2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：11 三角函數(shù)性質(zhì)、最值和w小題歸類（原卷版）

11三角函數(shù)性質(zhì)、最值和W小題歸類【題型一】圖像與性質(zhì)1：“識圖”【典例分析】已知函數(shù)，過點(diǎn)，，當(dāng)，的最大值為9，則的值為（）A． B． C．和 D．【提分秘籍】基本規(guī)律確定的步驟和方法:(1)求：確定函數(shù)的最大值和最小值，則，；(2)求：確定函數(shù)的周期，則可；(3)求：常用的方法有代入法和五點(diǎn)法．①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)已知)或代入圖象與直線的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)是在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．【變式演練】1.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為____.2.如圖，點(diǎn)和點(diǎn)分別是函數(shù)(，，)圖像上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，若、兩點(diǎn)間的距離為，則關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增3.如圖是函數(shù)的圖象的一部分，則要得到該函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【題型二】圖像與性質(zhì)2：求周期【典例分析】已知函數(shù)，則的最小正周期為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定義求解2.利用圖像觀察求解。3.定義證明：f（x+T）=f（x）4.經(jīng)驗(yàn)推論：如果是多項(xiàng)式和與差型，則各項(xiàng)的最小正周期的公倍數(shù)是周期（需要證明是否是最小正周期）【變式演練】1.函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，若，則的最小正周期為（）A． B． C． D．3.已知函數(shù)，則A．的最小正周期為，最小值為1B．的最小正周期為，最小值為-3C．的最小正周期為，最小值為1D．的最小正周期為，最小值為-3【題型三】圖像與性質(zhì)3：正余弦函數(shù)的對稱軸【典例分析】設(shè)函數(shù)，若方程恰好有三個(gè)根，分別為，則的取值范圍是__________．【提分秘籍】基本規(guī)律1.正余弦與水平線交點(diǎn)的中點(diǎn)，是函數(shù)的對稱軸。2.一般情況下，的最大值或者最小值，必在對稱軸處。3.對稱軸之間的距離，是半個(gè)周期的整數(shù)倍?！咀兪窖菥殹?.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在上的最大值為（）A．2 B． C．1 D．2.已知函數(shù)，直線，是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．3.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)對稱軸之間的距離為，且恒有，若存在成立，則b的取值范圍為________．【題型四】圖像和性質(zhì)4：對稱中心【典例分析】已知函數(shù)fx=3sinωx?π6ω>0【提分秘籍】基本規(guī)律1.一般情況下，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于中心對稱，則函數(shù)值互為相反數(shù)。2.對稱中心之間的距離是半個(gè)周期的整數(shù)倍。3.周期與軸之間的距離，是四分之一周期的整數(shù)倍?！咀兪窖菥殹?..已知函數(shù)的最小正周期，且是函數(shù)的一條對稱軸，是函數(shù)的一個(gè)對稱中心，則函數(shù)在上的取值范圍是（）A． B． C． D．2.已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（）．A． B．C． D．3.設(shè)函數(shù).若，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【題型五】最值與范圍1：輔助角【典例分析】已知函數(shù)，周期，，且在處取得最大值，則使得不等式恒成立的實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律要讓學(xué)生學(xué)會推導(dǎo)一下過程，并且要學(xué)會非特殊角特殊值的推導(dǎo)。【變式演練】1.若，函數(shù)（）的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2.已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，則是（）A．奇函數(shù)，在時(shí)取到最小值； B．偶函數(shù)，在時(shí)取到最小值；C．奇函數(shù)，在時(shí)取到最小值； D．偶函數(shù)，在時(shí)取到最小值；3.若存在正整數(shù)m使得關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則正整數(shù)n的最小值是______．【題型六】最值與范圍2：一元二次正余弦有界性【典例分析】.關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.一般情況下，正弦余弦有一次二次，要以“一次”為變量2.消元或者換元，要注意舊元與新變量之間的范圍限制，包括互相限制?！咀兪窖菥殹?.已知，則函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．2.已知且對任意，不等式無解，當(dāng)實(shí)數(shù)取得最大值時(shí)，方程的解得個(gè)數(shù)為__________.3.已知，若對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件是__________.【題型七】最值與范圍3：sinx與cosx積和（差）換元型【典例分析】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律之間的互化關(guān)系1.2.【變式演練】1.函數(shù)的最大值為（）A． B．3C． D．42.函數(shù)fx3.函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______.【題型八】最值與范圍4：分式型【典例分析】函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以用正余弦有界性：2.可以用輔助角：3.可以用外能公式代換：參考題型十【變式演練】1.設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A． B．