江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中試卷高二數(shù)學(xué)2023.11注意事項答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．本卷共4頁，包含選擇題（第1題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）．本卷滿分150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卷交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置．3．請在答題卷上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其它位置作答一律無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（）A．36 B．45 C．54 D．632．圓的圓心到直線的距離為（）A．0 B．1 C． D．3．?dāng)?shù)列中，，，則（）A．77 B．78 C．79 D．804．直線，，若兩條直線平行，則實數(shù)（）A． B．1 C．3 D．或35．若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂更多優(yōu)質(zhì)滋元可家威杏MXSJ663心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）A． B． C． D．7．已知，，（，），為其前項和，則（）A． B． C． D．8．已知正方形的邊長為2，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．直線的傾斜角為B．經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C．直線與直線之間的距離是D．直線，，，則10．下列命題中，正確的有（）A．?dāng)?shù)列中，“（，）”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B．?dāng)?shù)列的通項為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則D．等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則11．已知圓與直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，直線，分別與圓切于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A．四邊形的面積最小值為B．最短時，弦長為C．最短時，弦直線方程為D．直線過定點(diǎn)12．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A． B．C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．過點(diǎn)，，圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．14．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．15．設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值為__________．16．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．19．（本小題滿分12分）已知的三個頂點(diǎn)分別為，，，直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．20．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，①求數(shù)列的前項和；②若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的最大值．21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和記為，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項和記為．若，且存在不小于3的正整數(shù)，，使得．（1）若，，求的值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．22．（本小題滿分12分）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是曲線，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，（異于原點(diǎn)）直線，的斜率分別為，，且，①證明：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②若，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中試卷高二數(shù)學(xué)參考答案2023.11一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．12345678CDDCAABD二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9101112ACDADACDBCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14． 15． 16．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）解：（1）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，又的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．由與聯(lián)立，解得，，因為邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）依題意可設(shè)直線的方程為（，），則．因為，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積的最小值為．18．（本小題滿分12分）解：（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．（2）因為，所以，所以．19．（本小題滿分12分）解：（1）因為，，，所以，，所以，又，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點(diǎn)，所以，半徑為2，所以的方程為．（2）因為圓的半徑為2，當(dāng)直線截圓的弦長為時，圓心到直線的距離為．①當(dāng)直線與軸垂直時，方程為，與圓心的距離為1，滿足條件；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即，因為圓心到直線的距離為，解得，此時直線的方程為．綜上可知，直線的方程為或．20．（本小題滿分12分）解：（1）依題意得解得，，即．（2）①，，，，．．②由（1）易求得，所以不等式對一切恒成立，即轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，令，則，由，所以，且，則．所以實數(shù)的最大值為．21．（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)時，，因為，，所以．（2）由，得，兩式相減，得，即，所以．兩式相減，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．（3）依題意：，由得：，即，所以．因為，且，所以，又因為，且為奇數(shù)，所以時，是整數(shù)，此