2021年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷二（學(xué)生版+解析版）

2021年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（2）

一.選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

1.（3分）2021的倒數(shù)是（）

11

A.2021B.-2021C.----D.

20212021

2.（3分）345萬(wàn)這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.345X107B.3.45X106C.34.5X105D.345X104

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.V8-V3=V4+V9=V4T9C.V9XV16=V9X16D.V75-

V3=6V2

4.（3分）某家書(shū)店對(duì)上季度該店中國(guó)古代四大名著的銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)如表：

書(shū)名《西游記》《水滸傳》《三國(guó)演義》《紅樓夢(mèng)》

銷(xiāo)售量//p>

依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，為了更好地滿(mǎn)足讀者需求，該書(shū)店決定本季度購(gòu)進(jìn)中國(guó)古代四大名著時(shí)

多購(gòu)進(jìn)一些《西游記》，你認(rèn)為最影響該書(shū)店決策的統(tǒng)計(jì)量是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

5.（3分）在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，小明成績(jī)120分，超過(guò)班級(jí)半數(shù)同學(xué)的成績(jī)，分析得出這個(gè)

結(jié)論所用的統(tǒng)計(jì)量是（）

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

6.（3分）如圖，己知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.

步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫(huà)弧①；

步驟2：以2為圓心，B4為半徑畫(huà)?、?，交弧①于點(diǎn)。

步驟3：連接AO,交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.

下列敘述正確的是（）

A.SAABC=BC?AHB.AC平分NBA。

C.2H垂直平分線(xiàn)段A。D.AB^AD

7.（3分）如圖，在RtZSABC中，/A=90°,BC=2&.以BC的中點(diǎn)。為圓心的圓分別

與A8,AC相切于。，E兩點(diǎn)，則弧DE的長(zhǎng)為（）

8.（3分）某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每盆花的盈利與每盆株數(shù)構(gòu)成一定

的關(guān)系.每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利5元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，

平均單株盈利就減少0.5元，要使每盆的盈利為20元，需要每盆增加幾株花苗？設(shè)每盆

增加x株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（）

A.（x+3）（5-0.5x）=20B.（x-3）（5+0.5x）=20

C.（x-3）（5-0.5x）=20D.（x+3）（5+0.5x）=20

9.（3分）已知某二次函數(shù)），=/+以+。（”W0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的

有（）

①abcVO；?a-b+c<0；?a=—^；④8a+c>0.

10.（3分）如圖，正方形ABC。中，AB=6,E為AB的中點(diǎn)，將△AOE?沿OE翻折得到4

FDE,延長(zhǎng)W交BC于G,FH1.BC,垂足為“，連接BEDG.以下結(jié)論：①BF〃ED；

②△QFG絲△OCG：③④tan/GE8=*⑤SABFG=2.4；其中正確的個(gè)

數(shù)是（)

二.填空題（共5小題，每題3分，共15分）

11.（3分）因式分解：9f-81=.

12.（3分）在一個(gè)不透明的盒子中裝有8個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余

均相同.若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是白球的概率為|,則黃球的個(gè)數(shù)為個(gè).

13.（3分）如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，現(xiàn)在河的一岸邊任意取一點(diǎn)A,又在河的另一

岸邊取兩點(diǎn)B、C,測(cè)得/a=30°,N0=45°,量得BC長(zhǎng)為100米，則河寬度為

米（結(jié)果保留根號(hào)）.

14.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。為8C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。

7

交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.若CF=gAC=4,AB=2.則AE=

15.（3分）如圖，已知雙曲線(xiàn)｝=竽（x<0）和），=［（x>0）,直線(xiàn)OA與雙曲線(xiàn)），=號(hào)交

于點(diǎn)A,將直線(xiàn)OA向下平移與雙曲線(xiàn)）=竽交于點(diǎn)8,與），軸交于點(diǎn)P,與雙曲線(xiàn)）=［交

于點(diǎn)C,S"8c=6,BP：CP=2：I,則無(wú)的值為

三.解答題（共7小題，其中第16題6分，第17小題7分，第18小題7分，第19小題8

分，第20小題8分，第21小題9分，第22小題10分，共55分）

16.（6分）|V3-2|+（n-2021）0-（1）-1+3tan30°.

