專題01 勾股定理中的四類最短路徑模型（解析版）

專題01勾股定理中的四類最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，一個(gè)底面圓周長(zhǎng)為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點(diǎn)A沿側(cè)面爬行到相對(duì)的底面上的點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的最短路線長(zhǎng)為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm【答案】D【分析】將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，連接，如圖所示：由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則，又因?yàn)閏m，所以（cm），即螞蟻沿表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的最短路線長(zhǎng)為13cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是將立體圖形展開(kāi)為平面圖形，利用勾股定理進(jìn)行求解．例2．（2023·重慶·八年級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長(zhǎng)為，在外側(cè)距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上端距開(kāi)口處的外側(cè)點(diǎn)處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長(zhǎng)是______．【答案】15【分析】展開(kāi)后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過(guò)S作于E，求出、，根據(jù)勾股定理求出SF即可．【詳解】解：如圖展開(kāi)后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過(guò)S作于E，則（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度適中．例3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谥校┐汗?jié)期間，某廣場(chǎng)用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長(zhǎng)均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長(zhǎng)度為_(kāi)_____米．【答案】5【分析】要求彩帶的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．【詳解】解：將圓柱表面切開(kāi)展開(kāi)呈長(zhǎng)方形，則彩燈帶長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，圓柱高3米，底面周長(zhǎng)2米，，，每根柱子所用彩燈帶的最短長(zhǎng)度為．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．變式1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著的線段滑行，我們可將半圓展開(kāi)為矩形來(lái)研究，展開(kāi)后，、、三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，寫出和的長(zhǎng)，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出的距離．【詳解】解：將半圓面展開(kāi)可得：

米，米，在中，（米）．即滑行的最短距離為米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，型池的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的寬是半圓的弧長(zhǎng)，矩形的長(zhǎng)等于本題就是把型池的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．變式2．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為_(kāi)__________cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開(kāi)圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：；即在圓柱體的展開(kāi)圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：；又∵圓柱高為，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是；根據(jù)勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)--路徑最短問(wèn)題．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．變式3．（2022·山東青島·八年級(jí)期末）如圖，一個(gè)圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲(chóng)從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲(chóng)所爬的最短路徑長(zhǎng)是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先將圓柱的側(cè)面展開(kāi)為一矩形，而矩形的長(zhǎng)就是底面周長(zhǎng)的一半，高就是圓柱的高，再根據(jù)勾股定理就可以求出其值．【詳解】解：展開(kāi)圓柱的側(cè)面如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短就可以得知AB最短．由題意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得cm．∵一只小蟲(chóng)從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，∴最短路徑長(zhǎng)為60cm.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的運(yùn)用，兩點(diǎn)之間線段最短的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．在解答時(shí)將圓柱的側(cè)面展開(kāi)是關(guān)鍵．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正三棱柱展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】∵一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，∴如圖所示，將正三棱柱展開(kāi)2次，∴，∵正三棱柱的高∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）如圖，地面上有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，一只螞蟻在這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處，盒子的頂點(diǎn)處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到處吃這塊糖粒，已知盒子的長(zhǎng)和寬為均為，高為，則螞蟻爬行的最短距離為（

）．

A．10 B．50 C．10 D．70【答案】B【分析】根據(jù)圖形可知長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面都相等，所以分兩種情況進(jìn)行解答即可．【詳解】解：分兩種情況：（其它情況與之重復(fù)）①當(dāng)螞蟻從前面和右面爬過(guò)去時(shí)，如圖1，連接，

在中，，，根據(jù)勾股定理得：；②當(dāng)螞蟻從前面和上面爬過(guò)去時(shí)，如圖2，連接，

在中，，，根據(jù)勾股定理得：；螞蟻爬行的最短距離為50．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用－求最短距離，讀懂題意，熟悉立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖是解本題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先畫出側(cè)面展開(kāi)圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)即可．【詳解】將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開(kāi)，如下圖，連接，則最短路徑，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開(kāi)圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長(zhǎng)方體木柜（木柜與墻面和地面均沒(méi)有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到的距離，再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是，螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是．，最短路徑的長(zhǎng)是．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯(cuò)題型，希望能引起同學(xué)們的注意．變式1．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為．如果一只小蟲(chóng)從點(diǎn)開(kāi)始爬行，經(jīng)過(guò)兩個(gè)側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲(chóng)所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題意把圖形展開(kāi)，連接，得出的長(zhǎng)就是從處爬到處的最短路程，分為三種情況展開(kāi)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再比較即可.【詳解】如圖將正面與右面展開(kāi)在同一平面，連接，由勾股定理得：，

