一起學(xué)奧數(shù)-頁碼問題(五年級)

頁碼問題

2021/5/91教育目標(biāo)了解一本書的頁數(shù)與所用數(shù)字之間的關(guān)系教育重點發(fā)現(xiàn)數(shù)與頁碼之間的規(guī)律教育難點在頁碼問題中，學(xué)會運用分類討論思想和代數(shù)思想掌握頁碼的特點，并能夠在實際問題中應(yīng)用學(xué)會尋找數(shù)與頁碼之間的規(guī)律，并能夠在實際問題中應(yīng)用2021/5/92第一課基礎(chǔ)部分2021/5/93例1、小明和小智是兩個數(shù)學(xué)愛好者，他們經(jīng)常在一起探討數(shù)學(xué)問題，一次小明對小智說：“我有一本課外讀物，它的頁數(shù)是一個三位數(shù)，個位數(shù)比百位數(shù)字大4，十位數(shù)字比個位數(shù)字也大4，這本課外讀物有幾頁？”小智稍加思索就說出了正確答案，這個答案究竟是什么呢？【分析】讀題目可以知道，要求我們通過數(shù)字之間的關(guān)系，及數(shù)字在不同位置的特點，推算出這個三位數(shù)。首先，我們假設(shè)百位上的數(shù)字為a。因為個位數(shù)比百位數(shù)字大4，所以個位數(shù)字為a+4；而十位數(shù)字比個位數(shù)字大4，則十位數(shù)字為a+4+4=a+8。接著，我們可以探討各位置上數(shù)字的特點?？梢哉易畲蠡蜃钚〉臄?shù)字進(jìn)行討論。最小的是百位上的數(shù)字。因為百位是最高位，所以a≠0；最大的是十位上的數(shù)字，不能大于9，所以a+8≤9。即a≤1。則可以知道a=1。所以這個三位數(shù)為：195數(shù)碼問題往往會用到分類討論思想和代數(shù)思想2021/5/94例2、灰太狼給兒子小灰灰買了一本叫《捕羊?qū)毜?00篇》的書，這本書共320頁。問：1）編印這本書的頁碼用了多少個數(shù)字？2）數(shù)字零在頁碼中共出現(xiàn)了多少次？【分析】首先我們來討論一下不同位置數(shù)字的規(guī)律。一位數(shù)的數(shù)碼個數(shù)：9個（1-9，在頁碼中，編碼從1開始），

“0”的個數(shù)為0個二位數(shù)的數(shù)碼個數(shù)：2×90=180個（10-99，總共有90個兩位數(shù)），“0”的個數(shù)為9個三位數(shù)的數(shù)碼個數(shù)：3×900=2700個（100-999），“0”的個數(shù)為9×20=180個（先算100-199）……通過上面分析，我們來看看1-320需要多少個數(shù)字。一位數(shù)和二位數(shù)合計189個，三位數(shù)：3×（320-100+1）=663個。所以，320頁的頁碼共用了663+189=852個數(shù)碼。本題充分體現(xiàn)了分類討論思想數(shù)字零在頁碼中出現(xiàn)的數(shù)字為：9+20×2+13=62次（算頁碼中的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)，也可以采用分段思考的方法，如個位上的“0”，每10個數(shù)出現(xiàn)一次，十位上的數(shù)字每100個出現(xiàn)10個。）2021/5/95數(shù)與數(shù)碼的關(guān)系一位數(shù)（1—9）：??????1x9=9（個）兩位數(shù)（10—99）：????2x(90-10+1)=180個三位數(shù)（100—999）：??3x(999-100+1)=2700個

……(依次類推)數(shù)碼、數(shù)和頁碼的概念：

數(shù)字也稱數(shù)碼，即由0、1、2、3、……、9這10個組成，是有限的；

數(shù)是由數(shù)字組成的，一位數(shù)由一個數(shù)字組成，二位數(shù)由二個數(shù)字組成……

頁碼也就是頁數(shù)，是由數(shù)碼組成的數(shù)，有無限多個。頁碼問題的幾個特點：

頁碼是連續(xù)排列的，正常的書本中的頁碼不可能出現(xiàn)跳頁、缺頁現(xiàn)象；

頁碼從1開始，每一張紙上有2頁。所以，在一張紙上總是一奇一偶兩個數(shù)字；頁碼中的數(shù)字，總是有規(guī)律的反復(fù)出現(xiàn)，不同位置的上數(shù)字，反復(fù)出現(xiàn)的頻率不同。2021/5/96例3、給一本數(shù)編頁碼，一共用了723個數(shù)字，這本書共有多少頁？【分析】根據(jù)上一例分析，我們知道一位數(shù)和二位數(shù)合計189個數(shù)碼，且723＜2700，所以這本書的頁數(shù)為三位數(shù)。剔除一位數(shù)和二位數(shù)，三位數(shù)的頁碼數(shù)字有：723-189=534534個數(shù)字都是由三維數(shù)字構(gòu)成的，所以三位數(shù)個數(shù)為：534÷3=178所以這本書的頁碼為：99+178=277頁注意頁碼中的“植樹問題”2021/5/97例4、有一批文章共15篇，各篇文章的頁數(shù)分別是1頁、2頁、3頁······14頁、15頁，如果將這些論文按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一頁是奇數(shù)頁碼的論文最多有多少？【分析】1-15這15個數(shù)字中，共有8個奇數(shù)和7個偶數(shù)。下面我們先來探討下奇偶數(shù)相加后的奇偶性變化。奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。即加偶數(shù)不改變一個數(shù)字的特點，加奇數(shù)改變數(shù)字的奇偶性。則，我們可以把7個偶數(shù)頁的文章排在一起，且使第一個偶數(shù)頁的第一頁放在奇數(shù)頁位置上。這樣所有偶數(shù)頁文章的第一頁都是奇數(shù)頁碼。因為奇數(shù)頁的文章有8篇，且每加一次奇數(shù)，都會改變這個數(shù)字的奇偶性，所以奇數(shù)頁文章的第一頁為奇數(shù)頁碼的有4篇。所以，合計最多有11篇文章的第一頁是奇數(shù)頁碼的論文。關(guān)注奇偶性的變化特點，可對數(shù)字進(jìn)行定性分析2021/5/98例5、一本書的頁碼共有62頁。在把這本書的各頁的頁碼累加起來時，有一個頁碼多加了一次，得到的和數(shù)為2000.問：這個被多加一次的頁碼是多少？【分析】一本62頁書的頁碼累加：1+2+……+62=63×62÷2=1953因為多加了一頁后，得到的和數(shù)是2000，則多加的數(shù)為：2000-1953=47。即多加的頁碼為47頁頁碼的增加和缺失，可以通過實際數(shù)錯誤數(shù)的比較來解決2021/5/99例6、一本故事書的頁碼，共用了39個零。問這本書共有多少頁？【分析】首先按照位數(shù)規(guī)律，對零的出現(xiàn)進(jìn)行分類討論。1-9中沒有“0”；10-99中有9個“0”；x00-x09中有11個“0”，而x10-x99中有9個。即同一個百位段中有20個“0”。因為39-9-2