17.（7分）先化簡(jiǎn)，再求值（」--1）+叁/尹，其中x=2.

18.（7分）為了倡導(dǎo)公筷公勺和分餐制為主的餐桌文明，某校開(kāi)展了“你的家庭就餐分餐

了嗎？”的調(diào)查活動(dòng)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們家庭就餐的分餐情況進(jìn)行調(diào)查，調(diào)

查結(jié)果有四種：A完全分餐，B多數(shù)時(shí)候分餐，C偶爾分餐，從來(lái)不分餐，學(xué)校根據(jù)調(diào)

查的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

分餐情況扇形統(tǒng)計(jì)圖分餐情況條形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中。對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；

（3）若該校共有學(xué)生2400人，在（1）的基礎(chǔ)上估計(jì)該校家庭就餐的分餐情況為“多數(shù)

時(shí)候分餐”的學(xué)生人數(shù).

19.（8分）如圖，在。ABC。中，AC,8。交于點(diǎn)。，且40=80.

（1）求證：四邊形ABCZ5是矩形;

Q

(2)/BDC的平分線(xiàn)QM交BC于點(diǎn)M,當(dāng)AB=3,tan/OBC=］時(shí)，求CM的長(zhǎng).

20.(8分)某校在開(kāi)展“健康中國(guó)”讀書(shū)征文評(píng)比活動(dòng)中，對(duì)優(yōu)秀征文予以評(píng)獎(jiǎng)，并頒發(fā)

獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品有甲、乙、丙三種類(lèi)型.已知1個(gè)丙種獎(jiǎng)品的價(jià)格是1個(gè)甲種獎(jiǎng)品價(jià)格的2

倍，1個(gè)乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格比1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格多10元.用120元分別去購(gòu)買(mǎi)甲、乙、

丙三種獎(jiǎng)品，購(gòu)買(mǎi)到甲和丙兩種獎(jiǎng)品的總數(shù)量是乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的2倍.

(1)求1個(gè)甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品的價(jià)格分別是多少元？

(2)該校計(jì)劃：購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品共300個(gè)，其中購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量是丙種獎(jiǎng)

品的3倍，且甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙、丙兩種獎(jiǎng)品的數(shù)量之和.求該校完成購(gòu)買(mǎi)計(jì)劃

最多要花費(fèi)多少元？

21.(9分)如圖，AB為。。的直徑，C為上的一點(diǎn)，連接AC、BC,0。，8c于點(diǎn)E,

交。。于點(diǎn)。，連接CQ、AD,AQ與BC交于點(diǎn)F,CG與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G.

(1)求證：MACDsXCFD：

(2)若/CD4=NGC4,求證：CG為0。的切線(xiàn)；

(3)若sin/CW=4，求tan/CZM的值.

22.(10分)已知拋物線(xiàn)y=-#+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,3),頂點(diǎn)為8,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2.

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)如圖1,拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過(guò)A作AO_Lx軸于點(diǎn)。，E是線(xiàn)段AC

上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與4,C兩點(diǎn)重合)；

(/)若直線(xiàn)BE將四邊形AC。。分成面積比為1：3的兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(?)如圖2,連接。E,作矩形OEFG,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)G落在)，軸

上的同時(shí)點(diǎn)尸恰好落在拋物線(xiàn)上？若存在，求出此時(shí)4E的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2021年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（2）

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

1.（3分）2021的倒數(shù)是（）

11

A.2021B.-2021C.-------D.-5nW

20212021

【解答】解：2021的倒數(shù)是二

2021

故選：C.

2.（3分）345萬(wàn)這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.345X107B.3.45X106C.34.5XI05D.345X104

【解答】解：將345萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為：3.45XI06.

故選：B.

