專題06 圖形的旋轉(zhuǎn)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試好題匯編（北師大版）（解析版）

專題06圖形的旋轉(zhuǎn)考向一：考向一：圖形的旋轉(zhuǎn)考向二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)考向三：坐標(biāo)與圖形的變換考向四：旋轉(zhuǎn)綜合題一、圖形的旋轉(zhuǎn)1．（2021·黑龍江綏化·八年級期末）如圖，下面四個選項中，哪個是由旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)前后的圖形組成的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)是圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，直接判斷即可．【詳解】解：A選項是由旋轉(zhuǎn)得到的，B、C、D選項是由軸對稱得到的，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的識別，解題關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的特征，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確判斷．2．（2021·江西吉安·八年級期末）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”；將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”．現(xiàn)將數(shù)學(xué)“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是（

）A．96 B．69 C．66 D．99【答案】B【解析】【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合69的特點得出答案．【詳解】解：現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：69．故選：B．【點睛】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，正確想象出旋轉(zhuǎn)后圖形是解題關(guān)鍵．二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1．（2021·甘肅·金昌市第五中學(xué)八年級期末）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝4，則BE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判斷出△AEB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BE=AB．【詳解】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等邊三角形，∴BE=AB，∵AB=4，∴BE=4．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.2．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，此時點恰好在AB邊上，連接B，則△的周長為（）A． B．1+ C．2+ D．3+【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得到，．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則可判斷△CA為等邊三角形，所以∠AC=60°，，從而可求出．判斷△CB為等邊三角形，從而得到B的長，進(jìn)而可求出△的周長．【詳解】∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，∴，．∵△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，此時點恰好在AB邊上，∴，，，．∵∠A=60°，∴△CA為等邊三角形，∴∠AC=60°，，∴∠BC=60°，，∴△CB為等邊三角形，∴B=BC=，∴．故選D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，點A、B分別與點對應(yīng)，邊分別交邊AB、BC于點D、E，如果點E是邊的中點，那么=__________【答案】【解析】【分析】設(shè)AC=1，則AB=2，BC=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，A1C=1，A1B1=2，B1C=，∠B1=∠B=30°，，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，證明△CEA1是等邊三角形，得出∠ECB1=∠B=30°，根據(jù)平行線的判定，得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)AC=1，則AB=2，BC=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，A1C=1，A1B1=2，B1C=，∠B1=∠B=30°，，∴∠CA1B1=60°，∵E是邊的中點，∴CE=EA1，∴△CEA1是等邊三角形，∴CE=A1C=1，，∴BE=，，∴∠ECB1=∠B=30°，∴∴，即，解得：，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，結(jié)合題目中的已知條件證明，是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，將Rt△ABC繞斜邊AB的中點P旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則旋轉(zhuǎn)角等于______.【答案】90°【解析】【分析】先由平行線的性質(zhì)得到，再由直角三角形兩銳角互余得到，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出，即可得到．【詳解】解：設(shè)與AB交于點F，∵，∴，∵在Rt△ABC中，AB是斜邊，∴∠A+∠B=90°，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)角為90°，故答案為：90°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東泰安·八年級期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，在平面內(nèi)將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，點A落到，點C落到，若旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點落在線段AB上，那么的長為______．【答案】或【解析】【分析】分兩種情況：點在線段AB上或線段AB的延長線上，由勾股定理可求出答案．【詳解】①當(dāng)點在線段AB上，如圖1，連接∠C＝90°，AC＝12，BC＝5在平面內(nèi)將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，點A落到，點C落到②當(dāng)點在線段AB的延長線上，如圖2，連接在平面內(nèi)將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，點A落到，點C落到綜上，的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河南鄭州·八年級期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點按如圖方式折疊放在一起（其中，，，）：(1)①若，則的度數(shù)為__________；②若，求的度數(shù)為__________．