河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第一章第2節(jié)實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較

第二節(jié)實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較【課標(biāo)要求】☆能比較有理數(shù)的大?。罾斫獬朔降囊饬x，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算．☆理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問題．☆了解乘方與開方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求絕對(duì)值在百以內(nèi)的整數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根．【教材對(duì)接】人教：七上第一章P16～51，七下第六章P40～52；冀教：七上第一章P15～60，八上第十四章P59～68，P76～78，P82～88；北師：七上第二章P34～76，P26～37.有理數(shù)的運(yùn)算1．加法：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．2．減法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．3．乘法：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．任何數(shù)同0相乘，仍得0.4．除法：除以一個(gè)數(shù)(不等于0)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).5．乘方：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方．eq\x\to(a·a·…·a)n個(gè)a＝an.6．運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b＝b＋a；(2)加法結(jié)合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)乘法交換律：ab＝ba；(4)乘法結(jié)合律：(ab)c＝a(bc)；(5)(乘法對(duì)加法的)分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.7．有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，無括號(hào)則先算乘方，再算乘除，最后算加減，同級(jí)運(yùn)算則按從左到右順序依次計(jì)算．【溫馨提示】混合運(yùn)算的四步：(1)觀察運(yùn)算種類；(2)確定運(yùn)算順序；(3)把握每個(gè)小單元的運(yùn)算法則及符號(hào)；(4)靈活運(yùn)用運(yùn)算律．【基礎(chǔ)練1】計(jì)算：(－6)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＝6．實(shí)數(shù)的運(yùn)算8．平方根、算術(shù)平方根、立方根eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a的平方根為\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(±\r(a)（a≥0），其中\(zhòng)r(a)為a的算術(shù)平方根,無意義（a<0）)),a的立方根為\r(3,a)（a為任意實(shí)數(shù)）))9．平方根的性質(zhì)：(1)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒有平方根．10．立方根的性質(zhì)：任意一實(shí)數(shù)都有立方根，且立方根與該實(shí)數(shù)符號(hào)相同．eq\r(3,a3)＝a，(eq\r(3,a))3＝a，eq\r(3,－a)＝－eq\r(3,a)．11．實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、非負(fù)數(shù)開平方、實(shí)數(shù)開立方運(yùn)算具有與有理數(shù)相同的運(yùn)算法則和運(yùn)算律．(1)常見的運(yùn)算(2)運(yùn)算步驟①先將用運(yùn)算符號(hào)隔開的每個(gè)小項(xiàng)的值計(jì)算出來；②再根據(jù)“先算乘方、開方，再算乘除(除法變乘法)，最后算加減，有括號(hào)的先計(jì)算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算按從左到右計(jì)算”的順序進(jìn)行；③最后得出最終結(jié)果．①0次冪a0＝1(a≠0)(遇“0次冪”就得1)②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n為正整數(shù))，特別地，a－1＝eq\f(1,a)(a≠0)③－1的奇偶次冪(－1)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n為偶數(shù)），,－1（n為奇數(shù)）))(遇“偶”為1，遇“奇”為－1)④去絕對(duì)值符號(hào)|a－b|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b（a>b），,0（a＝b），,b－a（a<b）))(先比較a，b的大小，再去絕對(duì)值符號(hào))⑤常見開方eq\r(4)＝2，eq\r(9)＝3，eq\r(16)＝4，eq\r(25)＝5，eq\r(8)＝2eq\r(2)，eq\r(12)＝2eq\r(3)，eq\r(18)＝3eq\r(2)，eq\r(3,8)＝2，eq\r(3,27)＝3，eq\r(3,－64)＝－4⑥特殊角的三角函數(shù)值(詳見本書第98頁(yè)考點(diǎn)2的表格內(nèi)容)【易錯(cuò)警示】(1)避免出現(xiàn)以下類似的錯(cuò)誤：①3－2＝－eq\f(1,9)；②2a－2＝eq\f(1,2a2)；(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，特別地，－1的奇次冪為－1，偶次冪為1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1；(3)遇到絕對(duì)值一般要先去絕對(duì)值符號(hào)，去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)先添小括號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算；(4)括號(hào)前為負(fù)號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都要變號(hào)．