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.V8-V3=V8^3B.V4+V9=V4T9C.aA代=，9x16D.V75-

V3=6A/2

【解答】解：A、原式=2近一百，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、原式=2+3=5,所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、原式=，9x16,所以C選項(xiàng)正確；

D、原式=5次一舊=46，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

4.（3分）某家書(shū)店對(duì)上季度該店中國(guó)古代四大名著的銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)如表：

書(shū)名《西游記》《水滸傳》《三國(guó)演義》《紅樓夢(mèng)》

銷(xiāo)售量//p>

依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，為了更好地滿(mǎn)足讀者需求，該書(shū)店決定本季度購(gòu)進(jìn)中國(guó)古代四大名著時(shí)

多購(gòu)進(jìn)一些《西游記》，你認(rèn)為最影響該書(shū)店決策的統(tǒng)計(jì)量是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【解答】解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故應(yīng)最關(guān)心這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù).

故選：B.

5.（3分）在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，小明成績(jī)120分，超過(guò)班級(jí)半數(shù)同學(xué)的成績(jī)，分析得出這個(gè)

結(jié)論所用的統(tǒng)計(jì)量是（）

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

【解答】解：班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)排列后，最中間一個(gè)數(shù)或最中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)是這組成

績(jī)的中位數(shù)，

半數(shù)同學(xué)的成績(jī)位于中位數(shù)或中位數(shù)以下，

小明成績(jī)超過(guò)班級(jí)半數(shù)同學(xué)的成績(jī)所用的統(tǒng)計(jì)量是中位數(shù)，

故選：A.

6.（3分）如圖，已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.

步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫(huà)弧①；

步驟2：以8為圓心，84為半徑畫(huà)?、?，交弧①于點(diǎn)。；

步驟3：連接AO,交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.

下列敘述正確的是（）

A.S^ABC=BC'AHB.AC平分/BA。

C.垂直平分線(xiàn)段AOD.AB=AD

垂直平分線(xiàn)段AZ）,

故選：C.

7.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，ZA=90°,BC=2<2.以BC的中點(diǎn)。為圓心的圓分別

與A8,AC相切于。，E兩點(diǎn)，則弧OE的長(zhǎng)為（）

￡

7T7T7T

A.-B.-C.-D.K

432

【解答】解：連接?！?D,

設(shè)半徑為「，

：。。分別與A8,AC相切于力，E兩點(diǎn)，

J.OE^AC,ODA.AB,

?.?。是BC的中點(diǎn)，

；.?！辏┦侵形痪€(xiàn)，

OD=AE=%C,

，AC=2r,

同理可知：AB=2r,

：.AB=AC,

：.ZB=45°,

"：BC=2\[2

...由勾股定理可知AB=2,

r—L

?加_907rxi_n

??〃￡-18Q-2-

故選：C.

ADB

8.(3分)某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每盆花的盈利與每盆株數(shù)構(gòu)成一定

的關(guān)系.每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利5元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，

平均單株盈利就減少0.5元，要使每盆的盈利為20元，需要每盆增加幾株花苗？設(shè)每盆

增加x株花苗，下面列出的方程中符合題意的是()

A.(x+3)(5-0.5x)=20B.(%-3)(5+0.5x)=20

C.(x-3)(5-0.5x)=20D.(x+3)(5+0.5x)=20

【解答】解：由題意可得，

(x+3)(5-0.5x)=20,

故選：A.

9.(3分)已知某二次函數(shù)〉=/+公+c(a#0)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的

有()

①曲c<0；@a-b+c<0；③〃=—與；④8a+c>0.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：①函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則必<0,而cVO,則Mc>0,故①錯(cuò)誤,

不符合題意；

②函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,函數(shù)和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(3,0),則另外一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),

當(dāng)x=-l時(shí)，y—a-b+c—O,故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為尤=1=一右，即6=-2“，故③正確，符合題意；

④由②③得，b=-2a,a-b+c—O,故3a+c=0,而。>0,即5。>0,故8a+c>0正確,

符合題意；

故選：B.

