區(qū)域內(nèi)的相同，則稱該區(qū)域是均勻極化的，否則就是非均勻極化的。極化電荷的體密度為極化電荷的面密度為電介質(zhì)中高斯定理的積分形式：電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系磁介質(zhì)的磁化單位體積中的分子磁矩的矢量和稱為磁化強(qiáng)度，表示為式中的表示體積 內(nèi)第個分子的磁矩。若磁介質(zhì)的某區(qū)域內(nèi)的相同，則稱該區(qū)是均勻磁化的，否則就是非均勻磁化的。磁化電流體密度磁化電流面密度磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理的積分形式：磁介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性對于線性和各項同性的導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任意一點(diǎn)的電流密度矢量和電場強(qiáng)度成比，表示為五、電磁感應(yīng)定律和位移電流法拉第電磁感應(yīng)定律導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動勢，等于穿過導(dǎo)體回路的磁通變化率的負(fù)值。即：積分形式：微分形式：位移電流由時變電場引起的電流稱為位移電流，表示為：。此時，靜態(tài)下的安培環(huán)路定律修改為：積分形式：微分形式：六、麥克斯韋方程組積分形式麥克斯韋第一方程，其含義是磁場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的傳導(dǎo)電流與位移電流之和。麥克斯韋第二方程，其含義是電場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的磁通量的變化率的負(fù)值。麥克斯韋第三方程，其含義是穿過任意閉合曲面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量恒等于0.麥克斯韋第四方程，其含義是穿過任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。微分形式：④①式表明，時變磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也由位移電流產(chǎn)生。該式揭示的是時變電場產(chǎn)生時變磁場。②式表明，時變磁場產(chǎn)生時變電場。③式表明，磁通永遠(yuǎn)是連續(xù)的，磁場是無散度場。④式表明，空間任意一點(diǎn)若存在正電荷體密度，則該點(diǎn)發(fā)出電位移線；若存在負(fù)電荷體密度，則電位移線匯聚于該點(diǎn)。七、電磁場的邊界條件一般形式理想導(dǎo)體表面上的邊界條件理想介質(zhì)表面上的邊界條件課后習(xí)題詳解（一）思考題點(diǎn)電荷的嚴(yán)格定義是什么?答：點(diǎn)電荷是電荷分布的一種極限情況，可將它看做一個體積很小而電荷密度很大的帶電小球的極限。當(dāng)帶電體的尺寸遠(yuǎn)小于觀察點(diǎn)至帶電體的距離時，帶電體的形狀及其中的電荷分布已無關(guān)緊要，就可將帶電體所帶電荷看成集中在帶電體的中心上。即將帶電體抽象為一個幾何點(diǎn)模型，稱為點(diǎn)電荷。研究宏觀電磁場時，常用到哪幾種電荷分布模型?有哪幾種電流分布模型?定義的?答：常用的電荷分布模型有體電荷、面電荷、線電荷和點(diǎn)電荷。常用的電流分布模型有體電流模型，面電流模型和線電流模型。它們是根據(jù)電荷和電流的密度分布來定義的。點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度隨距離變化的規(guī)律是什么?電偶極子的電場強(qiáng)度又如何呢?答：點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度與距離r的二次方成反比。電偶極子的電場強(qiáng)度與距離r的三次方成反比。簡述和▽×E＝0所表征的靜電場特性。答：表明空間任意一點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電的通量源。表明靜電場是無旋場。表述高斯定律，并說明在什么條件下可應(yīng)用高斯定律求解給定電荷分布的電場強(qiáng)度。ε0，與閉合面外的電荷無關(guān)，即在電場（電荷）分布具有某些對稱性時，可應(yīng)用高斯定律求解給定電荷分布的電場強(qiáng)度。簡述▽·B＝0和▽×B＝μ0J所表征的靜磁場特性。答：▽·B＝0表明穿過任意閉合面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量等于0線。表明恒定磁場是有旋場，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場的旋渦源。度。答：安培環(huán)路定理：磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任何閉合回路的線積分，等于穿過這個環(huán)路所有電流的代數(shù)和μ0倍，即如果電流分布存在某種對稱性，則可用該定理求解給定電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度。簡述電場與電介質(zhì)相互作用后發(fā)生的現(xiàn)象。一致的電偶極子，它們對外產(chǎn)生的電場不再為0。對于有極性分子，它的每個電偶極子在對外產(chǎn)生的電場也不再為0。這種電介質(zhì)中的束縛電荷在外電場作用下發(fā)生位移的現(xiàn)象，順著外電場方向排列的電偶極子，這些電偶極子產(chǎn)生的電場將改變原來的電場分布。因此，此時電介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度E是自由電荷產(chǎn)生的外電場E0與極化電荷產(chǎn)生的附加電場E'的疊加，即E＝E0＋E'。極化強(qiáng)度是如何定義的?極化電荷密度與極化強(qiáng)度有什么關(guān)系?答：（1）單位體積中的電偶極矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度。極化強(qiáng)度P與極化電荷體密度的關(guān)系為：ρP＝﹣▽·P。（2）極化強(qiáng)度P與極化電荷面密度：ρSP＝P·en。電位移矢量是如何定義的?在國際單位制中它的單位是什么?答：電位移矢量定義為：D＝ε0E＋P＝εE，其單位是庫侖／平方米（C／m2）。簡述磁場與磁介質(zhì)相互作用發(fā)生的物理現(xiàn)象。答：在磁介質(zhì)和磁場相互作用時，外磁場使磁介質(zhì)中的分子磁矩沿外磁場取向，磁介質(zhì)被磁化；被磁化的介質(zhì)要產(chǎn)生附加磁場，從而使原來的磁場分布發(fā)生變化。磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B可看做真空中傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0和磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B'的疊加，即B＝B0＋B'。磁化強(qiáng)度是如何定義的?磁化電流密度與磁化強(qiáng)度有什么關(guān)系答：單位體積內(nèi)分子磁矩的矢量和稱為磁化強(qiáng)度。磁化電流體密度與磁化強(qiáng)度：JM＝▽×M磁化電流面密度與磁化強(qiáng)度：JSM＝M×en磁場強(qiáng)度是如何定義的?在國際單位制中它的單位是什么?答：磁場強(qiáng)度定義為：國際單位制中，其單位為安培／米（A／m）。的含義嗎?答：均勻媒質(zhì)是指介電常數(shù)ε0或磁介質(zhì)磁導(dǎo)率μ處處相等，不是空間坐標(biāo)的函數(shù)。非均勻媒質(zhì)是指介電常數(shù)ε或磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ是空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)。線性媒質(zhì)是ε（μ）與E（H）的大小無關(guān)，反之為非線性媒質(zhì)。各向同性媒質(zhì)是指ε（μ）與E（H）的方向無關(guān)，ε（μ）是標(biāo)量，D（B）和E（H）的方向相同。各向異性媒質(zhì)是指D（B）和E（H）的方向相同。什么是時變電磁場?答：隨時間變化的電荷和電流產(chǎn)生的電場和磁場也隨時間變化，而且電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，密不可分。時變的電場產(chǎn)生磁場，時變的磁場產(chǎn)生電場，統(tǒng)稱為時變電磁場。答：傳導(dǎo)電流和位移電流都可以在空間激發(fā)磁場但兩者本質(zhì)不同。傳導(dǎo)電流是電荷的定向運(yùn)動，而位移電流的本質(zhì)是變化著的電場。傳導(dǎo)電流只能存在于導(dǎo)體中，而位移電流可以存在于真空、導(dǎo)體、電介質(zhì)中。傳導(dǎo)電流通過導(dǎo)體時會產(chǎn)生焦耳熱，而位移電流不會產(chǎn)生焦耳熱。答：麥克斯韋方程組：微分形式積分形式它表明不僅電荷和電流能激發(fā)電磁場，而且變化的電場和磁場也可以互相激發(fā)，交替作用，從而形成電磁場的運(yùn)動。