對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發(fā)明了供天文計(jì)算作參考的對(duì)數(shù)，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書》，公布了他的發(fā)明。恩格斯把對(duì)數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就。

假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？問(wèn)題引入如何列方程？如何求出x的值?即這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問(wèn)題。即指數(shù)式中，已知a和N.求b的問(wèn)題。（這里a>0且a≠1）

一般地，如果a(a＞0,且a≠1)的b次冪等于N，就是ab＝N

，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN＝b.其中a叫底數(shù),N叫真數(shù).即定義：此對(duì)應(yīng)始終保持底數(shù)不變，指明轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是b、N位置的變化.指數(shù)真數(shù)底數(shù)對(duì)數(shù)冪底數(shù)例如練習(xí)化為對(duì)數(shù)式化為對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式(1)若a<0，則N取某些數(shù)值時(shí)，x不存在，為此規(guī)定a不能小于0.對(duì)數(shù)符號(hào)logaN只有在a>0，且a≠1同時(shí)N>0時(shí)才有意義，這是為什么？因此，規(guī)定a≠0.1．如何準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)概念？思考：因此N>0.因此，規(guī)定a≠1(4)由于正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，即ax>0對(duì)數(shù)符號(hào)logaN只有在a>0，且a≠1同時(shí)N>0時(shí)才有意義綜上所述：底數(shù)a的取值范圍(0,1)∪(1,＋∞)；

真數(shù)N的取值范圍(0,＋∞).2．如何準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系思考：(1)在關(guān)系式ax＝N中，已知a和x求N的運(yùn)算稱為求冪運(yùn)算；而如果已知a和N，求x，就是對(duì)數(shù)運(yùn)算．兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算．(2)并非任何指數(shù)式都可以直接化為對(duì)數(shù)式，如(－3)2＝9就不能直接寫成log－39，只有符合a>0，a≠1且N>0時(shí)，才有ax＝N?x＝logaN.需要熟記的一些結(jié)論1.loga1＝0，logaa＝13.負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)1.我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù).為了簡(jiǎn)便，N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記作lgN.2.在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)e＝2.71828……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記作lnN．試試：分別說(shuō)說(shuō)lg5、lg3.5、ln10、ln3的意義.兩種特殊的對(duì)數(shù)例1

將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式例2

將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式例3

求下列各式中的x的值例4計(jì)算16-13求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范圍．思考：練習(xí)：教材第64頁(yè)練習(xí)第1、2、3、4題小結(jié)：1.對(duì)數(shù)的定義2.對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化3.三種運(yùn)算：求對(duì)數(shù)求真數(shù)求底數(shù)作業(yè)：