4.3.3 余角和補角（分層作業(yè)）【解析版】

基礎訓練1．若，則它的補角的余角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先求出的補角，再求出其余角即可．解：，它的補角為，．故選：C【點睛】本題考查的是余角和補角，熟知余角和補角的定義是解題的關(guān)鍵2．如圖，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】用，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：D【點睛】本題考查了求一個角的余角，角度的計算，熟練掌握角度是計算是解題的關(guān)鍵．3．如圖，將一個直角三角形紙片的直角頂點放在直線上的點處，固定直線，當紙片繞著點在直線上方旋轉(zhuǎn)時，與的度數(shù)會發(fā)生改變，則與（

）A．是對頂角 B．互為余角 C．互為鄰補角 D．互為補角【答案】B【分析】如果兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角，由此即可得到答案．【詳解】解：，，與互為余角，與的兩邊不互為反向延長線，與不是對頂角．故選：B．【點睛】本題考查余角，關(guān)鍵是掌握余角的定義．4．如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得，根據(jù)同角的余角相等可得．【詳解】解：，，，，故選：D．【點睛】本題考查余角的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是掌握同角或等角的余角相等．5．如圖，直線與直線相交于點O，若平分，平分，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計算，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：平分，，平分，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了角的計算，主要利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟記概念并準確識圖，理清圖中各個角度之間的關(guān)系．6．已知是銳角，與互補，與互余，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由補角和余角的概念可得，，進一步即可求出答案．【詳解】解：∵是銳角，與互補，與互余，∴，，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了余角和補角的定義，屬于基礎題目，熟練掌握余角和補角的定義是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點O在直線上，，若，則的補角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義可得，從而利用角的和差關(guān)系可得，然后利用同角（等角）的補角相等，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵和互為鄰補角，∴的補角的大小為，故選：B．【點睛】本題考查了垂線以及余角和補角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．8．已知，則的補角等于．【答案】【分析】根據(jù)互為補角的兩個角的和等于列式計算即可得解．【詳解】解：∵，∴的補角．故答案為：．【點睛】本題考查了補角的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．9．若一個角的余角的倍比這個角的補角多，則這個角的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)余角的和等于，補角的和等于，用這個角表示出它的余角與補角，然后根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設這個角是，則它的余角是，補角是，根據(jù)題意得，解得：．故這個角的度數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查了余角和補角的知識，掌握余角的和等于，互補的兩角之和為是關(guān)鍵．10．如下圖所示，的度數(shù)是，的余角的度數(shù)是．

【答案】【分析】先根據(jù)圖形得出，再根據(jù)“相加為的兩個角互余”得出的余角的度數(shù)即可．【詳解】解：由圖可得：，∴的余角度數(shù)，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了量角器的識別，角度的和差關(guān)系，余角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相加為的兩個角互余．11．已知與互余，與互補，若，則．【答案】/【分析】先根據(jù)余角的定義求出，再根據(jù)補角的定義求出即可．【詳解】解：∵，與互余，∴，∵與互補，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求一個角的余角和求一個角的補角，解題的關(guān)鍵在于熟知度數(shù)之和為90度的兩個角互余余角，度數(shù)之和為180度的兩個角互為補角．12．如圖，，于點，點、、在一條直線上，則．

【答案】/40度【分析】根據(jù)平角定義先求出的度數(shù)，再根據(jù)垂直定義求出，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂線，角的和差計算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．13．一副三角尺按如圖方式擺放，的度數(shù)是度數(shù)的倍，則的度數(shù)為度．

【答案】【分析】由題意可知，可得，且，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：由題意知，，∴，解得；故答案為：．【點睛】本題考查了與三角板有關(guān)的角度計算，一元一次方程的應用．解題的關(guān)鍵是找出角度之間的數(shù)量關(guān)系．14．如圖，B處在A處的南偏西42°方向，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東72°方向，則∠ACB的度數(shù)是．【答案】78°【分析】根據(jù)方向角的定義，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵AE，DB是正南和正北方向，∴BD∥AE，∵B處在A處的南偏西42°方向，∴∠BAE＝∠DBA＝42°，∵C處在A處的南偏東30°方向，∴∠EAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，又∵C處在B處的北偏東72°方向，∴∠DBC＝72°，∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案為：78°．【點睛】本題考查的是方向角的概念，用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．15．一個角的余角比這個角的補角的還小，求這個角的余角及這個角的補角．【答案】余角為，補角為°【分析】設這個角為，則這個角的余角為，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設這個角為，則這個角的余角為，由題意得，，解得：，∴這個角是，∴這個角的余角為，補角為．【點睛】本題考查了求一個角的余角與補角，一元一次方程的應用，熟練掌握余角與補角的定義是解題的關(guān)鍵．16．如圖，，若，求的度數(shù)．

【答案】的度數(shù)為【分析】先由求出的度數(shù)，再由進行計算即可得到答案．【詳解】解：，，，的度數(shù)為．【點睛】本題考查了余角以及角度的計算，準確的進行計算是解題的關(guān)鍵．17．如圖，，是的平分線，C、O，D在同一條直線上．若，求的度數(shù)．