麥克斯韋方程組的4個方程是相互獨(dú)立的嗎?試簡要解釋。答：不是相互獨(dú)立的。其中表明時變磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也由位移電產(chǎn)生，它揭示的是時變電場產(chǎn)生時變磁場。表明時變磁場產(chǎn)生時變電場。電場和磁場是相互關(guān)聯(lián)的。但當(dāng)場量不隨時間變化時，電場和磁場又是各自存在的。電流連續(xù)性方程能由麥克斯韋方程組導(dǎo)出嗎?因。答：能。亦即又∴電流連續(xù)性方程成立。什么是電磁場的邊界條件?你能說出理想導(dǎo)體表面的邊界條件嗎?答：把電磁場矢量E，D，B，H在不同媒質(zhì)分界面上各自滿足的關(guān)系稱為電磁場的邊界條件。理想導(dǎo)體表面上的邊界條件為：en×H1＝Js，en×E1＝0en·B1＝0，en·D1＝ρS（二）習(xí)題已知半徑為a的導(dǎo)體球面上分布著面電荷密度為ρS＝ρS0cosθ的電荷，式中的ρS0數(shù)。試計算球面上的總電荷量。解：球面上的總電荷量應(yīng)為面電荷密度對整個球面的積分，即故球面上的總電荷量為0。已知半徑為a、長為L的圓柱體內(nèi)分布著軸對稱的電荷，體電荷密度為（0≤r≤a），中的ρ0為常數(shù)，試求圓柱體內(nèi)的總電荷量。解：圓柱體內(nèi)的總電荷量應(yīng)為體電荷密度對整個圓柱體的積分，即故圓柱體內(nèi)的總電荷量為。電荷q均勻分布在半徑為a的導(dǎo)體球面上，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度ω繞通過球心的z時，試計算導(dǎo)體球面上的面電流密度。解：導(dǎo)體球面上的面電流密度表達(dá)式為其中為導(dǎo)體球面的面電荷密度，易求得為線速度，球面上任意一點(diǎn)的位置矢量為，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度繞通過球心的軸轉(zhuǎn)時，該點(diǎn)的線速度為所以面電流密度為A/m寬度為5cm的無限薄導(dǎo)電平面置于z＝0平面內(nèi)，若有10AP（2cm，3cm，0）的方向流動，如圖2-2-1所示。試寫出面電流密度的表示式。解：面電流方向的單位矢量為面電流密度大小為面電流密度矢量為A/m一個半徑為a的球形體積內(nèi)均勻分布著總電荷量為q的電荷，當(dāng)球體以均勻角速度繞一條直徑旋轉(zhuǎn)時，試計算球內(nèi)的電流密度。解：電流密度矢量為其中球內(nèi)的電荷體密度為球內(nèi)任意一點(diǎn)的位置矢量為，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度繞通過球心的軸旋轉(zhuǎn)時，該點(diǎn)的速度為因此，所求的電流密度矢量為A/m2平行板真空二極管兩極板間的電荷體密度為，陰極板位于x＝0處，陽極板位于處，極間電壓為U0；如果U0＝40V，d＝1cm，橫截面S＝10cm2，求：（1）x＝0至x＝d區(qū)域的總電荷量；（2）x＝d/2至x＝d區(qū)域的總電荷量。解：（1）至區(qū)域的總電荷總量為將 、 、 、代入得到（2）至 區(qū)域的總電荷量為將 、 、 、代入得到2.7 在真空中，點(diǎn)電荷q1＝－0.3μC位于點(diǎn)A（25，－30，15）；點(diǎn)電荷q2＝0.5μC點(diǎn)B（－10，8，12）。求：（1）坐標(biāo)原點(diǎn)處的電場強(qiáng)度；（2）點(diǎn)P（15，20，50）處的電場強(qiáng)度。解：（1）設(shè)題目中坐標(biāo)單位為m，則點(diǎn)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為點(diǎn)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為所以在原點(diǎn)處產(chǎn)生的總的場強(qiáng)為（2）A點(diǎn)到P點(diǎn)的矢量為點(diǎn)電荷在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為B點(diǎn)到P點(diǎn)的矢量為點(diǎn)電荷在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為所以在P點(diǎn)處產(chǎn)生的總的場強(qiáng)為點(diǎn)電荷q1＝q位于點(diǎn)P1（－a，0，0）處，另一個點(diǎn)電荷q2＝－2q位于處，試問：空間是否存在E＝0的點(diǎn)?解：點(diǎn)電荷在空間任意一點(diǎn)處產(chǎn)生的電場為點(diǎn)電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場為故在點(diǎn) 處的總電場為，我們令 ，則有即得到解得，（不合題意，舍去在點(diǎn)P處電場強(qiáng)度E＝0。無限長線電荷通過點(diǎn)（6，8，0）且平行于z軸，線電荷密度為ρl，試求點(diǎn)P（x，y，z）處的電場強(qiáng)度E。解：線電荷沿方向為無限長，由對稱性可知，電場分布與無關(guān)。不妨取，即點(diǎn)的平面上，則線電荷與點(diǎn)P的距離矢量為由高斯定理有所以點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為半徑為a的一個半圓環(huán)上均勻分布著線電荷ρl，如圖2-2-2所在平面的軸線上z＝a處的電場強(qiáng)度E（0，0，a）。解：如圖2-2-3所示，半圓環(huán)上的單位元電荷為其在軸線上 處的場強(qiáng)為于是對于整個半圓環(huán)在軸線上 處的場強(qiáng)為三根長度均為L、線電荷密度分別為ρl1、ρl2和ρl3如圖2-2-4所示，設(shè)ρl1＝2ρl2＝2ρl3，試求三角形中心的電場強(qiáng)度。解：如圖2-2-5所示，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，三角形的中心到各邊的距離為直接利用有限長直線電荷的電場強(qiáng)度公式得到所以等邊三角形中心處的電場強(qiáng)度為一個很薄的無限大導(dǎo)體帶電平面，其上的面電荷密度為ρS的z軸上z＝z0處的電場強(qiáng)度中，有一半是由平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。證明：如圖2-2-6所示，導(dǎo)體平面上面積元 ，所帶電量，其處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為則整個導(dǎo)體帶電平面在軸上處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為當(dāng) 時，，當(dāng)時，可見，垂直于平面的z軸上z＝z0處的電場強(qiáng)度中，有一半是由平面上半徑為 的圓內(nèi)電荷產(chǎn)生的。自由空間有三個無限大的均勻帶電平面：位于點(diǎn)（0，0，－4）處的平面上ρS1＝3nC/m2，位于點(diǎn)（0，0，1）處的平面上ρS2＝6nC/m2，位于點(diǎn)（0，0，4）處的平面上ρS3＝－8nC/m2。試求以下各點(diǎn)的E：（1）P1（2，5，－5）；（2）P2（－2，4，5）；（3）P3（－1，－5，2）。解：設(shè)一垂直于z軸的無限大帶電平面，其電荷面密度為，則距該平面上方處的場強(qiáng)度為，所以在點(diǎn)的電場強(qiáng)度為在點(diǎn)的電場強(qiáng)度為在點(diǎn)的電場強(qiáng)度為在下列條件下，對給定點(diǎn)求divE的值：（1） ，求點(diǎn)P1（2，3，－1）處divE的值。（2） ，求點(diǎn)P2（ρ＝2，φ＝110°，z＝－1）處divE的值。（3），求點(diǎn)P（r＝1.5，θ＝30°，φ＝50°）處的值。解：（1）（2）（3）半徑為a的球形體積內(nèi)充滿密度為ρ（r）分布為式中A為常數(shù)，試求電荷密度ρ（r）解：由，可知所以在時，有在時，有一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為q，當(dāng)球體以均勻角速度ω圖2-2-7所示，試求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：如圖2-2-8所示：由題意知，導(dǎo)體球的電荷面密度為 ，球面上任取一點(diǎn)，與的夾角為，的線速度為，所以得到點(diǎn)處的電流面密度為將球面劃分為無數(shù)個寬度為的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個寬度為細(xì)圓環(huán)的電為該圓環(huán)的半徑為，細(xì)圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上任意一點(diǎn)的磁場公式，可得到該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為假設(shè)電流I＝8A從無限遠(yuǎn)處沿x軸流向原點(diǎn)，再離開原點(diǎn)沿y軸流向無限遠(yuǎn)，如圖2-9所示。試求xy平面上一點(diǎn)P（0.4，0.3，0）處的B。