(2)由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)現(xiàn)固定，將繞點旋轉(zhuǎn)，點永遠(yuǎn)在直線上方，使兩塊三角尺有一組邊互相平行，請直接寫出所有滿足條件的的度數(shù)．【答案】(1)①；②(2)；理由見解析(3)；；；；【解析】【分析】（1）①根據(jù)∠DCE和∠ACD的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠BCE求得∠ACB的度數(shù)；②根據(jù)∠BCE和∠ACB的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠ACD求得∠DCE的度數(shù)；（2）根據(jù)∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，進(jìn)行計算即可得出結(jié)論；（3）分情況進(jìn)行討論，分別求得∠ACE角度即可．(1)①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，∴∠ACE=，∵∠BCE=90°，∴∠ACB=90°+45°=135°；故答案為135；②∵∠ACB=140°，∠ECB=90°，∴∠ACE=140°-90°=50°，∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°；故答案為40°；(2)猜想：；理由如下：，又，，即；(3)30°、45°、120°、135°、165°；當(dāng)∠ACE=30°時，AD∥BC，當(dāng)∠ACE=∠E=45°時，AC∥BE，當(dāng)∠ACE=120°時，AD∥CE，當(dāng)∠ACE=135°時，BE∥CD，當(dāng)∠ACE=165°時，BE∥AD．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，解題時注意分類討論思想的運用，分類時不能重復(fù)，也不能遺漏．三、坐標(biāo)與圖形的變換1．（2022·山東煙臺·八年級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．將△ABC繞某點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是_____________．

【答案】（1，-1）【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A的對應(yīng)點為D，B的對應(yīng)點為E，C的對應(yīng)點為F，同時旋轉(zhuǎn)中心在AD和BE的垂直平分線上，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A的對應(yīng)點為D，B的對應(yīng)點為E，C的對應(yīng)點為F作BE和AD的垂直平分線，交點為P∴點P的坐標(biāo)為（1，-1）故答案為：（1，-1）【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，圖形的旋轉(zhuǎn)需結(jié)合旋轉(zhuǎn)角求旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，常見的旋轉(zhuǎn)角有30°，45°，60°，90°，180°．2．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個等腰Rt△AOB，∠OAB=90°，直角邊AO在x軸上，且AO=1，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°并將兩直角邊延長，得到等腰Rt△A1OB1，且使A1O=2AO，再將Rt△A1OB1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，并將兩直角邊延長，得到等腰Rt△A2OB2，且使A2O=2A1O，…，依此規(guī)律，得到等Rt△A2022OB2022，則點A2022的坐標(biāo)為______．【答案】（-22022，0）【解析】【分析】根據(jù)題意得出A點坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點A2022的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，∴AB=OA=1，∴A（1，0），將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再將Rt△A1OB1繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此規(guī)律，∴每4次循環(huán)一周，A1（0，-2），A2（-4，0），A3（0，8），A4（16，0），∵2022÷4=5052，∴點A2022與A2都在x軸的負(fù)半軸上，∵-4=-22，8=23，16=24，∴點A2022（-22022，0）．故答案為：（-22022，0）．【點睛】此題主要考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律，得出B點坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2021·甘肅·金昌市第五中學(xué)八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的位置如圖所示，將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA1B1；再將△OA1B1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA2B2；再將△OA2B2繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA3B3；……依此類推，第2021次旋轉(zhuǎn)得到△OA2021B2021，則頂點A的對應(yīng)點A2021的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，即可得出每旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，進(jìn)而得到第2020次旋轉(zhuǎn)得到△OA2020B2020，則頂點A的對應(yīng)點A2020的坐標(biāo)與點A4的坐標(biāo)相同．【詳解】解：將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA1B1；此時，點A1的坐標(biāo)為（2，-1）；再將△OA1B1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA2B2；此時，點A2的坐標(biāo)為（-1，-2）；再將△OA2B2繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA3B3；此時，點A3的坐標(biāo)為（-2，1）；再將△OA3B3繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA4B4；此時，點A4的坐標(biāo)為（1，2）；∴每旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，∵2021÷4=505...1，∴第2020次旋轉(zhuǎn)得到△OA2021B2021，則頂點A的對應(yīng)點A2021的坐標(biāo)與點A1的坐標(biāo)相同，為（2，-1）；故答案為：（2，-1）．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．4．（2022·江蘇泰州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（2，0），點B在第一象限角平分線上，且BA⊥x軸，現(xiàn)將點A、B繞點O同時逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A繞點O旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)y軸上的點C時，點B剛好繞點O旋轉(zhuǎn)了45°到達(dá)y軸上的點D'處．