10.(3分)如圖，正方形A8CZ)中，AB=6,E為A8的中點(diǎn)，將△AOE沿。E翻折得到4

FDE,延長(zhǎng)所交BC于G,FHLBC,垂足為“，連接B尸、DG.以下結(jié)論：①BF〃ED；

②△OFG絲△QCG；③△FHBS/XEAO；@tanZGEB=@S^BFG=2A；其中正確的個(gè)

B.3C.4D.5

【解答】解：???正方形A8CQ中，A8=6,E為AB的中點(diǎn)，

：.AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,ZA=ZC=ZABC=90°,

?//\ADE沿DE翻折得到△尸。E,

AZAED=ZFED,AD=FD=6,AE=EF=3,NA=NDFE=90°,

:.BE=EF=3,NDFG=NC=90°,

:"EBF=/EFB,

*.?NAED+/FED=/EBF+/EFB,

：.ZDEF=/EFB,

:?BF〃ED,故①正確；

?;AD=FD,

：.DF=DC,

在RtZXOFG和RtZV)CG中，/?￡=?￡，

：.RtADFG^RtADCG(”L),故②正確;

,：FH±BC,NABC=90°,

J.AB//FH,NF”B=NA=90°,

ZEBF=NBFH=NAED,

:.XFHBs/XEAD,故③正確；

VRtADFG^RtADCG,

：.FG=CG,

設(shè)FG=CG=x,則BG=6-x,EG=EF+FG=BE+FG=3+x,

在Rt^BEG中，由勾股定理得：32+(6-x)2=(3+x)2,

解得：x—2,

???3G=4,

tanZGEB=禺=*故④正確；

AE1

’:叢FHBSXEAD,且——=

AD2

：.BH=2FH

設(shè)Fka,則HG=4-2a,

在RtZ\F〃G中，由勾股定理得：a2+(4-2a)2=22,

解得：a—2(舍去)或a=|,

.'.S^BFG=x4x|=2.4,故⑤正確；

故選：D.

填空題(共5小題，每題3分，共15分)

11.(3分)因式分解：9/-81=9式+3)(x-3).

【解答】解：9/-81=9(W-9)=9(x+3)(x-3),

故答案為：9(x+3)(x-3).

12.(3分)在一個(gè)不透明的盒子中裝有8個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余

均相同.若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是白球的概率為|,則黃球的個(gè)數(shù)為4個(gè).

【解答】解：?.?在一個(gè)不透明的盒子中裝有8個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是白球

的概率為|,

設(shè)黃球有x個(gè)，根據(jù)題意得出：

?__8___2

??—―,

8+%3

解得：x=4.

故答案為：4.

13.(3分)如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，現(xiàn)在河的一岸邊任意取一點(diǎn)A,又在河的另一

岸邊取兩點(diǎn)8、C,測(cè)得Na=30°,NB=45°,量得BC長(zhǎng)為100米，則河寬度為50

_(V3+1)—米(結(jié)果保留根號(hào)).

A

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AOL3C于點(diǎn)D,

VZp=45°,ZADC=90°,

：.AD=DC,

設(shè)AD=DC=xnit

則tan30。=品^=冬

解得：x=50（V3+1）,

答：河的寬度為50（V3+1）m.

14.（3分）如圖，在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,。為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E_LOF,

7

交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)凡若CF=',AC=4,A8=2.則AE=」｝.

【解答】解：延長(zhǎng)尸。至G,使GO=FQ,連接8G,如圖所示:

?.,。為BC的中點(diǎn)，：,BD=CD,

BD=CD

在△BOG和△CD尸中,乙BDG=乙CDF,

GD=FD

:?△BDGQ4CDF(SA5),

7

:?BG=CF=0NG=NF,

:?BG〃CF,

：?2BGHsXAFH,

7

,GHBHBG_____2_______7_

??———7—,

FHAHAF4+-15

2

DH41515

----=-，AH=萬(wàn)亍4B=不「

FD112211

1s

VZBAC=90°,AF=AC+CF=

"QJ號(hào))2+(冷2=Z|其

??.?！?打〃=喏,

VDE1DF,

AZEDH=90°=ZBAC,

:.NE+/EHD=/F+/EHD=90°,

：.ZE=ZF1

:ADHEsAAHF,

IOVS

?HEDHHEy

??赤=而即運(yùn)=H

2211

解得：HE=等,

：.AE=HE-AH=汽一定=10：

故答案為：10.

E

15.(3分)如圖，已知雙曲線(xiàn)y=￥(x<0)和y=[(x>0),直線(xiàn)0A與雙曲線(xiàn)丫=基交

于點(diǎn)A,將直線(xiàn)OA向下平移與雙曲線(xiàn))=竽交于點(diǎn)B,與)，軸交于點(diǎn)P,與雙曲線(xiàn)y=1交

于點(diǎn)C,SAABC=6,BP：CP=2：1,則k的值為-3

【解答】解：如圖連接OB,OC,作BE_LOP于E,CF_Ly軸于F.