解：有限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電磁感應(yīng)強(qiáng)度為當(dāng)電流從無窮遠(yuǎn)沿軸流向原點(diǎn)時， ，，當(dāng)電流從原點(diǎn)沿軸流向無窮遠(yuǎn)時，，所以點(diǎn)P處的電磁感應(yīng)強(qiáng)度為μT一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬度為2a，中心線與z軸重合，通過的電流為I一象限內(nèi)任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為式中的a、r1和r2如圖2-2-10所示。證明：將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個寬度為 的細(xì)條帶，每一個細(xì)條帶的電流大小為，如圖2-11所示，。根據(jù)安培環(huán)路定律，可以得到在點(diǎn) 處的磁場為所以則兩平行無限長直線電流I1和I2，間距為d，試求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力Fm。解：無限長直線電流在任意位置產(chǎn)生的磁場為此磁場對直線電流每單位長度受到的安培力為式中，是電流指向電流的單位矢量。同樣的，直線電流產(chǎn)生的磁場對電流每單位長度受到的安培力為在半徑a＝1mm的非磁性材料圓柱形實(shí)心導(dǎo)體內(nèi)，沿z軸方向通過電流I＝20A求：ρ＝0.8mm處的B；ρ＝1.2mm處的B；圓柱內(nèi)單位長度的總磁通。解：由題意知，圓柱形導(dǎo)體內(nèi)的體電流密度為利用安培環(huán)路定律可得到同樣利用安培環(huán)路定律得到由前面可知單位長度的總磁通為下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場?如果是，求出其源量J。H＝eρa(bǔ)ρ，B＝μ0H（圓柱坐標(biāo)系）H＝ex（－ay）＋eyax，B＝μ0HH＝exax－eyay，B＝μ0HH＝eφar，B＝μ0H（球坐標(biāo)系）解：（1），在圓柱坐標(biāo)系中所以該矢量函數(shù)不是磁場矢量。（2），在直角坐標(biāo)系中，所以該矢量是磁場矢量，其源分布為（3），在直角坐標(biāo)系中所以該矢量是磁場矢量，其源分布為（4），在球坐標(biāo)系中，所以該矢量是磁場矢量，其源分布為通過電流密度為J圖2-2-12所示。試計算各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并證明空腔內(nèi)的磁場是均勻的。解：建立如圖2-2-13所示坐標(biāo)系，因為空腔中的電流密度為0，可把該電流分布看做是兩個電流密度的合成。設(shè)整個半徑為的圓柱導(dǎo)體內(nèi)通有電流密度為的電流，半徑為的圓柱內(nèi)通有電流密為的電流。那么，這時整個空間的場是由這二者共同產(chǎn)生的。對于大圓柱，由安培環(huán)路定律得：同樣地，對于小圓柱，應(yīng)用安培環(huán)路定律得到空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為二者的矢量和，所以在大圓柱體外時在空腔和大圓柱之間時，在空腔內(nèi)時，由于是點(diǎn)到點(diǎn)的位置矢量，為一常矢量，所以空腔內(nèi)的磁場是均勻的。在xy平面上沿＋x方向有均勻面電流Js，如圖2-2-14所示。若將xy求空間任意一點(diǎn)的H。解：由畢奧-薩法爾定律可知，沿方向的電流不會產(chǎn)生方向的磁場，而且，沿方向的一對位置對稱的線電流產(chǎn)生的磁場的分量相互抵消。所以該磁場只有分量，而且電上下兩側(cè)的磁場是等值反相的。圖2-2-15所示的矩形閉合線，由安培環(huán)路定律得到，因此在時有即得在時，可得一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位于正弦時變磁場B＝ez5cosωtmT之中，如圖2-2-16所示。滑片的位置由x＝0.35（1－cosωt）m確定，軌道終端接有電阻R＝0.2Ω，試求感應(yīng)電流i。解：2-2-17所示，穿過導(dǎo)體回的磁通為由電磁感應(yīng)定律得到感應(yīng)電動勢所以感應(yīng)電流為平行雙線與一矩形回路共面，如圖2-2-18所示。設(shè)a＝0.2m，b＝c＝d＝0.1m，i＝0.1cos（2π×107t）A，求回路中的感應(yīng)電動勢。解：由安培環(huán)路定律求出平行雙線中的左側(cè)導(dǎo)線在矩形回路平面任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向為垂直紙面向里，其在回路中的磁通為左邊導(dǎo)線在回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為同理可得，右邊導(dǎo)線在回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為因此，回路中的感應(yīng)電動勢為求下列情況下的位移電流密度的大小：某移動天線發(fā)射的電磁波的磁場強(qiáng)度；一大功率變壓器在空氣中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度；一大功率電容器在填充的油中產(chǎn)生的電場強(qiáng)度設(shè)油的相對介電常數(shù)εr＝5；頻率f＝60Hz時的金屬導(dǎo)體中，J＝exsin（377×t－117.1z）MA/m2，設(shè)金屬導(dǎo)體的ε＝ε0、μ＝μ0、σ＝5.8×107S/m。解：（1）由麥克斯韋方程組得又因為自由空間的傳導(dǎo)電流為0，即所以，位移電流密度為故該位移電流密度的大小為0.468A/㎡。同（1）可得故該位移電流密度的大小為0.802A/㎡。由題可知則故該位移電流密度的大小為A/㎡。由題可得則位移電流密度為故該位移電流密度的大小為A/㎡。同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑a＝1mm，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑b＝4mm圖2-2-19所示。假設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度為。求與E相伴的H；確定k的值；求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；求沿軸線0≤z≤1m區(qū)域內(nèi)的位移電流。解：（1）由麥克斯韋方程有則積分得在自由空間中，傳導(dǎo)電流為0，即又所以解得把內(nèi)導(dǎo)體看為理想導(dǎo)體，由理想導(dǎo)體表面的邊界條件 得位移電流積分得位移電流試將微分形式的麥克斯韋方程組寫成8個標(biāo)量方程：（1）在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中；（3）在球坐標(biāo)系中。解：（1）在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中（體電荷密度）在球坐標(biāo)系中由置于ρ＝3mm和ρ＝10mm的導(dǎo)體圓柱面和z＝0、z＝20cm的導(dǎo)體平面圍成的圓柱形空間內(nèi)充滿ε＝4×10－11F/m、μ＝2.5×10－6H/m、σ＝0的媒質(zhì)。若設(shè)定媒質(zhì)中的磁場強(qiáng)度為，利用麥克斯韋方程求：（1）ω；（2）E。解：（1）根據(jù)題意，由麥克斯韋方程得則積分得又因為由此可得解得（2）由（1）可得媒質(zhì)1的電參數(shù)為ε1＝4ε0、μ1＝2μ0、σ1＝0；媒質(zhì)2的電參數(shù)為ε2＝2ε0、μ2＝3μ0、σ2＝0。兩種媒質(zhì)分界面上的法向單位矢量為en＝ex0.64＋ey0.6－ez0.48，由媒質(zhì)指向媒質(zhì)1。若已知媒質(zhì)1內(nèi)鄰近分界面上的點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1＝（ex－ey2＋ez3）sin300tT，求P點(diǎn)處下列量的大?。築1n、B1t、B2n、B2t。解：由題意可知,由邊界條件可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在分界面上是連續(xù)的，所以當(dāng)兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為有限值時，分界面上不可能存在面電流，即，亦即故媒質(zhì)1的電參數(shù)為ε1＝5ε0、μ1＝3μ0、σ1＝0；媒質(zhì)2可視為理想導(dǎo)體（σ2＝∞）設(shè)y＝0為理想導(dǎo)體表面，y＞0的區(qū)域內(nèi)（媒質(zhì)1）的電場強(qiáng)度E＝ey20cos（2×108t－2.58z）V/m。試計算t＝6ns時：點(diǎn)P（2，0，0.3）處的面電荷密度ρS；點(diǎn)P處的H；點(diǎn)P處的面電流密度Js。解：（1）由理想導(dǎo)體表面上的邊界條件，得點(diǎn)P處的面電荷密度為由麥克斯韋方程，得則所以，積分得點(diǎn)P處的磁場強(qiáng)度為由理想導(dǎo)體表面的邊界條件，得點(diǎn)P處的面電流密度為2.3 一、判斷題在均勻極化的電介質(zhì)中，極化電荷只能分布在電介質(zhì)表面。