新高考數(shù)學二輪復習培優(yōu)訓練專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題（含解析）

專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題1、【2022年全國乙卷】已知等比數(shù)列an的前3項和為168，a2?A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】設等比數(shù)列an的公比為q,q≠0若q=1，則a2所以q≠1，則a1+a所以a6故選：D.2、【2022年新高考2卷】中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD1,CC1,BB1,AA1

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】設OD1=D依題意，有k3?0.2=k所以0.5+3k3?0.3故選：D3、（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：A.4、（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為SKIPIF1<0的長方形紙，對折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，對折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0______SKIPIF1<0.【答案】(1).5(2).SKIPIF1<0【解析】（1）由對折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：SKIPIF1<0，共4種不同規(guī)格（單位SKIPIF1<0；故對折4次可得到如下規(guī)格：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，首項為120SKIPIF1<0,第n次對折后的圖形面積為SKIPIF1<0，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結論，猜想為SKIPIF1<0種（證明從略），故得猜想SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.5、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ））設SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：D.6、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則SKIPIF1<0=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】設等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故選：B.7、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為SKIPIF1<0，第一層共有n環(huán)，則SKIPIF1<0是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為SKIPIF1<0，因為下層比中層多729塊，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C8、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.9、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設SKIPIF1<0等差數(shù)列的公差SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列通項公式：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.10、（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若SKIPIF1<0，則S4=___________．【答案】SKIPIF1<0.【解析】：設等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．11、【2022年全國甲卷】記Sn為數(shù)列an的前n項和．已知(1)證明：an(2)若a4,a【答案】(1)證明見解析；(2)?78．【解析】(1)解：因為2Snn+n=2當n≥2時，2Sn?1①?②得，2S即2a即2n?1an?2n?1an?1所以an是以1(2)解：由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，所以所以，當n=12或n=13時Sn12、（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積，已知SKIPIF1<0．（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列;（2）求SKIPIF1<0的通項公式．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,當n=1時，SKIPIF1<0,當n≥2時,SKIPIF1<0,顯然對于n=1不成立,∴SKIPIF1<0.13、（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【解析】∵數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，設公差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等差數(shù)列.14、（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列：②數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【解析】選①②作條件證明③：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0也是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.選①③作條件證明②：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足等差數(shù)列的定義，此時SKIPIF1<0為等差數(shù)列；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合題意，舍去.綜上可知SKIPIF1<0為等差數(shù)列.題組一、等差、等比數(shù)列的基本量的問題1-1、（2022·江蘇海安·高三期末）設數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.故選：C.1-2、（2022·江蘇常州·高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值SKIPIF1<0元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為SKIPIF1<0．按復利計算，則小李每個月應還（）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元【答案】A【解析】設每月還SKIPIF1<0元，按復利計算，則有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0，故選：A1-3、（2022·山東淄博·高三期末）己知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公比SKIPIF1<0（）A．－2 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：B1-4、（2022·江蘇蘇州·高三期末）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故選：C．1-5、（2022·廣東羅湖·高三期末）（多選題）已知d為等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差，SKIPIF1<0為其前n項和，若SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，則下列結論正確的為（）A．數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列 B．數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次成等差數(shù)列 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由題意可知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且遞減，則SKIPIF1<0，不妨舉例如：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，這三項不構成遞減數(shù)列，故A錯；而SKIPIF1<0,這三項不構成等差數(shù)列，說明C錯；對于B，SKIPIF1<0，是關于n的一次函數(shù)，因此SKIPIF1<0是等差數(shù)列，故B正確；對于D，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正確，故選：BD.1-6、（2022·江蘇蘇州·高三期末）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，寫出一個同時滿足①②的數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式：SKIPIF1<0__________．①SKIPIF1<0是遞增的等比數(shù)列；②SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0(答案不唯一)題組二、等差、等比數(shù)列的判斷與證明2-1、（2022·山東青島·高三期末）在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0為常數(shù))，則稱SKIPIF1<0為“等方差數(shù)列”，p稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．SKIPIF1<0是等方差數(shù)列B．若數(shù)列SKIPIF1<0既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，該數(shù)列必為常數(shù)列C．正項等方差數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是等比數(shù)列，則SKIPIF1<0D．若等方差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為2，公方差為2，若將SKIPIF1<0，…SKIPIF1<0這種順序排列的10個數(shù)作為某種密碼，則可以表示512種不同密碼【答案】ABD【解析】選項A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等方差數(shù)列，故正確.選項B.由數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，則SKIPIF1<0由數(shù)列SKIPIF1<0既是等方差數(shù)列,則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)列當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)列故數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)列，所以選項B正確.選項C.由題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足題意，故選項C不正確.選項D.數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，則SKIPIF1<0由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0中的每一項，可能取正或負，有2種取法.所以SKIPIF1<0，…SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種不同的排法結果；所以選項D正確故選：ABD2-2、（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列SKIPIF1<0的各項均是正數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線過點SKIPIF1<0，則下列正確的是（）A．SKIPIF1<0B．數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對函數(shù)SKIPIF1<0求導得SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，B對；SKIPIF1<0，A對；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，C錯；由上可知，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，D對.故選：ABD.2-3、（2021·河北張家口市·高三期末）（多選題）已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則【答案】BC【解析】若，當時，，不滿足，故A錯誤.若，則，滿足，所以是等比數(shù)列，故B正確.若是等差數(shù)列，則，故C正確.，故D錯誤.故選：BC2-4、（2020·河北邯鄲市·高三期末）（多選題）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則下列結論正確的是（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則數(shù)列的前項和為C．若，則是等比數(shù)列D．若，則【答案】ACD【解析】因為數(shù)列的前項和為，且滿足，當時，可得，即，所以，可得，即，又因為，所以，則，可得，故A正確，B不正確.當時，由已知得，即，所以，所以，所以，所以，所以，故C正確，D正確.故選：ACD.1、（2022·湖南常德·高三期末）在流行病學中，基本傳染數(shù)SKIPIF1<0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．SKIPIF1<0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于SKIPIF1<0，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)SKIPIF1<0，平均感染周期為7天（初始感染者傳染SKIPIF1<0個人為第一輪傳染，經過一個周期后這SKIPIF1<0個人每人再傳染SKIPIF1<0個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【解析】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為SKIPIF1<0，經過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴當感染人數(shù)增加到1000人時，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要SKIPIF1<0天，故選：B2、（2021·山東濟南市·高三二模）（多選題）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ABC【解析】因為，，所以，由可得，所以，所以，分別是以2,1為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，，綜上可知，ABC正確，D錯誤.故選：ABC3、（2022·廣東揭陽·高三期末）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是方程SKIPIF1<0的兩個根，則SKIPIF1<0__________.【答案】8【解析】根據(jù)韋達定理可得SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的性質可得SKIPIF1<0