則當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)一周回到（2，0）時，點B所在的位置坐標(biāo)為_____．【答案】（-2，-2）【解析】【分析】由題意，△AOB是等腰直角三角形，判斷出點B的位置，可得結(jié)論．【詳解】解：∵當(dāng)點A繞點O旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)y軸上的點C時，點B剛好繞點O旋轉(zhuǎn)了45°到達(dá)y軸上的點D'處，∴點A每旋轉(zhuǎn)90°，點B才旋轉(zhuǎn)45°，由題意，△AOB是等腰直角三角形，∵A（2，0），∴OA=OB=2，OB=2，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)一周回到（2，0）時，即點A旋轉(zhuǎn)了360°，則點B才旋轉(zhuǎn)了180°，∴點B位于第三象限角平分線上，此時B（-2，-2），故答案為：（-2，-2）．【點睛】本題考查了圖形變化-旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)確定位置，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．5．（2022·山東泰安·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是，，．(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的；平移△ABC，若點A對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，畫出．(2)若，繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到（1）中的，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)：______；【答案】(1)見解析(2)（―1，―2）【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的；根據(jù)平移的性質(zhì)，點A對應(yīng)的點A2的坐標(biāo)為（―4，―5），即可畫出；（2）結(jié)合（1）和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．(1)解：如圖，和即為所求；(2)解：結(jié)合（1）中的圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為：（―1，―2）．【點睛】本題考查了作圖－旋轉(zhuǎn)變換，坐標(biāo)與圖形變化－平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．6．（2022·山東濟(jì)南·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C；(2)平移△ABC，若A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(0，－4)，畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2；(3)若將△A1B1C1繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2，請畫出旋轉(zhuǎn)中心P．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖即可，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）利用網(wǎng)格特點和根據(jù)平移的性質(zhì)；作圖即可，找到對應(yīng)點，順次連接得出平移后的圖形；（3）連接對應(yīng)點的連線所得交點即為所求(1)如圖所示，△A1B1C為所作；(2)如圖所示，△A2B2C2為所作；(3)如圖，點P為所作，【點睛】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．四、旋轉(zhuǎn)綜合題1．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰凇鰽BC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1所示位置時，求證：DE=AD-BE；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時，補全圖形，并探索線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）．【答案】(1)見解析；(2)如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD【解析】【分析】（1）根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，有∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，則有∠ACD+∠BCE=90，即有∠CBE=∠ACD，結(jié)合，，可△ADC≌△CEB(AAS)，即可得DE=CE-CD=AD-BE；（2）按要求補全圖形，圖2、圖3的證明方法與（1）相同，均是通過證明△ADC≌△CEB(AAS)可得解．(1)證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(2)如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD，理由：如圖2，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD-CE=BE-AD；圖3的證明方法與圖2相同，均是通過證明△ADC≌△CEB(AAS)來得到結(jié)論．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADC≌△CEB(AAS)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北武漢·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，D為BC上一點，DEAB，且DE＝BD．(1)如圖1，若點E在AC邊上，求證：AE＝CE；(2)如圖2，若點E在△ABC內(nèi)，連接CE，F(xiàn)為CE的中點，連接AF、DF，求證：AF⊥DF；(3)如圖3，點N為AB邊上一點，連接BE，AN＝BE．若CN＋CE的值最小時，∠NCE的度數(shù)為___________°（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)30【解析】【分析】（1）連接，等邊中，根據(jù)，得到∠EDC=∠ABC=60°，根據(jù)，得到，得到平分，得到；（2）連接，延長到點，使，連接，，根據(jù)為的中點，得到，根據(jù)，推出，得到，，得到，根據(jù)，得到，證明，根據(jù)，得到，根據(jù)，推出，得到，；（3）將△CAN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，到△CBM，點N的對應(yīng)點為點M，連接ME，MN，EN，得到∠A=∠CMB=60°，AN=BM，∠EBM=∠EBC+∠CBM=30°+60°=90°，根據(jù)AN=BE，得到BM=BE，推出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)∠MCN=∠ACB=60°，CM=CN，推出△CMN是等邊三角形，得到CM=CN，得到CE+CN=CE+CM，∠MCE==90°時，CE+CM的值最小，CE+CN的值就最小，推出∠ECN=∠MCE-∠MCN=30°．