（ ）[電子科技大學(xué)2009研]【答案】√【解析】在電介質(zhì)中，無論是位移極化還是取向極化，極化電荷在電介質(zhì)內(nèi)部都相互抵銷，存在的極化電荷只分布在電介質(zhì)表面。根據(jù)高斯定理，若閉合曲面S內(nèi)沒有電荷，則閉合曲面S上任一點(diǎn)的場強(qiáng)一定為零。（ ）[電子科技大學(xué)2009研]【答案】×【解析】高斯定理 ， 時，只能得到，不能得到場強(qiáng)的關(guān)系。只要閉合線圈在磁場中做切割磁力線的運(yùn)動，線圈中一定會形成感生電流。（ ）[電子科技大學(xué)2009、2012研]【答案】×【解析】法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式的一般形式為：，即生感應(yīng)電動勢的方式有兩種:①磁場隨時間變化；②導(dǎo)線切割磁力線。當(dāng)兩種作用相互抵消時，不會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流。為了簡化空間電位分布的表達(dá)式，總可以將電位參考點(diǎn)選擇在無窮遠(yuǎn)處。（ ）[子科技大學(xué)2012年研]【答案】×【解析】電位的參考點(diǎn)一般選擇在無窮遠(yuǎn)處，具體情況不同，選擇的參考點(diǎn)有所不同。二、填空題在靜電場中導(dǎo)體表面的邊界條件為（ ）和（ ）；在恒定電場（恒定電流的場）中的邊界條件為（ ）和（ ）。[北京郵電大學(xué)2010研]【答案】；；；【解析】由電磁場一般情況下的邊界條件可得解。己知磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)中存在恒定（穩(wěn)恒）磁場分布，則介質(zhì)中的電流體密可以表示成（ ），磁化電流體密度可以表示成（ ）。[電子科技大學(xué)2009、2010研]【答案】；【解析】由恒定（穩(wěn)恒）磁場的旋度公式 ，易得到；由安培環(huán)路定理的微分形式 ，以及 ，得到 ，將第一問答案代入，即可得到，即為所求 。有兩個導(dǎo)體球，導(dǎo)體球1的半徑為，帶電量為，導(dǎo)體球2的半徑為 ，帶電量為。設(shè)兩球間距離，若用細(xì)導(dǎo)線將兩球連接起來，則導(dǎo)體球1的帶電量為（ ），體球2的帶電量為（ ）。[電子科技大學(xué)2009研]【答案】；【解析】兩導(dǎo)體球由導(dǎo)線連成一個整體，其帶電量為兩球帶電量的加和，即為；由一個，球1，球1與

球2的電勢相同，球1與球2的電勢可分別表示為 、 ，由兩式相等，得到 ，即可得結(jié)果。在理想導(dǎo)體表面上，（ ）矢量總是平行于導(dǎo)體表面，（ ）矢量總是垂直于體表面。[電子科技大學(xué)2009研]【答案】磁感應(yīng)強(qiáng)度（或）；電場強(qiáng)度（或）【解析】由電磁場的理想導(dǎo)體的邊界條件：，，知電場強(qiáng)度的切向分量不存在，只有法向分量，即總是垂直于導(dǎo)體表面；磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量不存在，只切向分量，即總是垂直于導(dǎo)體表面。已知電介質(zhì)的介電常數(shù)為ε＝2ε0，若其中的電場強(qiáng)度為 ，則介質(zhì)的自由電荷體密度為（ ）、極化（束縛）電荷體密度為（ ）。[電子科技大學(xué)2010、2012研]【答案】；【解析】由介質(zhì)中的高斯定律推出的很容易求得。由 ， ， 得，代入可得。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度，則m的值為（ ）。[電子科技大學(xué)2010研]【答案】【解析】利用磁場的基本性質(zhì)之一的無散性，即，即可解得的值。本題考查了場的基本性質(zhì)，其中的，在任何條件下都是恒成立的。在兩種不同媒質(zhì)的分界面上，若不存在面分布電荷，則電位移矢量的（）連續(xù)的：若不存在面分布電流，則磁場強(qiáng)度矢量的（）分量是連續(xù)的。[電子科技大學(xué)2010研]【答案】法向；切向【解析】由麥克斯韋方程組積分形式得到的電磁場關(guān)于理想介質(zhì)表面上的邊界條件可知：①在沒有自由面電荷的理想介質(zhì)分界面上，電位移矢量的法向分量是連續(xù)的；②在介質(zhì)分界面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的；③在介質(zhì)分界面上，電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的；④在不存在傳導(dǎo)電流面密度的理想介質(zhì)分界面上，磁場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。如圖2-1所示，由兩平行的半無限長直線和半圓弧的線電流I在點(diǎn)P所產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度H＝（ ）。[電子科技大學(xué)2010研]圖2-1【答案】奧-薩法爾定律，各點(diǎn)在點(diǎn)的磁場方向均垂直紙面向外，可以用疊加定理求解。由直導(dǎo)線的磁場公式 ，得到半無限長直導(dǎo)線在點(diǎn)的磁場為；通過電流為的細(xì)圓環(huán)軸線上的磁場為 ，令，可得圓心出的磁場為，半弧則為其一半；所以整段導(dǎo)線的磁場可求得。在自由空間中，一個孤立的點(diǎn)電荷，其產(chǎn)生的等電位面是（ ）。[南京理工大學(xué)2011研]AB．球面；【答案】B【解析】點(diǎn)電荷的等電位面是一個球面。空氣（介電常數(shù)）與電介質(zhì)（介電常數(shù)）的分界面是的平面。在分面上，已知空氣中的電場強(qiáng)度，則電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為 。[電子科技大學(xué)2012年研]【答案】【解析】根據(jù)邊界條件可知，電場強(qiáng)度在切向上是連續(xù)的，電位移在法向上是連續(xù)的。電荷定向運(yùn)動形成電流，當(dāng)電荷密度滿足時，電流密度應(yīng)滿足 ，電線的形狀應(yīng)為 曲線。[電子科技大學(xué)2012年研]【答案】，閉合【解析】電流連續(xù)性定理。三、簡答題寫出傳導(dǎo)電流密度、磁化電流密度和位移電流密度與電場強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度的關(guān)系式，并簡要說明三種電流密度物理意義的異同。[北京理工大學(xué)2008研]答：傳導(dǎo)電流密度，其是導(dǎo)電媒質(zhì)中的自由電子在電場作用下，運(yùn)動形成的電流位移電流密度，其意義是電位移矢量隨時間的變化率；磁化電流密度，介質(zhì)被磁化后，其內(nèi)部和表面會出現(xiàn)宏觀的電流分布，這就是磁化電流。寫出介質(zhì)中的麥克斯韋方程組微分形式，并說明時變電磁場的特點(diǎn)。[電子科技大學(xué)2009研]答：時變電磁場的特點(diǎn)：①不僅電荷激發(fā)電場、電流激發(fā)磁場，而且變化的電場和磁場互為激發(fā)源；②電場和磁場不再相互獨(dú)立，它們構(gòu)成一個不可分離的整體。寫出微分形式麥克斯韋方程組。（5分）[南京理工大學(xué)2011研]答：時變磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也由位移電流產(chǎn)生，該式揭示的是變電場產(chǎn)生時變磁場。時變電場產(chǎn)生時變磁場。磁場是無散場，磁通永遠(yuǎn)是連續(xù)的。某點(diǎn)存在正電荷體密度，該點(diǎn)發(fā)出電位移線，若存在負(fù)電荷體密度，則電位移線匯聚于該點(diǎn)。分別寫出時變電磁場在理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件。（6分）[大學(xué)2011研]答：理想介質(zhì)分界面上邊界條件為，理想導(dǎo)體分界面上邊界條件為。激勵源是什么電子科技大學(xué)2012年研]答：靜電場的電力線是由正電荷發(fā)出、終止在負(fù)電荷上的，所以電力線的起點(diǎn)和終點(diǎn)不可能重合，電力線不能閉合。在時變場情況下，即使不存在電荷，變化的磁場也可以激發(fā)電場，此時電力線是閉合的，它的激勵源是變化的磁場。的意義所在。[電子科技大學(xué)2012年研]答：麥克斯韋方程組：，， ，。時變電磁場的特點(diǎn)：①不僅電荷激發(fā)電場、電流激發(fā)磁場，變化的電場和磁場互為激發(fā)源；②電場和磁場不再相互獨(dú)立，它們構(gòu)成一個不可分離的整體。麥克斯韋方程組的意義：通過引入位移電流，構(gòu)成了完整的麥克斯韋方程，由于空間任意點(diǎn)的電磁場擾動都會激發(fā)起新的擾動，從而形成電磁擾動的傳播，所以方程本身則預(yù)言了電磁波的存在。四、計算與分析題一半徑等于3mm的導(dǎo)體球，處于εr＝2.52m處的電場強(qiáng)度為1mV/m，求導(dǎo)體球上的電荷。[南京理工大學(xué)2010研]解：設(shè)導(dǎo)體球帶電量為Q，由于導(dǎo)體球半徑相對于場強(qiáng)輻射半徑很小，可把導(dǎo)體球近似看做電量集中于球心的點(diǎn)電荷。則距導(dǎo)體球距離為r的電場強(qiáng)度為，于是 。矢量是否可能是靜電場的解?如果是，則求與之對應(yīng)的源和位。