OA//BC,

S^OBC=S^ABC=6,

PB：PC=2：1,

S&OPB=4,S?OPC=2,

1

S&OBE=2xl2=6,

S^PBE=2,

△BEPSMFP,

11

=f

S〉CFP=2X42

SAOCF=29

：.k=-3.

故答案為：-3.

三.解答題（共7小題，其中第16題6分，第17小題7分，第18小題7分，第19小題8

分,第20小題8分，第21小題9分，第22小題10分，共55分)

16.(6分)|B一2|+(n-2021)0-(-)-'+3tan30°.

【解答】解：原式=2-b+1-3+3X亭

=2—>/3+1-3+V3

=0.

X?史誓L其中x=2.

17.（7分）先化簡(jiǎn)，再求值（占-1）十

xz-l

XX—10+1)2

【解答】解：原式=（----）+

X—1X~1(x+l)(x—1)

1x-1

x+1

1

~%+1'

當(dāng)x=2時(shí)，原式=g.

18.（7分）為了倡導(dǎo)公筷公勺和分餐制為主的餐桌文明，某校開(kāi)展了“你的家庭就餐分餐

了嗎？”的調(diào)查活動(dòng)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們家庭就餐的分餐情況進(jìn)行調(diào)查，調(diào)

查結(jié)果有四種：4完全分餐，8多數(shù)時(shí)候分餐，C偶爾分餐，。從來(lái)不分餐，學(xué)校根據(jù)調(diào)

查的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

分餐情況扇形統(tǒng)計(jì)圖分餐情況條形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；

（3）若該校共有學(xué)生2400人，在（1）的基礎(chǔ)上估計(jì)該校家庭就餐的分餐情況為“多數(shù)

時(shí)候分餐”的學(xué)生人數(shù).

【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)是150+25%=600（人），

多數(shù)時(shí)候分餐的人數(shù)有：600-40-210-150=200（A），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

分餐情況條形統(tǒng)計(jì)圖

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中C對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是360°x端=126°；

（3）根據(jù)題意得：

2400x^=800（人），

答：該校家庭就餐的分餐情況為“多數(shù)時(shí)候分餐”的學(xué)生人數(shù)有800人.

19.（8分）如圖，在uABCO中，AC,BD交于點(diǎn)O,且AO=BO.

（1）求證：四邊形A8CD是矩形；

（2）NBOC的平分線(xiàn)OM交8c于點(diǎn)M,當(dāng)48=3,tan/OBC=京時(shí)，求CM的長(zhǎng).

【解答】證明：（1）???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AC=2AOfBD=2BO.

9：AO=BO,

：.AC=BD.

?"A3CQ為矩形.

(2)過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)G,如圖所示:

???四邊形A8CO是矩形，

：.ZDCB=90°,

:.CM1CD,

為NBDC的角平分線(xiàn)，

；?MG=CM.

?:OB=OC,

：.ZACB=ZDBC.

3

：AB=3,tanZZ)BC=7,

2AR

：.tanZACB=tanZDBC=充=等.

；.BC=4.

：.AC=BD=y/BC23+CD2=V32+42=5,sin/ACB=sin/￡?BC=差=|.

設(shè)CM=MG=x,則BM=4-x,

在△BMG中，/BGM=90°,

：.sinZDBC=x^=l3

解得：x=I，

3

ACM=1.

20.（8分）某校在開(kāi)展“健康中國(guó)”讀書(shū)征文評(píng)比活動(dòng)中，對(duì)優(yōu)秀征文予以評(píng)獎(jiǎng)，并頒發(fā)

獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品有甲、乙、丙三種類(lèi)型.已知1個(gè)丙種獎(jiǎng)品的價(jià)格是1個(gè)甲種獎(jiǎng)品價(jià)格的2

倍，1個(gè)乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格比1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格多10元.用120元分別去購(gòu)買(mǎi)甲、乙、

丙三種獎(jiǎng)品，購(gòu)買(mǎi)到甲和丙兩種獎(jiǎng)品的總數(shù)量是乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的2倍.

