2023-2024學年吉林省吉林市第四中學高二上學期9月月考數學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023-2024學年吉林省吉林市第四中學高二上學期9月月考數學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據直線斜率和傾斜角關系可直接求得結果.【詳解】直線的斜率不存在，直線的傾斜角為.故選：D.2．已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據向量的數乘以及減法運算，即可求得答案.【詳解】,故選:D．3．已知直線過，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因為，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.4．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5．已知點，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據題意，求出直線，的斜率，結合圖象可得答案.【詳解】根據題意，，，，則，，結合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.

6．在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數使得其中正確命題的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據向量共線，共面的性質逐一分析每個選項.【詳解】對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；對于④，若共線時，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯誤.于是四個選項都是錯的.故選：A7．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，由，轉化為向量的模長，然后結合空間向量數量積運算，即可得到結果.【詳解】由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B8．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以A為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，計算出和的坐標，然后根據向量法求點到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，因為，所以，，，，，所以點P到AB的距離．故選：C.9．如圖，，分別是圓臺上、下底面的兩條直徑，且，，是弧靠近點的三等分點，則在上的投影向量是（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】作出在上的投影向量，從而求得正確答案.【詳解】如圖，取在下底面的投影C，作，垂足為D.連接，，，則，在上的投影向量是.設上底面的半徑為r，則，.故在上的投影向量是.故選：C

二、多選題10．在空間直角坐標系中，點的坐標為，則下列說法正確的是（

）A．點關于原點對稱的點是B．點關于軸對稱的點是C．點關于平面，對稱的點是D．點關于點對稱的點是【答案】AC【分析】利用點關于原點的對稱點的特點可判斷A的正誤；根據點關于坐標軸對稱點的特點可判斷B的正誤；利用點關于坐標平面對稱點的特點可判斷C的正誤；利用點關于點對稱的特點可判斷D.【詳解】空間直角坐標系中，點.對于A，點關于于原點對稱的點的坐標是，A正確；對于B，點關于軸對稱的點的坐標是，B錯誤；對于C，點關于平面對稱點的坐標是，C正確；對于D，點關于點對稱點的坐標是，D錯誤；綜上知，正確的選項是AC.故選：AC.11．如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為的中點，則（

）A． B．直線平面C．直線與平面所成角的正切值為 D．點到平面的距離是【答案】ABD【分析】依題意可得到為等邊三角形，又為的中點，即可判斷A；利用線面平行的判定定理證明B；用線面角的定義可知為所求角，進而求得其正切值，即可判斷C；利用等體積法判斷D．【詳解】解：對于A，，，，為等邊三角形，又為的中點，所以，故A正確；對于B，取中點，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對于C，取的中點，連接，則，因為平面，所以平面，所以與平面所成的角為，所以，故C錯誤；對于D，設點到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD12．已知點，點在平面上，且點到點的距離相等，則點的坐標可以為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設出點坐標，根據列方程，從而求得正確答案.【詳解】依題意，點在平面上，設，由于，，，整理得，通過驗證可知，、符合，所以BC選項正確.故選：BC13．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關系的結論中，正確的是（）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【分析】對于，由不重合兩直線方向向量平行可判斷直線相互平行；對于B，要考慮直線可能在面內；對于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，兩個不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯誤．故選：AC．14．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（

）

A．B．直線與平面所成角的正弦值為C．點到直線的距離是D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】A選項，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得到；B選項，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；C選項，利用空間向量點到直線距離公式進行求解；D選項，利用異面直線夾角公式進行求解.【詳解】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，則，A錯誤；B選項，平面的法向量為，，設直線與平面所成角的大小為，則，B正確；C選項，，點到直線的距離為，C正確；D選項，，設異面直線與所成角大小為，則，D正確.

故選：BCD三、填空題15．設直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，．若直線l//平面，則實數z的值為．【答案】-4【分析】根據直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個法向量垂直，即兩向量點乘為0.【詳解】若直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個法向量垂直，由此可得，解得.故答案為：16．設，向量，，，且，，則.【答案】【分析】先根據空間向量的垂直和平行，列方程求出，然后再求模長即可.【詳解】根據可得，故，此時，由可得，故，此時，于是故.故答案為：17．已知為空間中一點，四點共面且任意三點不共線，若，則的值為．【答案】【分析】根據向量共面列方程，結合已知條件求得的值.【詳解】依題意，四點共面且任意三點不共線，所以，所以，，，所以，解得.故答案為：18．已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是.【答案】【分析】由求解，再排除與共線時的值即可得答案.【詳解】因為與的夾角為鈍角，，解得，由題意得與不共線，則，解得，的取值范圍是.故答案為：四、解答題19．已知直線經過兩點，問：當取何值時：(1)直線與軸平行?(2)直線的方向向量的坐標為．(3)直線的傾斜角為?【答案】(1)(2)(3)【分析】利用斜率公式及直線的方向向量的概念求解．【詳解】（1）若直線與軸平行，則直線的斜率，所以．（2）直線的方向向量的坐標為，故，即，解得．（3）由題意可知，直線的斜率，即，解得．20．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求實數k的值；(3)若，求實數k的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據向量的坐標運算及向量夾角公式即得；（2）根據空間向量的線性運算的坐標表示可得，，然后根據向量平行的坐標關系即得；（3）根據向量垂直的坐標表示即得.【詳解】（1）由已知可得，，所以；（2）因為，，又，存在實數m使得，，，，解得；（3）因為，所以，即，解得.21．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點，已知，．

(1)求證：；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明．（2）運用線面垂直的性質定理可證得，進而運用線面垂直的判定定理可證得平面PAC，進而可證得面面垂直.【詳解】（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，所以，，所以，所以．（2）連接，，如圖所示，

因為面，面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又因為，、面，所以面，又因為面，所以平面平面．22．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點，，，，底面，設點滿足．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和的坐標，結合向量的夾角公式，即可求解；（2）求出與平面所成角的正弦值，結合，即可求解.【詳解】（1）解：因為平面是菱形，所以，又因為底面，且面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，，，則所以，又因為，所以，設平面的法向量，則，取，可得，所以，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）解：由（1）中的空間直角坐標系，可得，可得，所以與平面所成角的正弦值為，則到平面的距離.

23．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.【分析】（1）取中點，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設在棱上存在點滿足題意，建立空間直角坐標系，設，根據平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成