[南京理工大學(xué)2010研]解：靜電場是無旋場，即，對于本題中，因此該電場可以作為靜電場的解該靜電場的源為由 ，得到同理由得到，由得到由于在靜電場中，的值與積分路徑無關(guān)，比較三個式子可得到。假設(shè)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充μ1、μ2半的空間，求內(nèi)、外導(dǎo)體問的磁場強(qiáng)度。[南京理工大學(xué)2010研]解：設(shè)同軸線中通過電流為。同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場沿方向，在兩種磁介質(zhì)的度，利用安培環(huán)路定律有，，即，解得 ，于是，導(dǎo)出兩個散度方程。[南京理工大學(xué)2010研]解：麥克斯韋方程組的微分形式為電荷守恒定律為 將（1）式變形為，由于一個矢量的旋度的散度恒等于零，所以等式左邊為0，將（5）式代入上式變形為由于在任意時間下，上式都成立，所以得到將（2）式變形為同樣地，由于一個矢量的旋度的散度恒等于零，所以等式左邊為0，上式可變形為由于在任意時間下，上式都成立，于是。證明通過任意閉合曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為0。[南京理工大學(xué)2011研]證明：根據(jù)麥克斯韋方程，有兩邊同時取散度由于，則意閉合曲面S，根據(jù)散度定理，有，此式表明，通過任意閉合曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為0.如圖2-3所示，半徑為a的球體內(nèi)均勻充滿著密度為ρ0的體電荷，球體中有一半徑為b的小球空腔，其中O和O'分別為球體和空腔的圓心，兩個球心距離為d，P意一點(diǎn)，為O點(diǎn)指向P點(diǎn)的位置矢量，為O'點(diǎn)指向P點(diǎn)的位置矢量，求小球空腔中任意點(diǎn)P的電場分布。[南京理工大學(xué)2011研]解：先求均勻充滿著密度為ρ的體電荷球體內(nèi)一點(diǎn)A電場分布，由高斯定理，可得，即有，其中為圓心O指向A點(diǎn)矢量。那么在該題中，可以像空腔是由密度為ρ0的體電荷和－ρ0的體電荷球體組成的，這樣不響結(jié)果，并且計算簡便。利用上述結(jié)果知道：P點(diǎn)在ρ0的體電荷球體內(nèi)電場為 ，P點(diǎn)在－ρ0的體電荷球體內(nèi)電場為 兩者矢量疊加得到 （為O指的矢量）。如圖2-4腔中心處有一點(diǎn)電荷。求空間任意點(diǎn)的電位；求點(diǎn)電荷受到的電場力；若點(diǎn)電荷偏離空腔中心（但仍在空腔內(nèi)），空間的電位和點(diǎn)電荷受到的電場力無變化？[電子科技大學(xué)2012年研]解：（1）導(dǎo)體球外： ，式中，為導(dǎo)體球外任一點(diǎn)到點(diǎn)得距離；空腔內(nèi)：式中，為空腔內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離；導(dǎo)體中：；宏觀上講，導(dǎo)體空腔內(nèi)的電場強(qiáng)度為零，點(diǎn)電荷q受到的合力為零，即；導(dǎo)體中和球外地電位不變，空腔內(nèi)的電位和點(diǎn)電荷受到的電場力要改變。第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解復(fù)習(xí)筆記靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程是靜電場基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)表示，其積分形式為：微分形式為：介質(zhì)的本構(gòu)方程：邊界條件：兩理想介質(zhì)邊界條件：導(dǎo)體表面的邊界條件：靜電場的基本性質(zhì)：靜電場是有散無旋場，是一種保守場；電荷是靜電場的源，電力線由正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷，是非閉合曲線。靜電場電位函數(shù)的邊值條件電場強(qiáng)度，稱為靜電場的電位函數(shù)邊界條件：導(dǎo)體系統(tǒng)的電容雙導(dǎo)體的電容計算步驟：①根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀，選取合適的坐標(biāo)系；②假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷＋q和－q；③計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；④由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；⑤求比值，即得出所求電容。部分電容在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須將電容的概念推廣，引入部分電容的概念。①電位系數(shù)在由N的電位為：式中，稱為電位系數(shù)。下標(biāo)相同的 稱為自電位系數(shù)，下標(biāo)不同的稱為互電系數(shù)。②電容系數(shù)若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為：式中，稱為電容系數(shù)或感應(yīng)系數(shù)。下標(biāo)相同的稱為自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)，下標(biāo)不同的稱為互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)。③部分電容將各導(dǎo)體的電量表示為 式中， 與地之間的部分電容，稱為導(dǎo)體i的自有部分電容；導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的部分電容稱為導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間互有部分電容。靜電場能量與靜電力對N個帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，其總電能為：對連續(xù)分布電荷，電場能為：用場矢量表示能量為：式中被積函數(shù)定義為電能密度，即：上式表明靜電能量儲存在整個場域內(nèi)。電場力除用庫侖定律計算外，還可用虛位移法由能量的變化來計算導(dǎo)體和介質(zhì)所受靜電力，即：式中， 表示廣義坐標(biāo)，表示虛位移二、導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析積分形式：微分形式：邊界條件：由于,因此電位函數(shù)的邊界條件為恒定電場與靜電場的比擬均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜電場（電荷密度的區(qū)域）它們之間的對偶關(guān)系直接寫出，無需重新求解，這個方法也稱為靜電比擬法。三、恒定磁場分析積分形式：微分形式：邊界條件：恒定磁場磁位函數(shù)和邊界條件矢量磁位： ，表示矢量磁位。在庫侖規(guī)范下，滿足磁矢位A泊松方程：不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件為：標(biāo)量磁位：，表示標(biāo)量磁位在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中有：標(biāo)量磁位邊界條件：電感自感設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為Y，則磁鏈Y與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值為：稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感,單位是H（亨利）。自感的特點(diǎn)：自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)?；ジ袑蓚€彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2，當(dāng)回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈Y12也與I1成正比，其比例系數(shù)為：稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。同理，回路C2對回路C1的互感為：互感的特點(diǎn)：①互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)；②滿足互易關(guān)系，即M12＝M21；③與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值。N個電流回路系統(tǒng)的磁能：分布電流回路系統(tǒng)的磁能：由上式可得用場矢量表示的磁能：式中被積函數(shù)定義為磁能密度：兩電流回路間的作用力，也可像靜電力一樣，用虛位移法求得：四、靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理邊值問題的類型邊值問題（或狄里赫利問題）：已知場域邊界面S上的位函數(shù)值，即。第二類邊值問題（或紐曼問題）：已知場域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即。