(1)證明：連接，在等邊中，∠ABC=60°，∵，∴∠EDC=∠ABC=60°，且，∴，∴平分，∴；(2)證明：連接，延長到點，使，連接，，∵為的中點，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，∴∠ABC+∠BCG=180°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACG=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠ACG=60°，又，∴，又，∴，∴，；(3)將△CAN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，到△CBM，點N的對應(yīng)點為點M，連接ME，MN，EN，則∠A=∠CMB=60°,AN=BM，∴∠EBM=∠EBC+∠CBM=30°+60°=90°，∵AN=BE，∴BM=BE，∴△BEM是等腰直角三角形，∵∠MCN=∠ACB=60°，CM=CN，∴△CMN是等邊三角形，∴CM=CN，∴CE+CN=CE+CM，當(dāng)△CEM是直角三角形，∠MCE==90°時，CE+CM的值最小，CE+CN的值就最小，此時∠ECN=∠MCE-∠MCN=30°，故當(dāng)CE+CN的值最小時，∠ECN=．故答案為30【點睛】本題主要考查了等腰三角形，等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)．熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，是解決此類問題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）問題背景：如圖1，在等邊中，點為邊上一個動點（點不與，重合），連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到，連接．探究、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的探究思路是：過點作，交邊于點（如圖2），易證是等邊三角形，并且，所以，從而．(1)結(jié)論應(yīng)用：①在圖1中，若，，則______cm；②在圖1中，若，點為的中點，則的最小值為______cm；(2)類比探究：如圖3，若點為等邊邊延長線上一點，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到，連接．若，，求的長．(3)拓展延伸：如圖4，是等腰直角三角形，，，點為邊上一個動點（點不與、重合），連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°到，連接．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①3；②(2)(3)【解析】【分析】（1）①作PE//AB，可知△PEC為等邊三角形，再利用SAS證明△PEA≌△PCD，得CD=AE，從而得出AC=AE+EC=CD+PC；②由①知，∠AEP=∠PCD=120°，則∠ACD=60°為定角，可知當(dāng)OD⊥CD時，OD最小，此時∠DOC=30°，從而得出答案；（2）過點作，交邊延長線于點，可得△CEP為等邊三角形，再證△APE≌△DPC，得AE=CD，則有結(jié)論CD=AC+CP，計算即可；（3）作PM//AB交AC于M，由①同理得△MPC為等腰直角三角形，△AMP≌△DCP，得AM=CD，則有結(jié)論．(1)解：①作PE∥AB，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠PEC=∠CPE=∠B=60°∴△PEC為等邊三角形∴PE=PC又∵∠APE+∠EPD=∠EPD+∠DPC=60°∴∠APE=∠DPC在△PEA與△PCD中，∴△PEA≌△PCD(SAS)∴CD=AE∵PC=CE∴AC=AE+EC=CD+PC∵AC=5，CD=2∴PC=AC-CD=3故答案為：3；②∵O為AC的中點∴AO=CO==2（cm）由①知，∠AEP=∠PCD=120°∵∠ACB=60°∴∠ACD=60°為定角，∵OC=2∴當(dāng)OD⊥CD時，OD最小∴此時∠DOC=30°∴CD=OC=1∴OD=（cm）故答案為：．(2)解：如圖，過點作，交邊延長線于點，則∠CPE=∠B=60°，∠E=∠BAC=60°∴是等邊三角形，∴PC=PE=CE∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到∴∠APD=∠CPE=60°∴∠CPD=∠APE在△PCD和△PEA中∴（SAS）∴，∴(3)解：作PM⊥AB交AC于M．如圖，∵△ABC是等腰直角三角形∴△PMC是等腰直角三角形∴MC=∵∠PMC=45°∴∠AMP=135°又∵∠APM+∠MPD=∠MPD+∠DPC=90°∴∠APM=∠DPC在△AMP和△DCP中，∴△AMP≌△DCP（SAS）∴AM=CD∵AC=AM+MC，AM=CD，MC=∴【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，采取類比的方法是解題的關(guān)鍵．1．（2020·廣東清遠(yuǎn)·八年級期末）將圖中可愛的“小鴨子”圖片按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖片是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)圖形即可．【詳解】如圖所示：“小鴨子”圖片按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖片是：故選：C．【點睛】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，正確掌握旋轉(zhuǎn)方向是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東菏澤·八年級期末）將如圖所示的圖形繞中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后可得到的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)可以得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)：可以得出旋轉(zhuǎn)后的圖形為.故選A3．（2022·重慶南開中學(xué)八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將等邊繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到，再將繞點旋轉(zhuǎn)180°，得到，再將繞點旋轉(zhuǎn)180°，得到，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，若點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意先求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：∵是等邊三角形，，將等邊繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到，∴，則同理可得，……，即故選C【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江西宜春·八年級期末）如圖，P是平分線上一點，OP＝10，，在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【詳解】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF，∵∴是等邊三角形，故①正確；∵S△PEM=S△PNF，∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故④正確；∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正確；∵M(jìn)，N的位置變化，∴MN的長度是變化的，故②錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)八年級期末）將按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中，，頂點的坐標(biāo)為，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可知6次旋轉(zhuǎn)為1個循環(huán)，故先需要求出前6次循環(huán)對應(yīng)的A點坐標(biāo)即可，利用全等三角形性質(zhì)求出第一次旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的A點坐標(biāo)，之后第2次旋轉(zhuǎn)，根據(jù)圖形位置以及長，即可求出，第3、4、5次分別利用關(guān)于原點中心對稱，即可求出，最后一次和A點重合，再判斷第2023次屬于循環(huán)中的第1次，最后即可得出答案．