【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及余角和補角計算即可；【詳解】解：因為是的平分線，且，所以．又因為，所以，所以．【點睛】本題考查了角度的計算，也考查了角平分線的定義，找到各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．如圖，射線OA的方向是北偏東15°，射線OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射線OD是OB的反向延長線．（1）射線OC的方向是；（2）若射線OE平分∠COD，求∠AOE的度數(shù)．【答案】(1)北偏東70°；(2)∠AOE＝90°【分析】（1）先求出，再求得的度數(shù)，即可確定的方向；（2）根據(jù)，，得出，進而求出的度數(shù)，根據(jù)射線平分，即可求出再利用求出答案即可．【詳解】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏東15°，∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，∵∠AOB＝∠AOC，∴∠AOC＝55°，∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，∴OC的方向是北偏東70°；故答案為：北偏東70°；

（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，∴∠BOC＝110°．又∵射線OD是OB的反向延長線，∴∠BOD＝180°．∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，∴∠COE＝35°．∵∠AOC＝55°．∴∠AOE＝90°．【點睛】此題主要考查了方向角的表達即方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）多少度．19．如圖，已知點為直線上一點，，，平分．

(1)求的度數(shù)；(2)若與互余，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知角度結(jié)合平角的定義可求解，的度數(shù)，再利用角平分線的定義可求解；（2）根據(jù)余角的定義，平角的定義可求解的度數(shù)，再利用角平分線的定義結(jié)合角的和差可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，平分，，；（2）與互余，，，，平分，，．【點睛】本題主要考查余角的定義，角平分線的定義及角的計算，靈活運用角的和差求解相關(guān)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．能力提升20．如圖，甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，甲沿北偏東50方向步行前進，乙沿圖示方向步行前進．當甲到達B地，乙到達C地時，甲與乙前進方向的夾角∠BAC為100，則此時乙位于A地的()A．南偏東30 B．南偏東50 C．北偏西30 D．北偏西50【答案】A【分析】直接根據(jù)題意得出各角度數(shù)，進而結(jié)合方向角表示方法得出答案．【詳解】解：如圖所示：由題意得：∠1=50，BAC=100∴∠2=180°-∠1-BAC=180°-50-100=30故乙位于A地的南偏東30．故選：A．【點睛】此題主要考查了方向角，正確掌握方向角的表示方法是解題關(guān)鍵．21．如圖，將一副三角板的直角頂點重合擺放在桌面上，下列各組角一定能互補的是（

）A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACFC．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF【答案】A【分析】因為是直角三角板，所以∠ACB和∠DCF都等于90°，所以利用角的和差把選項中的角能轉(zhuǎn)化成∠ACB+∠DCF即為正確答案.【詳解】∵∠BCD+∠ACF=∠BCD+∠ACD+∠DCF=∠ACB+∠DCF=90°+90°=180°,∴選A【點睛】本題中出現(xiàn)一副三角板，我們需注意到三角板中的直角，又提出問題為互補，所以我們應將相應的角，利用角的和差等量變化成直角，若能即為正確答案.22．如圖，是直線上的一點，是一條射線，平分，在內(nèi)，且，．下列四個結(jié)論：①；②射線平分；③圖中與互余的角有2個．其中結(jié)論正確的序號有（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②【答案】B【分析】①根據(jù)平分，，，以及平角是，求出，即可得出結(jié)論；②求出，即可得出結(jié)論；③根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴設，則，∵，∴，∴，解得：，∴，故①錯誤；∵，，∴，則，∴射線平分，故②正確；∵，∴，∴圖中與互余的角有2個，故③正確；綜上，正確的是②③；故選B．【點睛】本題考查幾何圖形中角的計算．余角的定義，理清角之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．23．如圖，直線與相交于點，平分，平分，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)補角的定義及角平分線的定義，再根據(jù)余角的定義及角平分線的定義得到．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了補角的定義，余角的定義，角平分線的定義，理解角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．24．在直線上取一點，過點作射線，使得，當，則的度數(shù)是．【答案】或/或【分析】考慮到點D、點E可能在直線AB的一側(cè)，也可能在直線的兩側(cè)，分兩種情況討論．【詳解】當點D、點E位于直線的同一側(cè)時，如下圖．由得，，∴．當點D、點E位于直線的異側(cè)時，如下圖．．∴．故答案為：或．【點睛】本題考查了余角、補角的概念，解題的關(guān)鍵理解余角、補角的定義．25．如圖，直線與相交于點O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發(fā)，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當旋轉(zhuǎn)時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值為秒．（旋轉(zhuǎn)過程中，，都只考慮小于的角）

【答案】1或13或25【分析】利用角平分線求出，，求出，，求出，由角平分線，求出，，再分平分，平分，平分三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；分情況討論：①當平分時，

∵，∴，即：，∴，∴；②平分時，

則：，∴，∴；③當平分時：

則：，∴，∴點旋轉(zhuǎn)的角度為：，∴；綜上：的值為：1或13或25．故答案為：1或13或25．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．26．如圖，點O是直線上一點，平分，在直線另一側(cè)以O為頂點作．

(1)若，那么__________﹔與的關(guān)系是__________；(2)與有什么數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】(1)，互余(2)，見解析【分析】（1）先根據(jù)平角的意義，得，再由條件可知，可求得答案；（2）先證得，，再利用平角的定義證得，即可證．【詳解】（1）解：點O在直線上，，又，，若，則；故填：，互余．（2）解：理由：點O是直線上一點，平分，，∴，即：．【點睛】本題主要考查角平分線的定義，平角的定義，掌握角平分線和平角定義是解題的關(guān)鍵．拔高拓展27．已知：O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如圖1，當∠AOC＝40°時，求∠DOE的度數(shù)；(2)如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；(3)如圖3，∠AOC=36°，此時∠COD繞點O以每秒6