第三類邊值問題（或混合邊值問題）：已知場域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 。惟一性定理在給定的邊界條件下，電位的泊松方程或拉普拉斯方程具有惟一解，稱為靜電場的惟一性定理。惟一性定理指出了靜電場的邊值問題具有惟一解的條件，同時為靜電場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)，也為解的正確性提供了判據(jù)。五、鏡像法基本思想是在所研究的場域以外的某些適當(dāng)位置上，用一些虛設(shè)的電荷（稱為鏡像電荷鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。根據(jù)惟一性定理，鏡像電荷的確定應(yīng)遵循以下兩條原則：所有鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中；鏡像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足場域邊界上的邊界條件來確定。如果兩導(dǎo)體平面不是相互垂直，而是相交成角，只要，這里的n為整數(shù)，就能用像法求解，其鏡像電荷數(shù)為有限的（2n－1）個。六、分離變量法基本思想是將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數(shù)表示成n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。七、有限差分法基本思想是將場域劃分成網(wǎng)格，把求解場域內(nèi)連續(xù)的場分布用求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散數(shù)值解來代替，即用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的差分方程近似替代域內(nèi)的偏微分方程來求解。課后習(xí)題詳解（一）思考題電位是如何定義的？中的負(fù)號的意義是什么？由靜電場基本方程▽×E＝0和矢量恒等可知，電場強(qiáng)度E可表示為標(biāo)量函數(shù)φ的梯度，即式中的標(biāo)量函數(shù)φ稱為靜電場的電位函數(shù)，簡稱電位；式中負(fù)號表示場強(qiáng)方向與該點(diǎn)電位梯度的方向相反?！叭绻臻g某一點(diǎn)的電位為零，則該點(diǎn)的電場強(qiáng)度也為零”么？答：不正確。因為電場強(qiáng)度大小是該點(diǎn)電位的變化率?！叭绻臻g某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為零，則該點(diǎn)的電位為零”答：不正確。此時該點(diǎn)電位可能是任一個不為零的常數(shù)。答：邊界條件起到給方程定解的作用。電容是如何定義的？寫出計算電容的基本步驟。答：兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為任一導(dǎo)體上的總電荷與兩導(dǎo)體之間的電位差之比，即其基本計算步驟：①根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀，選取合適坐標(biāo)系；②假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷＋q和－q；③根據(jù)假定電荷求出E；④由求得電位差；⑤求出比值部分電容與等效電容的含義。答：多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容是指多導(dǎo)體系統(tǒng)中一個導(dǎo)體在其余導(dǎo)體的影響下，與另一個導(dǎo)體構(gòu)成的電容。計及大地影響的平行雙線傳輸線，如圖3-1-1所示，它有三個部分電容C11、C12和C22，導(dǎo)線1、2間的等效電容為 ；導(dǎo)線1和大地間的等效電容為 ；導(dǎo)線和大地間的等效電容為圖3-1-1計算靜電場能量的公式和之間有何聯(lián)系？在什么條件下二是一致的？答：表示連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量計算公式，雖然只有ρ≠0的區(qū)域才對分有貢獻(xiàn)，但不能認(rèn)為靜電場能量只存在于有電荷區(qū)域，它只適用靜電場。表示靜電場能量存在于整個電場區(qū)域，所有E≠0區(qū)域?qū)Ψe分都有貢獻(xiàn)，既適用于靜電場，也用于時變電磁場，當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，閉合面S無限擴(kuò)大時，有限區(qū)內(nèi)的電荷可近似為點(diǎn)電荷時，二者是一致的。什么叫廣義坐標(biāo)和廣義力？你了解虛位移的含義嗎？答：廣義坐標(biāo)是指確定系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體的形狀，尺寸和位置的一組獨(dú)立幾何量；而企圖改變某一廣義坐標(biāo)的力，就為對應(yīng)該坐標(biāo)的廣義力，廣義坐標(biāo)發(fā)生的位移，稱為虛位移。答：恒定電場是保守場，恒定電流是閉合曲線。恒定電場與靜電場比擬的理論根據(jù)是什么？靜電比擬的條件又是什么？答：理論依據(jù)是惟一性定理，靜電比擬的條件是兩種場的電位都是拉普拉斯方程的解且邊界條件相同。什么是矢量磁位A和標(biāo)量磁位φm？簡要敘述在恒定磁場分析中引入A和φm的優(yōu)點(diǎn)?！ぃè尅罙）＝0和▽·B＝0，可令B＝▽×A，式中的A為矢量磁位，或稱磁矢位，它是一輔助矢量，無明確物理意義，若所研究的空間J＝0，則▽×H＝0，所以H可表示為一標(biāo)量函數(shù)的梯度，即H＝－▽φm，式中φm為標(biāo)量磁位。通過矢量磁位A來求磁感應(yīng)強(qiáng)度B和通過標(biāo)量磁位φm來求磁場強(qiáng)度H都比較簡單，特別是在適當(dāng)選擇的坐標(biāo)系下。如何定義電感？你會計算平行雙線、同軸線的電感嗎？答：在恒定磁場中把穿過回路的磁通量與回路中的電流的比值稱為電感系數(shù)，簡稱電感。平行雙線和同軸線的電感計算見教材例3.3.4及例3.3.5。寫出用磁場矢量B、H表示的計算磁場能量的公式。答：力呢？兩種條件下得到的結(jié)果是相同的嗎？答：兩種情況下求出的磁場力是相同的。什么是靜態(tài)場的邊值問題？用文字?jǐn)⑹龅谝活悺⒌诙惣暗谌愡呏祮栴}。答：靜態(tài)場的邊值型問題是指已知場量在場域邊界上的值，求場域內(nèi)的場分布問題。第一類邊值問題：已知位函數(shù)在場域邊界面S上各點(diǎn)的值，即給定二類邊值問題：已知位函數(shù)在場域邊界面S上各點(diǎn)的法向?qū)?shù)值，即給定 第三類邊值問題：已知一部分邊界面S1上位函數(shù)的值，而在另一部分邊界S2上已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定用文字?jǐn)⑹鲮o態(tài)場解的惟一性定理，并簡要說明它的重要意義。惟一性定理：在場域V的邊界面S上給定φ或的值，則泊松方程或拉普拉斯程在場域V內(nèi)具有惟一解。（2）意義：①它指出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件。在邊界面S上的任一點(diǎn)只需給定φ或的值，而不能同時給定兩者的值；②它為靜態(tài)場值問題的各種求解方法提供理論依據(jù)，為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。什么是鏡像法？其理論根據(jù)是什么？答：鏡像法是間接求解邊值問題的一種方法，它是用假想的簡單電荷分布來等效代替分界面上復(fù)雜的電荷分布對電位的貢獻(xiàn)，不再求解泊松方程，只需求像電荷和邊界內(nèi)給定電荷共同產(chǎn)生的電位，從而使求解簡化，理論依據(jù)是唯一性定理和疊加原理。如何正確確定鏡像電荷的分布？答：①所有鏡像電荷必須位于所求場域以外的空間中；②鏡像電荷的個數(shù)，位置及電荷量的大小以滿足場域邊界面上的邊界條件來確定。什么是分離變量法？在什么條件下，它對求解位函數(shù)的拉普拉斯方程有用？答：分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法。它是把待求的位函數(shù)表示為幾個未知函數(shù)的乘積，該未知函數(shù)僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)，通過分離變量，把原偏微分方程化為幾個常微分方程并求解最后代入邊界條件求定解。應(yīng)用分離變量法求解時，所求場域的邊界面應(yīng)與某一正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。在直角坐標(biāo)系的分離變量法中，分離常數(shù)k答：不可以，k若為虛數(shù)則為無意義的解。（二）習(xí)題長度為L的線電荷，電荷密度為常數(shù)ρl0。計算線電荷平分面上的電位函數(shù)φ；利用直接積分法計算平分面上的E，并用E＝－▽φ由（1）驗證（2）解：（1）根據(jù)題意，以線電荷中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)如圖3-2-1所示。