【詳解】解：由題意可知：6次旋轉(zhuǎn)為1個循環(huán)，故只需要求出前6次循環(huán)對應(yīng)的A點坐標(biāo)即可第一次旋轉(zhuǎn)時：過點作軸的垂線，垂足為，如下圖所示：由的坐標(biāo)為可知：，，在中，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，在與中：，，，此時點對應(yīng)坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)诙涡D(zhuǎn)時，如下圖所示：此時A點對應(yīng)點的坐標(biāo)為．當(dāng)?shù)?次旋轉(zhuǎn)時，第3次的點A對應(yīng)點與A點中心對稱，故坐標(biāo)為．當(dāng)?shù)?次旋轉(zhuǎn)時，第4次的點A對應(yīng)點與第1次旋轉(zhuǎn)的A點對應(yīng)點中心對稱，故坐標(biāo)為．當(dāng)?shù)?次旋轉(zhuǎn)時，第5次的點A對應(yīng)點與第2次旋轉(zhuǎn)的A點對應(yīng)點中心對稱，故坐標(biāo)為．第6次旋轉(zhuǎn)時，與A點重合．故前6次旋轉(zhuǎn)，點A對應(yīng)點的坐標(biāo)分別為：、、、、、．由于，故第2023次旋轉(zhuǎn)時，A點的對應(yīng)點為．故選：A．【點睛】本題主要是考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、中心對稱求點坐標(biāo)、三角形全等以及點的坐標(biāo)特征，熟練利用條件證明全等三角形，；通過旋轉(zhuǎn)和中心對稱求解對應(yīng)點坐標(biāo)，是求解該題的關(guān)鍵．6．（2021·廣東·梅州市學(xué)藝中學(xué)八年級期末）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD=AD，則∠BOC的度數(shù)為_________.【答案】140°##140度【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，得出三角形COD是等邊△OCD，從而表示出∠AOD與∠ADO，進(jìn)而求出∠OAD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，從而求出∠BOC．【詳解】解：∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴∠OCD＝60°，OC＝CD，∠ADC＝∠BOC，∴三角形COD是等邊△OCD，∴∠COD＝∠60°，∠CDO＝60°，∠ADO＝∠ADC?∠CDO＝∠BOC?60°，∵∠AOD＝360°?110°?60°?∠BOC＝190°?∠BOC，當(dāng)OD＝AD時，∠DAO=∠AOD，2×（190°?∠BOC）＋∠BOC?60°＝180°，解得∠BOC＝140°故答案為：140°．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形不變的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，把正方形鐵OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點A的坐標(biāo)為，點在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉(zhuǎn)90°，第—次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置……，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次，點P的坐標(biāo)變?yōu)開_____．【答案】【解析】【分析】首先求出P1～P5的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，再利用規(guī)律解決問題．【詳解】解：第一次P1(2，1)，第二次P2(4，1)，第三次P3(7，2)，第四次P4(11，2)，第五次P5(14，1)，……發(fā)現(xiàn)點P的位置4次一個循環(huán)∵2022÷4＝505……2∴P2022的縱坐標(biāo)與P2相同為1，橫坐標(biāo)為4+4×3×505＝6064∴P2022(6064，1)故答案為：(6064，1)．【點睛】本題考查坐標(biāo)規(guī)律問題，由前面幾個點的坐標(biāo)尋找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇南京·八年級期末）如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖像經(jīng)過點A（2，4），AB⊥x軸于點B，將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，則直線AC的函數(shù)表達(dá)式為_____．【答案】y=-0.5x+5【解析】【分析】直接把點A（2，4）代入正比例函數(shù)y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x軸于點B，可得出OB，AB的長，再由△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，由旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)可知DC=OB，AD=AB，故可得出C點坐標(biāo)，再把C點和A點坐標(biāo)代入y=ax+b，解出解析式即可．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=kx（k≠0）經(jīng)過點A（2，4）∴4=2k，解得：k=2，∴y=2x；∵A（2，4），AB⊥x軸于點B，∴OB=2，AB=4，∵△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，∴DC=OB=2，AD=AB=4∴C（6，2）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，解得：，所以解析式為：y=-0.5x+5【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰赗t△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如圖所示.如果將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，其中點A、B的對應(yīng)點分別為點D、E，聯(lián)結(jié)BD，那么BD的長等于_______________.【答案】；【解析】【分析】過D作DH⊥BC交BC延長線于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，則可得BH，利用勾股定理即可求得BD．