如圖將下底面與后面展開(kāi)在同一平面，連接，由勾股定理得：，如圖將下底面與右面展開(kāi)在同一平面，連接，由勾股定理得：，∴從處爬到處的最短路程是，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了立方體側(cè)面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長(zhǎng)，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意要進(jìn)行分類討論．變式2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．【答案】cm．【分析】求出兩種展開(kāi)圖的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開(kāi)方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)-最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．變式3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）小南同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出：從點(diǎn)A攀爬到點(diǎn)B的最短路徑為_(kāi)_______米．【答案】【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開(kāi)平面圖的兩點(diǎn)間距離，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：平面展開(kāi)圖為：（米），故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問(wèn)題，通用辦法是展開(kāi)為平面圖形，兩點(diǎn)間最短路徑為兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度．熟悉立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問(wèn)題的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)度增加而寬度不變，求出新長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加，原圖長(zhǎng)度增加，則，連接，四邊形是長(zhǎng)方形，，寬，，螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它要走的路程．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，長(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，米，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開(kāi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)二級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，在點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去受食，那么它爬行的最短路程是______．【答案】【分析】將臺(tái)階展開(kāi)，得到一直角邊長(zhǎng)為，另一直角邊為的直角三角形，求其斜邊即可．【詳解】將臺(tái)階展開(kāi)，得到一直角邊長(zhǎng)為，另一直角邊為的直角三角形，所以最短距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，勾股定理，熟練掌握展開(kāi)圖，勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023秋·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是________米．【答案】5【分析】先將臺(tái)階展開(kāi)，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)，如圖所示．可知（米），（米），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知為最短路徑，根據(jù)勾股定理得（米）．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最短路徑，勾股定理等，勾股定理是求線段長(zhǎng)的常用方法．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為_(kāi)__________．（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】10【分析】如圖（見(jiàn)解析），將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長(zhǎng)為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．例2.（2022·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）100cm【分析】(1)做出A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’G，與BC交于點(diǎn)Q，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對(duì)稱性可知，∴．故小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)為100cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性作出A的對(duì)稱點(diǎn)A’，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．例3．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對(duì)稱求最短路徑的方法得出點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，交直線于點(diǎn)則此時(shí)最小，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，則，在中，，則的最小值為：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問(wèn)題．變式1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．【詳解】把玻璃杯的側(cè)面展開(kāi)，如圖，把點(diǎn)A向上平移6cm到點(diǎn)C，連接，過(guò)點(diǎn)B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開(kāi)，化曲為直是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式2.（2022·山東菏澤·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出側(cè)面展開(kāi)圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)半圓的周長(zhǎng)求得，根據(jù)對(duì)稱求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．【詳解】其側(cè)面展開(kāi)圖如圖：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，∵中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5cm的半圓，∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距離約為cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理最短路徑問(wèn)題，作出側(cè)面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）。(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)50萬(wàn)元.【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求；（2）連接交于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對(duì)稱性質(zhì)可知：，水管長(zhǎng)，完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬(wàn)元）【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm【答案】B【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解析】解：圓柱體的展開(kāi)圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開(kāi)圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為cm，∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：2π×＝8cm；又∵圓柱高為18cm，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是6cm；根據(jù)勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開(kāi)??路徑最短問(wèn)題．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．2.（2022·重慶八年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用勾股定理求出所需結(jié)果．【詳解】解：如圖，將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接A、B′，則AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)“化立體為平面”，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理解決．3．（2022·山西八年級(jí)期末）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】將題中圖案展開(kāi)后，連接AC，利用勾股定理可得AC長(zhǎng)，將中間的墻展開(kāi)在平面上，則原矩形長(zhǎng)度增加寬度不變，求出新矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即為所求．【詳解】解：展開(kāi)如圖得新矩形，連接AC，則其長(zhǎng)度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)圖形最短路線問(wèn)題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開(kāi)圖．4.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．【答案】C分析：將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求.【解析】如圖所示，將杯子側(cè)面展開(kāi),作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B,則A′B即為最短距離，A′B=(cm)故選C.點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識(shí).將圓柱側(cè)面展開(kāi)，化曲面為平面并作出A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′是解題的關(guān)鍵.5．（2023·廣東惠州·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是、和的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從頂點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到和相對(duì)的頂點(diǎn)處吃食物，則它需要爬行的最短路線長(zhǎng)是（）．