圖3-2-1在線電荷上取一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x,0），從原點(diǎn)到（x,0）設(shè)為矢量r1，原點(diǎn)到P（0,y0）設(shè)為矢量r2，（x,0）到P（0,y0）設(shè)為矢量r3，則有則由題意知，線電荷平分面上的電位函數(shù)（2）由對稱性可知，線電荷在平分面上產(chǎn)生的場強(qiáng)只有沿y軸方向的分量，即由于因此驗證得 成立。點(diǎn)電荷ql＝q位于點(diǎn)P1（－a，0，0），另一點(diǎn)電荷q2＝－2q，位于點(diǎn)P2（a，0，0），求空間的零電位面。解：根據(jù)題意，點(diǎn)電荷q1在空間任一點(diǎn)P（x,y,z）的電位同理點(diǎn)電荷q2在空間任一點(diǎn)P（x,y,z）的電位由電位疊加原理可得點(diǎn)電荷q1與q2在空間任一點(diǎn)P（x,y,z）的電位由題意，在零電位面有 ，即，化簡可得 所以空間的零電位面是以為球心，為半徑的球面。電場中有一半徑為a的圓柱體，已知圓柱體內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為求圓柱體內(nèi)、外的電場強(qiáng)度；這個圓柱體是什么材料制成的?其表面上有電荷分布嗎?解：（1）根據(jù)題意，由場強(qiáng)與電位的關(guān)系，可知在圓柱體內(nèi)，即當(dāng)時，電場強(qiáng)度，在圓柱體外，即當(dāng)時，電場強(qiáng)度由圓柱體內(nèi)電場強(qiáng)度為0，可知該圓柱體是由導(dǎo)電材料（導(dǎo)體）荷分布。由電位邊界條件可得圓柱體表面電荷面密度。已知y＞0的空間中沒有電荷，試判斷下列函數(shù)中哪些是可能的電位解?解：由靜態(tài)電場的性質(zhì)知，當(dāng)在的空間中沒有電荷時，則在的空間其電位函數(shù)足拉普拉斯方程。對于 ，由于因此 不是空間中電位的解；對于 ，由于因此 是空間中電位的解；對于，由于因此也不是空間中電位的解；對于，由于因此也不是空間中電位的解；綜上，只有是可能的電位函數(shù)的解一半徑為R0的介質(zhì)球，介電常數(shù)為ε＝εrε0，其內(nèi)均勻地分布著體密度為ρ荷，試證明該介質(zhì)球中心點(diǎn)的電位為。證明：由題意，當(dāng)時，由電介質(zhì)中的高斯定有代入題目條件得解得球內(nèi)電位移分布，電場分布同理，當(dāng)時，有解得，；題目得證。電場中有一半徑為a、介電常數(shù)為ε的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為試驗證介質(zhì)球表面上的邊界條件，并計算介質(zhì)球表面上的束縛電荷密度解：（1）由題意知，當(dāng) 時，介質(zhì)球內(nèi)的電位函數(shù)值介質(zhì)球外的電位函數(shù)值故在邊界上；（2）由題意，當(dāng)時，因此在邊界上還有所以介質(zhì)球表面有兩個邊界條件： 和。介質(zhì)球表面上的束縛電荷密度。兩塊無限大導(dǎo)體平板分別置于x＝0和x＝d板的電位分別設(shè)為0和U0，如圖3-2-2所示，求兩導(dǎo)體板之間的電位和電場強(qiáng)度。解：根據(jù)題意，由泊松方程得可解得電位分布函數(shù)3-2-2可知存在邊界條件 將上述邊界條件代入電位分布函數(shù)，可解得 ，，因此，兩導(dǎo)體板之間的電位函數(shù)為兩導(dǎo)體板之間的電場強(qiáng)度函數(shù)為試證明：同軸線單位長度的靜電儲能，式中ql為單位長度上的電荷量，C上的電容。證明：根據(jù)題意，在同軸線上取長為1m的一段，由電介質(zhì)中的高斯定理同軸線上單位長度的電場強(qiáng)度為，方向沿軸的徑向；積分可得同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓 同軸線單位長度的電容同軸線單位長度的靜電能題目得證。有一半徑為a、帶電荷量q的導(dǎo)體球，其球心位于介電常數(shù)分別為ε1和ε2的兩種介質(zhì)分界面上，設(shè)該分界面為無限大平面。試求：（1）導(dǎo)體球的電容；（2）解：（1）根據(jù)題意可知，在兩種介質(zhì)的分界面上有邊界條件，電場方向沿向。對于導(dǎo)體球，由電介質(zhì)中的高斯定理，有即可解得孤立導(dǎo)體球的電場分布為積分得孤立導(dǎo)體球的電位分布為因此，孤立導(dǎo)體球的電容 。（2）孤立導(dǎo)體球的靜電能量兩平行的金屬板，板間距離為d，豎直地插入介電常數(shù)為ε電壓U0，試證明液面升高式中的ρ為液體的質(zhì)量密度，g為重力加速度。證明：如圖3-2-3所示。圖3-2-3設(shè)電容器極板面積，極板的寬度為，高度為，液面升高為h?？山獾秒娙萜鞔鎯Φ撵o電能則液體所受的電場力為 方向豎直向上。液體所受的重力 方向豎直向下。由題意知，液體所受的電場力與重力平衡，即解得液面升高的高度 。同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c；內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充兩層有損耗介質(zhì)，其介電常數(shù)分別為ε1和ε2，電導(dǎo)率分別為σ1，和σ2面，分界面半徑為b。當(dāng)外加電壓U0時，試求：介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分布；同軸電纜單位長度的電容及漏電阻。解：（1）位長度的總電流必相等，設(shè)該電流為。由，有解得電流密度矢量，沿徑向向外由，可得介質(zhì)1中的電場強(qiáng)度，介質(zhì)2中的電場強(qiáng)度 ，同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體的電壓同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體間流過的電流同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體間流過的電流密度同軸電纜介質(zhì)1中的電場強(qiáng)度分布同軸電纜介質(zhì)2中的電場強(qiáng)度分布（2）電介質(zhì)1的電容為 ，電介質(zhì)2的電容為 ，由題意同軸電纜可視為兩電容的串聯(lián)，則同軸電纜單位長度的總電容同軸電纜單位長度的漏電阻在電導(dǎo)率為σ的無限大均勻介質(zhì)內(nèi)，有兩個半徑分別為R1和R2小球之間的距離為d（設(shè)、），試求兩個小導(dǎo)體球.面之間的電阻。（注：只需求一級近似解）。解：由題意知、，設(shè)兩小球帶電量分別為，且電量集中在小球中心，可得兩小球表面電位，，由電容的定義，得兩小球表面間的電容由靜電比擬法得兩小球表面間的電導(dǎo)則兩小球表面間的電阻。在一塊厚度為d的導(dǎo)體板上，由兩個半徑分別為r1和r2的圓弧和夾角為α出的一塊扇形體，如圖3-2-4所示。試求：沿導(dǎo)體板厚度方向的電阻；兩圓弧面間的電阻；沿α方向的兩電極間的電阻。設(shè)導(dǎo)體板的電導(dǎo)率為σ。解：（1）根據(jù)題意，設(shè)在兩極板厚度方向所加的電壓為，則兩極板厚度方向的電流密度兩極板厚度方向的電流，兩極板厚度方向的電阻設(shè)在兩極板徑向所加的電壓為，由 得沿徑向兩極板間的場則沿徑向兩極板間的電壓因此兩圓弧面間的電阻 設(shè)在沿方向兩極板間所加的電壓為，則沿方向兩極板間的電場強(qiáng)沿方向兩極板間的電流密度沿方向兩極板間的電流則沿方向兩極板間的電阻有用圓柱坐標(biāo)系表示的電流分布，試求矢量磁位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B解：根據(jù)題意，由磁位矢的泊松方程有①②在圓柱坐標(biāo)系下，由方程①有，即解得矢量磁位 磁感應(yīng)強(qiáng)度同理，對方程②有，即解得矢量磁位 ，磁感應(yīng)強(qiáng)度由題意，當(dāng) 時，，因此可得，，代入上面兩式，可得當(dāng) 時，有邊界條件，即可解得因此，矢量磁位A的分布函數(shù)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的分布函數(shù)。無限長直線電流I垂直于磁導(dǎo)率分別為μ1和μ2的兩種磁介質(zhì)的分界面，如圖3-2-5示，試求：兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1和B2；磁化電流分布。解：（1）根據(jù)題意，由安培環(huán)路定理可得無限長直導(dǎo)線在磁介質(zhì)1中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在磁介質(zhì)2中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度（2）由磁化強(qiáng)度，可得磁介質(zhì)1中的磁化強(qiáng)度磁介質(zhì)2中的磁化強(qiáng)度則磁化電流體密度 磁化電流面密度已知一個平面電流回路在真空中產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為H0導(dǎo)率分別為μ1和μ2的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面上，試求兩種磁介質(zhì)中的磁場強(qiáng)度H1和H2。