(1)求1個(gè)甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品的價(jià)格分別是多少元？

(2)該校計(jì)劃：購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品共300個(gè)，其中購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量是丙種獎(jiǎng)

品的3倍，且甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙、丙兩種獎(jiǎng)品的數(shù)量之和.求該校完成購(gòu)買(mǎi)計(jì)劃

最多要花費(fèi)多少元?

【解答】解：(1)設(shè)1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格為x元，則1個(gè)乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格為(x+10)元,

1個(gè)丙種獎(jiǎng)品的價(jià)格為2x元,

效+W=2x晶,

依題意得:

x2xx+10

解得：x=30.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，且符合題意,

?■x+10=40,2x=60.

答：1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格為30元，1個(gè)乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格為40元，1個(gè)丙種獎(jiǎng)品的價(jià)格為

60元.

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)丙種獎(jiǎng)品加個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品3根個(gè)，乙種獎(jiǎng)品(300-4/n)個(gè)，

依題意得:3ffle(300-4m)+m,

設(shè)該校購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元，則w=30X3相+40(300-4/n)+60m=-10/M+12000.

■:k=-10<0,

；.卬隨m的增大而減小,

...當(dāng)m=50時(shí),卬取得最大值，最大值=-10X50+12000=11500.

答：該校完成購(gòu)買(mǎi)計(jì)劃最多要花費(fèi)11500元.

21.(9分)如圖，AB為。。的直徑，C為。0上的一點(diǎn)，連接AC、BC,OQLBC于點(diǎn)E,

交00于點(diǎn)D,連接CD、AD,AD與BC交于點(diǎn)F,CG與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G.

(1)求證：［XkCDs△CFD：

(2)若NCD4=NGC4,求證：CG為的切線(xiàn);

1

(3)若sin/。。"，求tan/CD4的值.

D

G

【解答】(1)證明：?.,OO_L2C,

：.CD=BD,

：.ZCAD=ZFCD,

又；ZADC^ZCDF,

：.AACD^ACFD；

(2)證明：連接OC,如圖1所示：

：AB是。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZABC+ZCAB=90°,

?：OB=OC,

：.NOBC=NOCB,

ZCDA=ZOBC,ZCDA=ZGCA,

J.ZOCB^ZGCA,

：.ZOCG=ZGCA+ZOCA=NOCB+NOCA=90°,

：.CG±OC,

：oc是。。的半徑，

;.CG是00的切線(xiàn)；

(3)解：連接BD,如圖2所示：

；NCAD=NCBD,

'JODYBC,

npi

：.sinZCAD^sinZCBD=BE=CE,

設(shè)。E=x,OD=OB=r,則OE=r-x,BD=3x

在RtABDE中,BE=>JBD2-DE2=V9x2-x2=2y[2x,

：.BC=2BE=4缶,

在Rt/XOBE中，OE2+B伊=0B2,

即(r-x)2+(2>/2x)2=a,

解得：L

??A3=2r=9x,

在Rt"8C中，AC2+BC2=AB2,

/.AC2+（4伍）2=（9x）2,

，AC=7x或4C=-lx（舍去），

22.(10分)已知拋物線(xiàn)尸-#+A+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,3),頂點(diǎn)為8,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2.

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖1,拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過(guò)A作ADLx軸于點(diǎn)￡),E是線(xiàn)段AC

上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,C兩點(diǎn)重合)；

(/)若直線(xiàn)BE將四邊形ACO。分成面積比為1：3的兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(/7)如圖2,連接OE,作矩形。EFG,在點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)G落在y軸

上的同時(shí)點(diǎn)F恰好落在拋物線(xiàn)上？若存在，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

—7X42-I-4/?+C=3

,b，

i-=2n

2x（T）

解得：F=

lc=3

???拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：丁=一#+戈+3,

y=—47+犬+3=—彳（X-2）~+4,

，頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,4）；

（2）（i）*.,y=-^X2+X+3,

?**x=0時(shí)，y—3i

則。點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,3）,

VA（4,3）,

：.AC//OD9

9：AD1.x,

???四邊形ACOQ是矩形,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為Gn,3),直線(xiàn)B