C． D．2..已知函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．3.函數(shù)的最大值為_________.【題型九】最值與范圍5：絕對值型【典例分析】若函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和π2,1，且當(dāng)【提分秘籍】基本規(guī)律這類題較難，需要分類討論?！咀兪窖菥殹?..函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．2.已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為______.3.已知函數(shù)的最小正周期為，若在上的最大值為M，則M的最小值為________.【題型十】三角換元1：圓代換【典例分析】如圖，已知為邊長為2的等邊三角形，動點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓上，若，則的最小值為_______．【提分秘籍】基本規(guī)律圓的參數(shù)方程，注意盡量代換規(guī)范：余弦對應(yīng)x，正弦對應(yīng)y的參數(shù)方程是：【變式演練】1.若，那么的最大值為_________________.2.記，其中、，已知、是橢圓上的任意兩點(diǎn)，是橢圓右頂點(diǎn)，則的最大值是______.3.設(shè)圓上兩點(diǎn)，滿足：，則的取值范圍是___________.【題型十一】三角換元2：雙變量消元代換【典例分析】已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為__________.【提分秘籍】基本規(guī)律1.二次型雙變量可以三角換元2.橢圓型，或者雙變量型，可以適當(dāng)選擇多項(xiàng)式三角函數(shù)換元?！咀兪窖菥殹?.已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．【題型十二】三角換元3：無理根號代換【典例分析】若y=x?4+18?3x【提分秘籍】基本規(guī)律通過本專題注意總結(jié)積累無理單根號，雙根號等等三角換元的數(shù)字特征1.單根號，一般是齊次關(guān)系。2.雙根號，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“輪換特征”4,。一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約?！咀兪窖菥殹?.已知，則的最大值為_________.2.函數(shù)y=x?4?3.設(shè)r，t∈R滿足r?2t?2r?t【題型十三】三角換元4：正切代換【典例分析】設(shè)，則的最小值是____________．【提分秘籍】基本規(guī)律適當(dāng)掌握萬能代換公式。并且萬能代換還能用于二選一題4-4的消參。具體參考高考題2019年新課標(biāo)1第22題，如下，消參方法之一，就是萬能代換。在曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）【變式演練】1.函數(shù)的最大值和最小值分別為（）A． B． C．，0 D．【題型十四】三角換元5：向量中的三角換元【典例分析】已知平面向量，，則的最大值是_______，最小值是_______.【提分秘籍】基本規(guī)律向量中的三角換元原理之一，就是源于,實(shí)質(zhì)是圓。所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換。【變式演練】1.已知平面向量，，則的最大值是_______，最小值是_______.2..已知?是兩個(gè)夾角為120°的單位向量，如圖示，點(diǎn)在以為圓心的上運(yùn)動.若，其中?，則的最大值是（）A． B．2 C． D．33.已知非零平面向量a，b，c滿足：a，b的夾角為，c?a與c?b的夾角為，a?b=2【題型十五】三角函數(shù)中w求解【典例分析】函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律求題型多為難題，規(guī)律不明顯，大多數(shù)時(shí)候，是代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，或者利用單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合圖形解出值或者范圍。【變式演練】1.已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2.已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為______．3.已知定義在上的函數(shù)（）的最大值為，則正實(shí)數(shù)的取值個(gè)數(shù)最多為（）A．4 B．3 C．2 D．1【題型十六】數(shù)列與三角函數(shù)【典例分析】知是等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，.若集合中只含有4個(gè)元素，則的可能取值有（）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【變式演練】1.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，函數(shù)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根，則的通項(xiàng)公式是________．2..已知函數(shù)，數(shù)列中，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和____．3.設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，，滿足：對于任意的b∈[0，1），fn（x）=b總有兩個(gè)不同的根，則{an}的通項(xiàng)公式為．模擬練1.已知定義在上的偶函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)為的極大值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)f(x)＝sin的圖象上相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)恰好在圓x2＋y2＝k2上，則f(x)的最小正周期為_______．3.已知函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，，，求=____.4.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.5.已知，則的最大值為____________6.已知直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.7.已知函數(shù)（），則的最大值為__________．8.若不等式，對于成立，則，分別等于（）A．； B．； C．； D．；9.設(shè)