解：圖3-2-6題意知，磁場強(qiáng)度H垂直于兩種磁介質(zhì)的分界面，。如圖3-2-6所示在垂直于分界面的平面上做一矩形回路，則由安培環(huán)路定理，有當(dāng)兩側(cè)為真空時，有可得，進(jìn)一步可得到由，即可得 。因此磁介質(zhì)1中的磁場強(qiáng)度 磁介質(zhì)2中的磁場強(qiáng)度 。證明：在不同磁介質(zhì)的分界面上，矢量磁位A證明：根據(jù)題意，由磁場的邊界條件，有在分界面上對上式進(jìn)行面積分，即 由斯托克斯定理，有由庫倫規(guī)范，可得判定A是一漩渦場要使，則需滿足 ，因此矢量磁位A的切向分量是連續(xù)的，題目得證。長直導(dǎo)線附近有一矩形回路，此回路與導(dǎo)線不共面，如圖3-2-7線與矩形回路間的互感為證明：根據(jù)題意，設(shè)長直導(dǎo)線中電流為，由安培環(huán)路定理得長直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度根據(jù)圖3-2-7的幾何關(guān)系，可得穿過矩形回路的磁通量將代入中，可得由互感的定義，有題目得證。同軸線的內(nèi)導(dǎo)體是半徑為a的圓柱，外導(dǎo)體是半徑為b計。內(nèi)、外導(dǎo)體間填充有磁導(dǎo)率分別為μ1和μ2的兩種磁介質(zhì)，如圖3-2-8所示。設(shè)同軸線中通過的電流為I，試求：同軸線中單位長度所儲存的磁場能量；同軸線單位長度的自感。解：（1）根據(jù)題意，取單位長度的同軸線為研究對象。由安培環(huán)路定理，有得由邊界條件，可得因此，單位長度同軸線所存儲的磁場能量（2）由可得單位長度同軸線的自感如圖3-2-9所示的長螺線管，單位長度上密繞N匝線圈，通過電流I為μ、截面積為S，求作用在它上面的磁場力。解：根據(jù)題意，選取鐵芯的軸向為x軸方向，如圖3-2-9所示由安培環(huán)路定理有鐵芯內(nèi)的磁場強(qiáng)度 設(shè)螺線管中的鐵芯沿其軸向有一微小位移dx，則磁場能的變化為因此，作用在鐵芯上的磁場力。一個點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移到無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功解：圖3-2-10根據(jù)題意，設(shè)為點(diǎn)電荷對于無限大導(dǎo)體面的鏡像電荷，如圖3-2-10所示，且 ，則鏡像電荷在x軸正向產(chǎn)生的電場為 將此點(diǎn)電荷移到無窮遠(yuǎn)處，電場力作功一個點(diǎn)電荷q放在60°的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)（1，1，0）處，如圖3-2-11求：所有鏡像電荷的位置和大小；點(diǎn)P（2，1，0）處的電位。解：圖3-2-12當(dāng)兩導(dǎo)體相交成 角時，只要，n為整數(shù)，則兩導(dǎo)體中的鏡像電荷為個。由題意知，因此兩導(dǎo)體中的鏡像電荷為5個，如圖3-2-12所示。5個鏡像電荷的位置和大小分別為根據(jù)題意，由電位的疊加原理，可得點(diǎn)P（2,1,0）處的電位為一個電荷量為q、質(zhì)量為m的小帶電體，放置在無限大導(dǎo)體平面的下方，與平面相距為h。欲使帶電體受到的靜電力恰好與重力相平衡，電荷q的量值應(yīng)為多少?（設(shè)－3kg，h＝0.02m）解：根據(jù)題意，設(shè)鏡像電荷在無限大導(dǎo)體平面上方，距導(dǎo)體距離為h，且 。則電荷所受的吸引力為 由題知帶電體受到的靜電力與其重力平衡，有解得電荷的帶電量。一個半徑為R的導(dǎo)體球帶有電荷Q，在球體外距離球心為D處有一個點(diǎn)電荷q。求點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球之間的靜電力；明：當(dāng)q與Q同號，成立時，F(xiàn)表現(xiàn)為吸引力。解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)電荷q在導(dǎo)體球內(nèi)有兩個鏡像電荷，分別為，，則點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球之間的靜電力（2）證明：當(dāng)時，變換可得又點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球電荷Q同號，因此有點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球之間的靜電力即F表現(xiàn)為吸引力，題目得證。一個半徑為a的無限長金屬圓柱薄殼，平行于地面，其軸線與地面相距為h薄殼內(nèi)距軸線為r0處，平行放置一根電荷線密度為ρl的長直細(xì)導(dǎo)線，如圖3-2-13所示。設(shè)圓柱薄殼與地面間的電壓為U0，求金屬圓柱薄殼內(nèi)、外的電位分布。解：由題意知，電荷線密度為的長直細(xì)導(dǎo)線的鏡像電荷為，如圖14（a）所示。圖3-2-14對于金屬圓柱殼內(nèi)的任一點(diǎn)，其電位是與共同作用的結(jié)果，有；當(dāng) 時，，解，代入可得金屬圓柱殼內(nèi)的電位分布為度電荷為，則鏡像電荷為，如圖3-2-14（b）所示。圖中則圓柱外任一點(diǎn)（x,y）的電位為完整形式為 由題意知，當(dāng)時，可解得 因此，金屬圓柱殼外的電位分布為。如圖3-2-15所示，在z＜0的下半空間是介電常數(shù)為ε距離介質(zhì)平面h處有一點(diǎn)電荷q。試求：z＞0和z＜0的兩個半空間內(nèi)的電位分布；電介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上的極化電荷總量等于鏡像電荷q'。解：圖3-2-16如圖3-2-16所示，鏡像電荷分別為，位于處；，位于處，則在的半空間內(nèi)的電位分布函數(shù)在的半空間內(nèi)的電位分布函數(shù)設(shè)點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的場強(qiáng)為E0，點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為 ，點(diǎn)電荷 產(chǎn)生的場強(qiáng)為 則在 的半空間內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng) 在 的半空間內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng) 兩介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度為兩介質(zhì)分界面上的極化電荷總量題目得證。磁導(dǎo)率分別為μ1和,μ2的兩種磁介質(zhì)的分界面為無限大平面，在磁介質(zhì)1中，有一個半徑為a、載電流為I的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，與分界面平行且相距為h，如圖3-2-17細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所受的磁場力。解：圖3-2-18根據(jù)題意，設(shè)電流為I的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)的鏡像圓環(huán)電流為I’，與分界面相距h，如圖3-2-18所示，則由題意 ，兩線圈的互感為則細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所受的磁場力平行雙線傳輸線的半徑為a，線間距為d。在傳輸線下方h處放置相對磁導(dǎo)率為μr鐵磁性平板，如圖3-2-19所示。設(shè)，，試求此傳輸線單位長度的外自感。解：圖3-2-20設(shè)平行雙線傳輸線的雙線鏡像為內(nèi)電流為的平行雙線，距離分界面為h，如圖3-2-20示。則 由題意傳過兩導(dǎo)線之間軸線方向單位長度面積的磁通量由自感的定義可得傳輸線單位長度的外自感如圖3-2-21所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位U0電位分布。解：如圖3-2-21，可知導(dǎo)體槽電位函數(shù)的邊界條件為設(shè)電位函數(shù)的通解為將 代入上式有解得系數(shù)將系數(shù)代入上述通解式，可得槽內(nèi)的電位分布函數(shù)為如圖3-2-22所示，兩塊無限大接地導(dǎo)體板，兩板之間有一與z軸平行的線電荷ql位置為（0，d），求板間的電位分布。解：根據(jù)題意，將無限大導(dǎo)體板間的空間分割為 和 兩個區(qū)域，將線電荷密度示為面電荷密度的形式。則由題意可得板間的空間內(nèi)電位的邊界條件：②③將邊界條件③代入上述方程組，得進(jìn)一步解得板間的電位分布函數(shù)為如圖3-2-23所示，在均勻電場E0＝exE0中垂直于電場方向放置一根半徑為a長導(dǎo)體圓柱。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場強(qiáng)度，并求導(dǎo)體圓柱表面上的感應(yīng)電荷密度。解：根據(jù)題意，均勻電場中的導(dǎo)體為等勢體，設(shè)導(dǎo)體電勢為C，C為一常數(shù)。圖3-2-24如圖3-2-24所示，外電場E0的電位為由題意，設(shè)極化電荷的電位