A． B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)計(jì)算：沿前表面和上表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線爬行距離，沿前表面和右表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線爬行距離，沿左表面和上表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線爬行距離，沿左表面和后表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線爬行距離，再比較大小即可；【詳解】解：如圖1，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)前表面和上表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖2，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)前表面和右表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖3，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)左表面和上表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖4，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)左表面和后表面所構(gòu)成矩形的對(duì)角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，∵，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，兩點(diǎn)間的最短距離，勾股定理；根據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)分類討論是解題關(guān)鍵．6．（2023春·安徽·八年級(jí)期中）如圖，圓柱形容器高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓柱側(cè)面展開(kāi)，如圖所示，作出A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知即為最短距離，然后根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開(kāi)，如圖所示，作出A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，∵形容器高為，點(diǎn)A處離杯上沿，點(diǎn)B處離杯底，∴，，∴，∵底面周長(zhǎng)為，∴，根據(jù)勾股定理可得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)，最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找出最短路徑是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．【答案】D【分析】可將教室的墻面與地面展開(kāi)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)P作于G，連接，（米），（米），（米），（米），（米）這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．8．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)?？计谥校┕潭ㄔ诘孛嫔系囊粋€(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長(zhǎng)為，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，將圖②展開(kāi)，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，正方體上表面的對(duì)角線為，將圖②展開(kāi)，連接交于點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度即為螞蟻爬行的最短路程，由題意可知：為等邊三角形，為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵正方體的棱長(zhǎng)為，∴，，在中，，在中，，∴；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是將立體圖像展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定最短路徑．9．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】把長(zhǎng)方體沿邊剪開(kāi)，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】如圖所示，連接，則即為所求的最短長(zhǎng)度，，在中，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把長(zhǎng)方體沿邊剪開(kāi)得到矩形是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體盒子中，已知，長(zhǎng)為的細(xì)直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當(dāng)木棒的端點(diǎn)I在長(zhǎng)方形內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)I運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，最大，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)I運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，最大，此時(shí)，而，∴，∴長(zhǎng)度的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出的最大值是解題的關(guān)鍵．11．（2022·陜西八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方體的棱AB長(zhǎng)為4，棱BC長(zhǎng)為3，棱BF長(zhǎng)為2，P為HG的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬行到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展開(kāi)圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長(zhǎng)即可．【詳解】解：分三種情況：如圖1，,如圖2，，∴AP=5，如圖3，，，它爬行的最短路程為5，故答案為：5．,【點(diǎn)睛】此題考查平面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題和勾股定理應(yīng)用，利用展開(kāi)圖有3種情況分析得出是解題關(guān)鍵．12．（2021·重慶八年級(jí)期末）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為_(kāi)_____dm．【答案】17【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為8dm，寬為，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：，解得．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．13．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P的最短路程為_(kāi)____cm．【答案】13【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點(diǎn)的位置，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，如圖所示：AB＝底面周長(zhǎng)＝××＝12（cm），BP＝BC＝5（cm），所以AP＝（cm），故螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為13cm，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問(wèn)題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是常用求解方法．14．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方體盒子的棱長(zhǎng)為，O為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為_(kāi)______．

【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，用勾股定理求解．【詳解】解：如圖，連接，則線段的長(zhǎng)就是螞蟻需爬行的最短路程，

∵正方體的棱長(zhǎng)為，O為的中點(diǎn)，∴，，，由勾股定理得，答：螞蟻需爬行的最短路程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間線段最短，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．15．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為，底面圓的周長(zhǎng)為(1)點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是______；(2)將左圖改為一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面，此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是___．【答案】【分析】（1）把圓柱側(cè)面展開(kāi)，在中，利用勾股定理求解即可．（2）將圓柱側(cè)面展開(kāi)，得到矩形，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造，根據(jù)勾股定理求出即可解決問(wèn)題．【詳解】(1)如圖，把圓柱側(cè)面展開(kāi)，在中，∵，∴，故答案為：．(2)如圖所示，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，可得，，則最短路程為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求線段最短距離，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是，，，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長(zhǎng)度是______【答案】【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可．【詳解】如圖所示：由勾股定理知：，，即電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長(zhǎng)度是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（2023·湖南永州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖是長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體容器．(1)求底面矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)長(zhǎng)方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長(zhǎng)是多少？(3)一只螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑是多少？【答案】(1)底面矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為(2)長(zhǎng)方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長(zhǎng)是(3)螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意連接、，兩次運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)果;（3）分別求出三種情況下螞蟻爬行的最短距離，然后進(jìn)行比較，得出螞蟻爬行的最短距離即可．【詳解】（1）解：∵、，，∴對(duì)角線的長(zhǎng)為：；答：底面矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為．（2）解：連接、，如圖所示：在中，∵、，，∴，在中，．答：這個(gè)盒子最長(zhǎng)能放的棍子．（3）解：將前面的面和右邊的面展開(kāi)，如圖所示：此時(shí)螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑為：；將前面的面和上邊的面展開(kāi)，如圖所示：此時(shí)螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑為：；將左邊的面和上邊的面展開(kāi)，如圖所示：此時(shí)螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑為：；∵，∴螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