北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題1.1 銳角三角函數(shù)（知識講解）

專題1.1銳角三角函數(shù)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2．理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

特別說明：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號，是一個(gè)整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，，，tanA＞0．要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°特別說明：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

【典型例題】類型一、三角函數(shù)概念的辨析1．（1）如圖1．△ABC中，∠C為直角，AC=6，BC=8，D，E兩點(diǎn)分別從B，A開始同時(shí)出發(fā)，分別沿線段BC，AC向C點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到C點(diǎn)后停止，他們的速度都為每秒1個(gè)單位，請問D點(diǎn)出發(fā)2秒后，△CDE的面積為多少？（2）如圖2，將（1）中的條件“∠C為直角”改為∠C為鈍角，其他條件不變，請問是否仍然存在某一時(shí)刻，使得△CDE的面積為△ABC面積的一半？若存在，請求出這一時(shí)刻，若不存在，請說明理由．【答案】（1）D點(diǎn)出發(fā)2秒后，△CDE的面積為12；（2）D點(diǎn)出發(fā)2秒鐘時(shí)△CDE的面積為△ABC面積的一半，理由見解析.【分析】（1）D，E出發(fā)2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的長，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）如圖，過B，D點(diǎn)分別作AC，CE邊上的高，設(shè)D，E運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，根據(jù)根據(jù)三角形的面積公式列出方程式求解即可.解：（1）∵D，E出發(fā)2秒后，BD=AE=2，∴CD=BC－BD=8－2=6，CE=AC－AE=6－2=4，則S△CDE=CD·CE=×6×4=12.答：D點(diǎn)出發(fā)2秒后，△CDE的面積為12.（2）如圖，過B，D作AC邊上的高DH，BG設(shè)D，E運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，則(8﹣x)(6﹣x)sin∠BCG=×6×8sin∠BCG解得x=2或x=12（舍去），所以D點(diǎn)出發(fā)2秒鐘時(shí)△CDE的面積為△ABC面積的一半，舉一反三：【變式1】如圖，在中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，，求的值．【答案】【分析】先證明△ADC∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，再證明CDE∽△CAB，根據(jù)相似三角形的面積比定義相似比的平方計(jì)算即可．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC，∴=，∴=，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵，∴=，∴=（）2=（）2=．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，射線OA放置在4×5的正方形虛線網(wǎng)格中，現(xiàn)請你在圖中找出格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）B，并連接OB、AB使△AOB為直角三角形，并且（1）使tan∠AOB的值為1；（2）使tan∠AOB的值為．【答案】（1）如圖1所示：見解析；（2）如圖2所示；見解析【分析】根據(jù)tan∠AOB的值分別為1、，構(gòu)造直角三角形進(jìn)而得出答案．解：如圖1所示：∵OA=,且tan∠AOB=1，∴AB=OB=,∴可找到格點(diǎn)B.如圖2所示；同上一問的解法，可以求得AB=,OB=.即可找到點(diǎn)B.【點(diǎn)撥】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．類型二、求三角函數(shù)值2．如圖，的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，求的三角函數(shù)值．【答案】，，．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、逆定理求出三角形的邊長，最后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．解：不妨設(shè)小正方形的邊長為1，如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，，交的延長線于點(diǎn)E，則，，∵，即，解得，∴在中，，∴，，，故答案為：，，．【點(diǎn)撥】此題考查的是求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D點(diǎn)，AB=4，BC=3．求：sin∠ACD、cos∠ACD、tan∠ACD．【答案】sin∠ACD，cos∠ACD，tan∠ACD．【分析】先得到∠B=∠ACD，根據(jù)勾股定理可以求得AC的長度，即可求得∠B即∠ACD的三角函數(shù)值．解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，AC=，∴sin∠ACD=sinB=，cos∠ACD=cosB=，tan∠ACD=tanB=．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形中三角函數(shù)值的計(jì)算，考查了勾股定理的運(yùn)用，本題中求AC的長是解題的關(guān)鍵．【變式2】.（1）如圖：在中，，，根據(jù)圖中的作圖痕跡可知為的______；（2）在第（1）問的條件下，請完善以下求的過程：作于點(diǎn)，設(shè)為，則列方程得：__________解得：______，∴______．【答案】（1）角平分線；（2）x+x=1，-1，-1【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法判斷即可．（2）證明BD=DE，根據(jù)BC=1，構(gòu)建方程求解即可．解：（1）由作圖可知，AD平分∠CAB，故答案為：角平分線；（2）∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是角平分線，∴DC=DE，∴∠AED=90°，∵CA=CB=1，∠C=90°，∴∠B=45°，∴BD=DE，∴x+x=1，∴x=-1，∴tan∠BAD=tan∠CAD=-1，故答案為：x+x=1，-1，-1．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．類型三、由三角函數(shù)值求邊長3．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且．（1）求長；（2）求的正弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，勾股定理求得，即可求解；（2）過點(diǎn)A作交延長線于點(diǎn)E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．解：（1），∴，∵∴，∴，∴；（2）如圖，過點(diǎn)A作交延長線于點(diǎn)E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，在四邊形中，，，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn).（1）求證：四邊形是平行四邊形（2）若，，求的長【答案】(1)詳見解析;(2)9【分析】(1)直接利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出答案；