【基礎(chǔ)練2】(1)(2021·恩施州中考)從eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\r(2)這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有(C)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)(2)(2021·河北模擬)計(jì)算：－22－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)－|1－4sin60°|＋(eq\r(2)－1.41)0.解：原式＝－4－3－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－4×\f(\r(3),2)))＋1＝－7－(2eq\r(3)－1)＋1＝－7－2eq\r(3)＋1＋1＝－5－2eq\r(3).實(shí)數(shù)的大小比較與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)12．實(shí)數(shù)的大小比較(1)數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．(2)性質(zhì)比較法：①正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；②兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而?。谝唤M數(shù)中，求最大的數(shù)時(shí)，一般在正數(shù)中找，求最小的數(shù)時(shí)，一般在負(fù)數(shù)中找．(3)差值比較法：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.(4)平方比較法：a＞b＞0?eq\r(a)＞eq\r(b)(主要應(yīng)用于無理數(shù)估算及含有無理數(shù)的式子的大小比較).(5)立方比較法：a＞b?eq\r(3,a)＞eq\r(3,b).(6)求商比較法：若b＞0，則eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f(a,b)＜1?a＜b；eq\f(a,b)＝1?a＝b.【基礎(chǔ)練3】(1)(2021·邯鄲模擬)在實(shí)數(shù)eq\f(1,3)，0，－1，－eq\r(2)中，最小的實(shí)數(shù)是(A)A．－eq\r(2)B．－1C．0D．eq\f(1,3)(2)已知a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，c＝eq\f(7,2)，將其按照從小到大的順序排列，正確的是(A)A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜a＜b13．非負(fù)數(shù)：常見的非負(fù)數(shù)有a2，|a|，eq\r(a)(a≥0)，最小的非負(fù)數(shù)是0.若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.【基礎(chǔ)練4】(2021·衡水模擬)如果eq\r(a＋2)＋|b－3|＝0，那么ab＝－8．eq\a\vs4\al(實(shí)數(shù)的運(yùn)算)【例1】(1)4的平方根是±2；(2)eq\r(3,－27)的絕對(duì)值是3；(3)|－9|的平方根是±3．【解題思路】根據(jù)平方根、立方根的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)求解填空．【例2】(2021·唐山豐潤(rùn)區(qū)模擬)計(jì)算：|－2|＋(π＋3)0＋2cos30°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)＋eq\r(12).【解題思路】首先利用乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對(duì)值等知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，再計(jì)算加減法即可．注意運(yùn)算順序和合理使用運(yùn)算律，把好符號(hào)關(guān)．【解答】解：原式＝2＋1＋2×eq\f(\r(3),2)－3＋2eq\r(3)＝3eq\r(3).1．下列運(yùn)算中，正確的是(D)A．eq\r(9)＝±3B．eq\r(3,－8)＝2C．(－2)0＝0D．2－1＝eq\f(1,2)2．若4是數(shù)a的平方根，則a＝16.3．(2021·河北中考樣題)若正數(shù)m的平方根為x＋1和x－3，則m＝4．4．計(jì)算：|eq\r(2)－1|＋2sin45°－eq\r(8)＋tan260°.解：原式＝eq\r(2)－1＋2×eq\f(\r(2),2)－2eq\r(2)＋(eq\r(3))2＝eq\r(2)－1＋eq\r(2)－2eq\r(2)＋3＝2.5．利用運(yùn)算律有時(shí)能進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．例198×12＝(100－2)×12＝1200－24＝1176；例2－16×233＋17×233＝(－16＋17)×233＝233.請(qǐng)你參考黑板中老師的講解，用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)999×(－15)；(2)999×118eq\f(4,5)＋999×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－999×18eq\f(3,5).解：(1)原式＝(1000－1)×(－15)＝－15000＋15＝－14985；(2)原式＝999×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(118\f(4,5)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－18\f(3,5)))＝999×100＝99900.eq\a\vs4\al(實(shí)數(shù)的大小比較)【例3】(2021·唐山遵化市模擬)下列實(shí)數(shù)中最大的是(B)A．eq\f(3,2)B．|－5|C．eq\r(15)D．π【解題思路】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的法則可得答案．6．