量綱分析法在橋梁模型試驗(yàn)中的應(yīng)用

量綱分析法在橋梁模型試驗(yàn)中的應(yīng)用

結(jié)構(gòu)試驗(yàn)主要用于驗(yàn)證設(shè)計(jì)理論，并確定復(fù)雜結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的張力狀態(tài)。模型設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是求出各物理量的相似指標(biāo)。如果結(jié)構(gòu)的所求量可以用材料力學(xué)或彈性力學(xué)的知識(shí)求得,那么就可以采用方程分析的方法來求相似指標(biāo);但很多大型的橋梁結(jié)構(gòu)多為高次超靜定結(jié)構(gòu)或三維彈性體,很難用方程明確的表示出各物理量的函數(shù)關(guān)系,只能找出與其相關(guān)的物理量的單位關(guān)系,因此在進(jìn)行相似指標(biāo)的推導(dǎo)過程中引入了量綱分析法。量綱分析法以量綱均衡性分析為基礎(chǔ),可以采用量綱矩陣分析的方法來確定相似指標(biāo)。量綱的均衡性要考慮以下幾個(gè)方面:①物理量相等,不僅要求數(shù)值相等,而且要求量綱相等;②兩個(gè)同量綱參數(shù)的比值是無量綱參數(shù),其值不隨所取單位的大小而變;③導(dǎo)出量綱可和基本量綱組成無量綱組合,但基本量綱之間不能組成無量綱組合;④一個(gè)物理量中若有n個(gè)物理參數(shù)、m個(gè)基本量綱,則可組成(n-m)個(gè)獨(dú)立的無量綱參數(shù)組合;⑤一個(gè)物理方程式中若含有n個(gè)參數(shù)x1,x2,…,xn和m個(gè)基本量綱,則該方程可改寫成有(n-m)個(gè)獨(dú)立π因子的判據(jù)方程,即一般物理方程f(x1,x2,…,xn)=0改寫為判據(jù)方程?(π1,π2,…,πn-m)=0;⑥一個(gè)物理方程中,等式兩邊各項(xiàng)的量綱必須相等。1岳陽海溝大橋三塔斜橋模型的靜力相似1.1結(jié)構(gòu)體系的設(shè)計(jì)岳陽洞庭湖大橋?yàn)橐蛔鳂驗(yàn)?30+2×310+130m的三塔雙索面PC斜拉橋,模型縮尺比為30/1。該模型為組合體系,梁和塔采用鋁合金材料,索為高強(qiáng)彈簧鋼絲束,而實(shí)橋主梁和塔為鋼筋混凝土材料,索為高強(qiáng)鋼絲束,使得彈性模量作單獨(dú)的物理量不合理。因此,采用剛度近似的方法來確定模型的尺寸,并把結(jié)構(gòu)的軸向剛度和彎曲剛度即EA、EI和EW作為復(fù)合物理量來確定相似關(guān)系。1.2有限元模型分析本模型作為彈性模型設(shè)計(jì),首先需確定相似常數(shù)(包括幾何相似常數(shù)CL和彈性模量相似常數(shù)CE),而其它的物理量相似常數(shù)都是CL和CE的函數(shù)。對(duì)于其它的物理量的相似常數(shù),通過量綱分析的方法,可以得到:Cσ=CE?Cu=1?Cρ=CE/CL?Cε=1?CL=Cδ?Cφ=1?CA=C2L?CΙ=C4L?CF=CEC2L?Cq=CECL?CΜ=CEC3L}(1)Cσ=CE?Cu=1?Cρ=CE/CL?Cε=1?CL=Cδ?Cφ=1?CA=C2L?CI=C4L?CF=CEC2L?Cq=CECL?CM=CEC3L}(1)式中:σ、E,u、ρ、ε為應(yīng)力、彈性模量、泊松比、比重、應(yīng)變;L、δ、φ、A為幾何尺寸、線位移、角位移、面積;F、q、M為集中荷載、線荷載、彎矩。采用方程分析法,設(shè)該模型受靜力荷載,當(dāng)模型梁與原型相似時(shí),有如下關(guān)系:εp=Cεεm?Ρp=CpΡm,(EA)p=CEA(EA)m,Μp=CΜCm,(EW)p=CEW(EW)m,σp=Cσσm}(2)εp=Cεεm?Pp=CpPm,(EA)p=CEA(EA)m,Mp=CMCm,(EW)p=CEW(EW)m,σp=Cσσm}(2)根據(jù)材料力學(xué),梁在集中荷載P作用點(diǎn)處截面應(yīng)力為:σ=ΡA+ΜWσ=PA+MW。令σ=Eε,可得:ε=ΡEA+ΜEWε=PEA+MEW。因模型與原型相似,且荷載作用在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上,則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的應(yīng)力可表示如下:εm=Ρm/(EA)m+Μm/(EW)mεp=Ρm/(EA)p+Μm/(EW)p}(3)εm=Pm/(EA)m+Mm/(EW)mεp=Pm/(EA)p+Mm/(EW)p}(3)將(2)式代入(3)式得:εm=CpΡmCεCEA(EA)m+CΜΜmCεCEW(EW)m(4)εm=CpPmCεCEA(EA)m+CMMmCεCEW(EW)m(4)要使(4)式與(2)式符合則應(yīng)有:CpCεCEA=1?CΜCεCEΜ=1(5)CpCεCEA=1?CMCεCEM=1(5)得到相似判據(jù):π1=ΡεEA?π2=ΜεEΜ?σ=Eε?π3=σEεπ1=PεEA?π2=MεEM?σ=Eε?π3=σEε。在用有限元分析橋梁結(jié)構(gòu)的受力時(shí),單元?jiǎng)偠确匠虨镻e=Keδe(Ke為單元?jiǎng)偠染仃?。同樣采用方程分析的方法,可以得到:π4=pLEAδ?π5=pL3EAδ?π6=pL2EAφ?π7=ΜL2EAδπ4=pLEAδ?π5=pL3EAδ?