【詳解】解：如圖，過D作DH⊥BC交BC延長線于H，依題可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE，∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°，∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE，∴∠ACD＝∠DCE-∠ACE=60°，∴∠DCH＝∠ACH-∠ACD=30°，∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CD=AC=，∴在Rt△DCH中，DH=CD=，則CH=DH=6，∴BH=BC+CH=3+6=9，∴BD=＝．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，充分利用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．10．（2021·寧夏中衛(wèi)·八年級期末）已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為、、．將繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)．(1)分別寫出點、的對應(yīng)點，的坐標(biāo)；(2)畫出對應(yīng)的圖形．【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點（x，y）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（y，-x）解答即可，（2）根據(jù)（1）的方法求得點，再順次連接，則即為所求．(1)將點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到：(2)如圖所示，【點睛】本題考查了求繞原點旋轉(zhuǎn)90度后的點的坐標(biāo)，畫旋轉(zhuǎn)圖形，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·河南南陽·八年級期末）解決問題(1)感知：如圖1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，過點D作DE⊥CB交CB的延長線于點E，連接CD．則線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系是_____，△BCD的面積為______（用含x的式子表示）；(2)應(yīng)用：如圖2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD，用含x的式子表示△BCD的面積，并說明理由．(3)拓展：如圖3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB⊥BD，連接CD，若△BCD的面積為9，則CD的長為_______.【答案】(1)BC=DE，x2；(2)S△BCD=x2，理由見解析；(3)【解析】【分析】（1）可證明：BDE≌△ABC，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）可證明△ABC≌△BDE，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，△ABF≌△BDE，進(jìn)而求得DE=BF=3，BC=6，BE=AF=4，進(jìn)一步求得結(jié)果．(1)解：由題意得：△BDE≌△ABC，∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC?DE=x2，故答案是：BC=DE，x2；(2)解：如圖1，S△BCD=x2，理由如下：作DE⊥CB于E，∴∠E=∠ACE=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE，在Rt△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC?DE=x2；(3)解：如圖2，作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，由（2）知：△ABF≌△BDE，∴DE=BF，BE=AF，∵AC=AB，∴BF=BC，∴S△BCD=BC?DE，∴BF2=9，∴BF=3，∴AF==4，BC=2BF=6，在Rt△CDE中，CE=BC+BE=6+4=10，DE=3，∴CD=．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“一線三等角”模型．12．（2022·上海·八年級期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點M為EC的中點，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點D、E分別在AC、AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，使點D落在AB上，此時（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析；(3)成立，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，則可得∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可證得△BMD為等腰直角三角形；（2）延長DM交BC于N，先證明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，進(jìn)而有AD=CN，BD=BN，則有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，則有△BMD為等腰直角三角形；（3）作交DM延長線于N，連接BN，先證明△EMD≌△CMN，根據(jù)（2）的方法同理可證得△BMD為等腰直角三角形．(1)∵∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；(2)成立；如圖1，延長DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M(jìn)為EC中點，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形；(3)成立；如圖2，作交DM延長線于N，連接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD為等腰直角三角形．【點睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，充分利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·江西宜春·八年級期末）在中，，，直線MN經(jīng)過點C且于D，于E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌；②；(2)當(dāng)直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)證明見解析(3)（或者對其恒等變形得到，），證明見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)，，，得出，再根據(jù)即可判定；②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出，，進(jìn)而得到；（2）先根據(jù)，，得到，進(jìn)而得出，再根據(jù)即可判定，進(jìn)而得到，，最后得出；（3）運用（2）中的方法即可得出，，之間的等量關(guān)系是：或恒等變形的其他形式．(1)解：①，，，，，，在和中，；②，，，；(2)證明：，，，，在和中，；，，；(3)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，，，所滿足的等量關(guān)系是：或或．理由如下：，，，，在和中，，，，（或者對其恒等變形得到或）．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論．14．（2022·江蘇淮安·八年級期末）[模型建