(2021·石家莊一模)已知三個(gè)數(shù)－π，－3，－2eq\r(2)，它們的大小關(guān)系是(D)A．－π＜－2eq\r(2)＜－3B．－3＜－π＜－2eq\r(2)C．－2eq\r(2)＜－π＜－3D．－π＜－3＜－2eq\r(2)7．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列判斷正確的是(D)A．|a|＜1B．a(chǎn)b＞0C．a(chǎn)＋b＞0D．1－a＞18．下列三個(gè)結(jié)論中正確的是(C)A．2＜eq\r(6)＜eq\r(3,7)B．2＜eq\r(3,7)＜eq\r(6)C．eq\r(3,7)＜2＜eq\r(6)D．eq\r(3,7)＜eq\r(6)＜2eq\a\vs4\al(與數(shù)軸有關(guān)的運(yùn)算)【例4】(2021·石家莊模擬)實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若b＋d＝0，則下列結(jié)論正確的是(D)A．b＋c＞0B．eq\f(a,c)＞1C．a(chǎn)d＞bcD．|a|＞|b|【解題思路】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，可得a＜b＜0＜c＜d，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．9．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，b是最大的負(fù)整數(shù)，且a，c滿足|a＋3|＋(c－5)2＝0.(1)a＝________，b＝________，c＝________；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)B與數(shù)________表示的點(diǎn)重合；(3)點(diǎn)A，B，C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)ts過后，若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，則AB＝________，BC＝________；(用含t的代數(shù)式表示)(4)請(qǐng)問：3BC－AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．解：(1)－3；－1；5；(2)3；[a＋c－b＝－3＋5－(－1)＝3.](3)3t＋2；t＋6；[ts過后，點(diǎn)A表示的數(shù)為－t－3，點(diǎn)B表示的數(shù)為2t－1，點(diǎn)C表示的數(shù)為3t＋5，∴AB＝(2t－1)－(－t－3)＝3t＋2，BC＝(3t＋5)－(2t－1)＝t＋6.](4)不變．∵AB＝3t＋2，BC＝t＋6，∴3BC－AB＝3(t＋6)－(3t＋2)＝3t＋18－3t－2＝16.∴3BC－AB的值為定值16.混淆了平方根、算術(shù)平方根與立方根【例】下列說法正確的是()A．一個(gè)整數(shù)的平方根是它的算術(shù)平方根B．算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有1個(gè)C．1是最小的算術(shù)平方根D．一個(gè)非負(fù)數(shù)的非負(fù)平方根是它的算術(shù)平方根【錯(cuò)解分析】注意區(qū)分平方根與算術(shù)平方根，正數(shù)a的平方根為±eq\r(a)，其中，eq\r(a)也稱為正數(shù)a的算術(shù)平方根，是一個(gè)非負(fù)數(shù)．負(fù)整數(shù)沒有平方根，算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有0和1兩個(gè)，0是最小的算術(shù)平方根．【正確解答】D1．下列運(yùn)算正確的是(A)A．eq\r(3,－8)＝－2B．eq\r(8)＝2C．eq\r(4)＝±2D．eq\r(3,9)＝32．－27的立方根與eq\r(81)的平方根的和是0或－6．實(shí)數(shù)的運(yùn)算(5年6考)考向1純運(yùn)算1．(2017·河北中考)下列運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2017)D．2－32．(2021·河北中考)若eq\r(3,3)取1.442，計(jì)算eq\r(3,3)－3eq\r(3,3)－98eq\r(3,3)的結(jié)果是(B)A．－100B．－144.2C．144.2D．－0.014423．(2017·河北中考)如圖是國(guó)際數(shù)學(xué)日當(dāng)天淇淇和嘉嘉的微信對(duì)話，根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(D)A．4＋4－eq\r(4)＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋eq\r(3,4＋4)＝6D．4－1÷eq\r(4)＋4＝64．(2019·河北中考)有個(gè)填寫運(yùn)算符號(hào)的游戲：在“1eq\x()2eq\x()6eq\x()9”中的每個(gè)eq\x()內(nèi)，填入＋，－，×，÷中的某一個(gè)(可重復(fù)使用)，然后計(jì)算結(jié)果．(1)計(jì)算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×6eq\x()9＝－6，請(qǐng)推算eq\x()內(nèi)的符號(hào)；(3)在“1eq\x()2eq\x()6－9”的eq\x()內(nèi)填入符號(hào)后，使計(jì)算所得數(shù)最小，直接寫出這個(gè)最小數(shù)．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴3eq\x()9＝－6.∴eq\x()內(nèi)的符號(hào)是“－”；(3)－20.考向2與規(guī)律結(jié)合5．(2018·河北中考)如圖，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著－5，－2，1，9，且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等．嘗試(1)求前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和是多少？(2)求第5個(gè)臺(tái)階上的數(shù)x是多少？應(yīng)用求從下到上前31個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和；發(fā)現(xiàn)試用含k(k為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“1”所在的臺(tái)階數(shù)．解：嘗試(1)－5－2＋