π6=pL2EAφ?π7=ML2EAδ以上推導(dǎo)的靜力模型的相似性與文獻(xiàn)的結(jié)果一致。2岳陽海溝大橋三塔斜橋模型的動(dòng)力相似2.1量綱及相似判據(jù)彈性結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型試驗(yàn),要服從彈性的規(guī)律。因?yàn)樵谡駝?dòng)時(shí)有慣性力,為使慣性力的縮尺比不會(huì)與力的縮尺比發(fā)生矛盾,要求橋梁動(dòng)力模型試驗(yàn)的變形與原型相似。這樣一來,就取消了一個(gè)可自由選擇的基本量,而只有兩個(gè)比例尺寸可以選擇。對(duì)于振動(dòng)問題,取定長(zhǎng)度L、時(shí)間T、力F作為3個(gè)基本量綱,采用量綱矩陣的分析方法根據(jù)相似第二定理,求取π因子建立各物理量的關(guān)系。這些物理量的一般函數(shù)形式為F(H,d,wρ,u,a,l,F,v,E)=0,用π來表示這個(gè)無量綱:π=ΗadbWcρdueaflgFhvlEm(6)π=HadbWcρdueaflgFhvlEm(6)基本量綱為F、L、T(采用力量系統(tǒng)),各物理量的量綱見表1。量綱矩陣為:式(6)中各指數(shù)間關(guān)系聯(lián)立方程為:-a+d+h+m=0(對(duì)F而言)a+b-4d+f+g+l-2m=0(對(duì)L而言)-c+2d-2f-l=0(對(duì)Τ而言)?a+d+h+m=0(對(duì)F而言)a+b?4d+f+g+l?2m=0(對(duì)L而言)?c+2d?2f?l=0(對(duì)T而言)移項(xiàng)得:c=2d-2f-l;b=-a+4d-f-g-l+2m;h=a-d-m。列出π矩陣:得到相似判據(jù)為:π1=ΗFL?π2′=ρω2d4F?π3=u?π4=aω2d?π5=ld?π6=vωd?π7=Ed2Fπ1=HFL?π2′=ρω2d4F?π3=u?π4=aω2d?π5=ld?π6=vωd?π7=Ed2F。將π2′=ρω2d4F與π7=Ed2F結(jié)合可得π2=1ωl√Eρ。本文考慮的為理想模型,目的是要模擬慣性力、恢復(fù)力和重力三種力的相似,因此對(duì)模型材料的彈性模量和密度的要求較嚴(yán)格,需要滿足的條件是CE/(CgCρ)=Cl。因?qū)崢蚝湍Ｐ蜆蛱幱谕恢亓?chǎng)中,Cg=1,故有:CE/Cρ=Cl(7)由式(7)聯(lián)立相似判據(jù)π2得:Cω=√CE/Cl/Cρ(8)由以上相似判據(jù)可得動(dòng)力學(xué)理想模型的相似常數(shù):Cσ=CE?Cε=1?Cu=1?Cρ=CE/Cl?Cδ=Cl?CF=CEC2L?Cω=C-1/2l?Ca=1?Cg=1?Cv=C1/2l,Ct=C1/2l2.2模態(tài)分析的應(yīng)用按照常規(guī)方法分析大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性時(shí),經(jīng)常遇到建立結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型的巨大困難。為了解決這一問題,采用了模態(tài)分析的方法來確定結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(固有頻率、主振型、廣義阻尼、廣義質(zhì)量和廣義剛度),并進(jìn)而建立結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。在該模型中,可以通過測(cè)定各個(gè)部件的阻抗數(shù)據(jù),建立各自的數(shù)學(xué)模型,然后通過模態(tài)綜合技術(shù)估算出各結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。下面確定本試驗(yàn)過程中模態(tài)參數(shù)的相似關(guān)系。1模型的頻率由前面推出的結(jié)論可知模態(tài)頻率比的表達(dá)式即為(8)式。2模型橋基礎(chǔ)參數(shù)及測(cè)點(diǎn)確定多自由度體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為:Μ??Y+C˙Y+ΚY=Ρ(t)(9)假設(shè)P(t)為簡(jiǎn)諧激振力,它可表為如下形式:Ρ(t)=Ρeiθt(10)其穩(wěn)態(tài)解為Y(t)=ρeiθt(11)根據(jù)瑞雷阻尼理論,阻尼矩陣C是質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合,即:C=aΜ+bΚ(12)其中a、b為常數(shù)。將(10)～(12)式代入(9)式可得位移傳遞函數(shù):Ηrn=m∑i=1φriφnimis2+Cis+Κi(13)由此式可知,由于該模型橋與實(shí)橋有相同的測(cè)點(diǎn),某階振型元素φi與頻響函數(shù)Hri成正比關(guān)系,所以可以得到Cφ=CH。由前面得出的相似判據(jù)π1、π5、π7可得:CΗRΙ=1ClCE=CφΙ(14)3各化學(xué)計(jì)量參數(shù)的確定由于模型橋的頻率比較低(ω?ωi),因此可將(13)式簡(jiǎn)化為Ηrn=φriφni-miω2,所以有:(φriφni-miω2)p/(φriφni-miω2)m=(Ηrn)p/(Ηrn)m由(8)和(14)式可得:Cmi=C3lCρ。4模式的硬度由ωi=√Κi/mi可得模態(tài)剛度的相