(2)利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得，設(shè)，，再利用勾股定理得出AE的長，進(jìn)而求出答案．解：(1)∵，，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；(2)∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴,∴，設(shè)，，∵，∴，即，解得：，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定以及銳角三角函數(shù)關(guān)系、勾股定理，正確得出是解題關(guān)鍵．【變式2】.如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而可得，然后可得，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）得：，則有，進(jìn)而可得，然后可得，設(shè)，則有，最后由三角函數(shù)可得，求解即可．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，設(shè)，則有，∴，即，解得：，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、三角函數(shù)值的增減性4．如圖，已知和射線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)到、的距離為、．（1）若，，，試比較、的大??；（2）若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，根據(jù)兩個(gè)角的正弦的大小進(jìn)行比較即可得到結(jié)果；

（2）運(yùn)用兩個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦值的變化規(guī)律進(jìn)行比較．解：在中，在中，又∴；根據(jù)得，又∵∴∴．【點(diǎn)撥】考查了銳角的正弦值的變化規(guī)律：在銳角的范圍內(nèi)，正弦值隨著角的增大而增大．舉一反三：【變式1】我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)概念結(jié)合圖中幾個(gè)銳角角，就能發(fā)現(xiàn)隨著一個(gè)銳角的增大，它的對邊在減小，鄰邊在增大，即可找到正余弦變化規(guī)律（2）根據(jù)（1）中規(guī)律即可解：（1）由題圖可知，.∵，，，又∵，且，∴，∴∵，，，又∵，∴，∴．∵，，又∵，，∴.∴.規(guī)律：銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大.（2）；；.【點(diǎn)撥】本題考查銳角三角函數(shù)的求法以及比較大小，熟練掌握銳角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵【變式2】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．（1）將向下平移4個(gè)單位后得到，請畫出；（2）將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，請畫出，并直接寫出的值；【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，【分析】（1）將的向下平移4個(gè)單位后得到坐標(biāo)，依次連接即可；（2）將三點(diǎn)繞繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，依次連接即可得到，作C2D⊥B2C2，求出，即可求出的值.解：（1）將的向下平移4個(gè)單位后得到坐標(biāo)，依次連接即可得到如圖所示；（2）將三點(diǎn)繞繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，依次連接即可得到如圖所示，作C2D⊥B2C2，在Rt△中，，.【點(diǎn)撥】本題是對圖形平移旋轉(zhuǎn)的考查，熟練掌握圖形平移，旋轉(zhuǎn)的作法及三角函數(shù)知識是解決本題的關(guān)鍵.類型五、由函數(shù)值確實(shí)銳角的取值范圍5．如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離．（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m，滑梯最高處A在陽光下的影長為1m，求滑梯的高；（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（）不超過30°屬于安全范圍，請通過計(jì)算說明這架滑梯的傾斜角是否符合安全要求？【答案】（1）2米；（2）符合【分析】（1）利用影長物高成比例求解即可；（2）先求出銳角三角函數(shù)值，再利用銳角三角函數(shù)值求出角的范圍即可．解：（1），，答：滑梯高為2米；（2）∵AC=2m,BC=4m，∴，∵正切值隨著角的增大函數(shù)值增大，，這架滑梯的傾斜角符合安全要求．【點(diǎn)撥】本題考查影長物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性，掌握影長物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等腰直角三角形，，線段與線段相交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)從線段上轉(zhuǎn)到與點(diǎn)重合的過程中，線段的長度的取值范圍______．

【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=CD=3，由點(diǎn)Q在EF上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，DQ有最大值為3，當(dāng)DQ⊥EF時(shí)，DQ有最小值，由銳角三角函數(shù)可求解．解：∵BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴CD=BD=3，

∵將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)E從線段AB上轉(zhuǎn)到與點(diǎn)C重合，

∴DE=CD=3，

∵線段EF與線段AB相交于點(diǎn)Q，

∴點(diǎn)Q在EF上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，DQ有最大值為3，

如圖，連接DQ，當(dāng)DQ⊥EF時(shí)，DQ有最小值，

∵△DEF是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴∠E=45°，∴DQ的最小值為故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，利用垂線段最短解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式2】.函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，且是三角形的內(nèi)角，則的取值范圍是________【答案】【分析】因?yàn)閏osθ＞0，所以只要△＜0，