2024屆高考數(shù)學一輪總復習專題一高考中的導數(shù)應(yīng)用問題第2課時利用導數(shù)研究恒能成立問題課件

第2課時利用導數(shù)研究恒(能)成立問題“恒成立”問題與“存在性”問題是高中數(shù)學中的常見問題，它不僅考查了函數(shù)、不等式等傳統(tǒng)知識，而且與導數(shù)的結(jié)合更是極大地豐富了該類問題的表現(xiàn)形式，充分體現(xiàn)了能力立意的原則，越來越受到命題者的青睞，成為高中數(shù)學的一個熱點問題.題型一不等式恒成立問題考向1分離參數(shù)法求解恒成立問題ax(a∈R). (1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)當x≥2時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.解：(1)當a＝0時，f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝－2，f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝－1，所以切線方程為y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0.因為x>2，所以g′(x)>0，所以g(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增.所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，e2].方法二f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①當a≤e2時，因為x≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0，則f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)≥f(2)＝0恒成立.②當a>e2

時，在區(qū)間(2，ln

a)上，f′(x)<0；在區(qū)間(ln

a，＋∞)上，f′(x)>0，所以f(x)在(2，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)≥0不恒成立，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，e2].【反思感悟】分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥fmax(x).a≤f(x)恒成立?a≤fmin(x).a≥f(x)能成立?a≥fmin(x).a≤f(x)能成立?a≤fmax(x).【互動探究】m，f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范圍.x>0，①若m≤0，當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.②若0<m<1，當x∈(0，m)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(m，1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.③若m＝1，當x∈(0，＋∞)時，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增.④若m>1，當x∈(0，1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(1，m)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(m，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.(2)由題意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立，當0<x<1時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減且g(x)<0，考向2等價轉(zhuǎn)化法求解恒成立問題[例2]函數(shù)

f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R).(1)若函數(shù)y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＋1＝0垂直，求a的值；(2)若不等式2x

ln

x≥－x2＋ax－3在區(qū)間(0，e]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【反思感悟】

根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)值與最值之間的數(shù)量關(guān)系確定參數(shù)滿足的不等式，解不等式即得參數(shù)范圍.【互動探究】題型二存在成立問題[例3](2021年張掖市模擬)已知函數(shù)f(x)＝2(x－1)ex.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，＋∞)上單調(diào)遞增，求f(a)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－x＋p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范圍.

解：(1)由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范圍是[－2，＋∞).(2)因為存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥2(x0－1)－x0成立，所以存在x0∈[1，e]，使p≥(2x0－3)成立.令h(x)＝(2x－3)·ex，從而p≥hmin(x)(x∈[1，e])，h′(x)＝(2x－1)ex.因為x≥1，所以2x－1≥1，ex＞0，所以h′(x)＞0，所以h(x)＝(2x－3)ex在[1，e]上單調(diào)遞增.所以hmin(x)＝h(1)＝－e，所以p≥－e，所以實數(shù)p的取值范圍是[－e，＋∞).反思感悟】存在成立問題

(1)存在型不等式成立主要是轉(zhuǎn)化為最值問題.如存在x1，x2∈[a，b]使f(x1)≤g(x2)成立?fmin(x)≤gmax(x)，轉(zhuǎn)化為最值問題求解. (2)如果一個問題的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要對問題做等價轉(zhuǎn)化，這里一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性、巧妙性，防止在轉(zhuǎn)化中出錯而使問題的求解出錯.【互動探究】

(1)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范圍.解：(1)因為f′(x)＝a－ex，x∈R.當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在R上單調(diào)遞減.當a＞