專(zhuān)題37 二次函數(shù)問(wèn)題【無(wú)答案】

專(zhuān)題37二次函數(shù)問(wèn)題1.二次函數(shù)的概念：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì)yyxO（1）對(duì)稱(chēng)軸：（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（3）與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）（4）增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減??；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小。3.二次函數(shù)的解析式三種形式（1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0).已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式。（3）交點(diǎn)式.已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式。4．根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號(hào)（1）a確定開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下。（2）b——對(duì)稱(chēng)軸與a左同右異。（3）拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）5．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。拋物線y=ax2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；<0時(shí)，一元二次方程有不等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。6．函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.【例題1】（2020貴州黔西南）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4交y軸于點(diǎn)A，交過(guò)點(diǎn)A且平行于x軸的直線于另一點(diǎn)B，交x軸于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D右邊），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，連接AC，AD，BC．若點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在線段OC上，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，4) B.AB＝AD C.a＝ D.OC?OD＝16【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020湖北天門(mén)模擬）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0）．對(duì)于下列命題：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（）A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)【例題2】（2020?無(wú)錫）二次函數(shù)y＝ax2﹣3ax+3的圖象過(guò)點(diǎn)A（6，0），且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，若△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】已知拋物線y=ax2﹣3x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），則4a+c﹣1=．【例題3】（2020?河南）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，且OA＝OB，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對(duì)稱(chēng)軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸是x=2．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．一、選擇題1．（2020?鄂州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C．下列結(jié)論：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2020?株洲）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，則（）A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2的大小無(wú)法確定3．（2020?襄陽(yáng)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．（2020?廣東）把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后圖象的的數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣35．（2020?菏澤）一次函數(shù)y＝acx+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A．B．C．D．6．（2020?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0，c＞1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），其對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1①abc＞0；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；③a＜-1其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2020?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y軸向下平移3個(gè)單位．則平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8.（2019哈爾濱）將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得到的拋物線為（）A．B．C．D．9.（2019年陜西?。┮阎獟佄锞€，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（）．A．B．C．D．10.（2019廣西梧州）已知，關(guān)于的一元二次方程的解為，，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．二、填空題11．（2020?南京）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m為常數(shù)）的結(jié)論：①該函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝﹣x2的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減??；④該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y＝x2+1的圖象上．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．12．（2020?連云港）加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”．在特定條件下，可食用率y與加工時(shí)間x（單位：min）滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，則最佳加工時(shí)間為min．13．（2020?泰安）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列結(jié)論：①a＞0；②當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)最小值為﹣6；③若點(diǎn)（﹣8，y1），點(diǎn)（8，y2）在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）14．（2020?哈爾濱）拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．15．（2020?無(wú)錫）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，使其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為y軸：．16．（2020?上海）如果將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是．17．（2020?黔東南州）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，則當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍是．18．（2020?灌南縣一模）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．19.（2019黑龍江哈爾濱）二次函數(shù)的最大值是．20.（2019江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過(guò)點(diǎn)A(m，3)，B(n，3)兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)不大于4，則代數(shù)式a2＋a＋1的最小值是．21.（2019內(nèi)蒙古赤峰）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④當(dāng)x＜﹣1或x＞3時(shí)，y＞0．上述結(jié)論中正確的是．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題22．（2020?陜西）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線l．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）P是該拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點(diǎn)．要使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)E的坐標(biāo)．23．（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過(guò)O（0，0）、A（1，0）、B（32，3（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（2020?黑龍江）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知△BAC的面積是6．（1）求a的值；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△ABP＝S△ABC．若存在請(qǐng)求出P坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2020?衡陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（2，0）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．26．（2020?甘孜州）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每周的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)y＝kx+b，且當(dāng)售價(jià)定為50元/件時(shí)，每周銷(xiāo)售30件，當(dāng)售價(jià)定為70元/件時(shí)，每周銷(xiāo)售10件．（1）求k，b的值；（2）求銷(xiāo)售該商品每周的利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式，并求出銷(xiāo)售該商品每周可獲得的最大利潤(rùn)．27．（2020?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（2，1），直線y＝x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，拋物線y＝ax2+bx+1恰好經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)B是否在直線y＝x+m上，并說(shuō)明理由；（2）求a，b的值；（3）平移拋物線y＝ax2+bx+1，使其頂點(diǎn)仍在直線y＝x+m上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．28．（2020?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-12x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B（如圖）．拋物線y＝ax2+bx（a≠0（1）求線段AB的長(zhǎng)；（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC=5（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．29．（2020?蘇州）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A，平行于x軸的直線l與該拋物線交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于點(diǎn)C左側(cè)），與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）設(shè)P、Q是x軸上的點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q左側(cè)），四邊形PBCQ為平行四邊形．過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．30．（2020?臺(tái)州）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學(xué)原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開(kāi)大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關(guān)系式為s2＝4h（H﹣h）．應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過(guò)連續(xù)注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離hcm處開(kāi)一個(gè)小孔．（1）寫(xiě)出s2與h的關(guān)系式；并求出當(dāng)h為何值時(shí)，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在側(cè)面開(kāi)兩個(gè)小孔，這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關(guān)系式；（3）如果想通過(guò)墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離．31．（2020?濱州）某水果商店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)